Lineare Gleichungen und Prozentrechnung

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Größen und Variablen für ein Modell festlegen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Du willst wissen, welche von zwei Pizzen das bessere Angebot ist. Was solltest du vergleichen?

  1. Den Preis pro Quadratzentimeter
  2. Nur die Preise

Die Grundidee

Ein Modell beginnt mit gut gewählten Größen.

Entscheide vor dem Aufstellen einer Gleichung, welche Größen wichtig sind, gib jeder einen Namen, eine Einheit und, wenn nötig, einen Zeitraum („n = Anzahl der Nachrichten in einem Monat“) und verwende Raten wie Kilometer pro Liter oder Euro pro Stunde, um verschieden große Situationen zu vergleichen.

Beispiel

Ein Taxi kostet eine Grundgebühr plus einen Preis pro Kilometer.

s = gefahrene Kilometer bei einer Fahrt; K = Kosten der Fahrt in Euro
Größen.
K = Grundgebühr + (Preis pro km) · s
Modell.

Du bist dran

Jetzt du: Eine Läuferin schafft 10 km in 50 Minuten. Wie viele Minuten braucht sie pro km?

55
50 : 10.

Üben ★

  1. Ein Handytarif kostet 37 Euro im Monat plus 15 Cent pro Nachricht. Maya möchte ein Modell für ihre Monatsrechnung. Welche Festlegung der Variablen ist am besten?
    1. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt
    2. Es sei n Nachrichten
    3. Es sei n der Preis einer Nachricht
  2. Ein Handytarif kostet 30 Euro im Monat plus 6 Cent pro Nachricht. Maya möchte ein Modell für ihre Monatsrechnung. Welche Festlegung der Variablen ist am besten?
    1. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt
    2. Es sei n Nachrichten
    3. Es sei n der Preis einer Nachricht
  1. Das Lauftempo ist die Zahl der Minuten pro Kilometer. Eine Läuferin läuft 2 km in 8 Minuten. Wie groß ist ihr Tempo in Minuten pro Kilometer?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Auto A verbrauchte auf einer Fahrt 11 Liter Kraftstoff und Auto B auf einer anderen 14 Liter. Welche Größe ist am nützlichsten, um die Sparsamkeit der beiden Autos zu vergleichen?
    1. Die gefahrenen Kilometer pro Liter Kraftstoff für jedes Auto
    2. Die Literzahl jedes Autos
    3. Die insgesamt gefahrenen Kilometer jedes Autos
  2. Auto A verbrauchte auf einer Fahrt 12 Liter Kraftstoff und Auto B auf einer anderen 15 Liter. Welche Größe ist am nützlichsten, um die Sparsamkeit der beiden Autos zu vergleichen?
    1. Die gefahrenen Kilometer pro Liter Kraftstoff für jedes Auto
    2. Die Literzahl jedes Autos
    3. Die insgesamt gefahrenen Kilometer jedes Autos
  1. Abschlussaufgabe. Ein Verein stellt T-Shirts her. Jedes Shirt kostet in der Herstellung 8 Euro, dazu kommt eine einmalige Einrichtungsgebühr von 50 Euro. Jedes Shirt wird für 14 Euro verkauft. Es sei n die Anzahl der hergestellten und verkauften Shirts.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Handytarif kostet 37 Euro im Monat plus 15 Cent pro Nachricht. Maya möchte ein Modell für ihre Monatsrechnung. Welche Festlegung der Variablen ist am besten?
    1. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt
    2. Es sei n Nachrichten
    3. Es sei n der Preis einer Nachricht
  2. Ein Handytarif kostet 30 Euro im Monat plus 6 Cent pro Nachricht. Maya möchte ein Modell für ihre Monatsrechnung. Welche Festlegung der Variablen ist am besten?
    1. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt
    2. Es sei n Nachrichten
    3. Es sei n der Preis einer Nachricht
  3. Ein Handytarif kostet 38 Euro im Monat plus 12 Cent pro Nachricht. Maya möchte ein Modell für ihre Monatsrechnung. Welche Festlegung der Variablen ist am besten?
    1. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt
    2. Es sei n Nachrichten
    3. Es sei n der Preis einer Nachricht

Merkkarte

Größen festlegen

Jede Größe mit Einheit und Zeitraum benennen; mit Raten vergleichen.

Achtung: Eine ungenaue Variable („x = Geld“) führt zu einem falschen Modell.

2. Lineare Gleichungen lösen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Feier kostet 40 € plus 12 € pro Pizza, insgesamt 100 €. Welche Gleichung passt?

  1. 40+12p=10040 + 12p = 100
  2. 40p+12=10040p + 12 = 100

Die Grundidee

Äquivalente Gleichungen haben dieselben Lösungen.

Eine lineare Gleichung löst man durch Äquivalenzumformungen: auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, mit derselben von 0 verschiedenen Zahl multiplizieren oder dividieren. Man ist fertig, wenn xx allein steht.

Beispiel

Löse 5x+3=2x+155x + 3 = 2x + 15.

3x+3=153x + 3 = 15
2x abziehen.
3x=123x = 12
3 abziehen.
x=4x = 4
Durch 3 teilen.

Du bist dran

Jetzt du: 3(x+2)=213(x + 2) = 21. Bestimme xx.

x=5x = 5
Durch 3 teilen: x + 2 = 7.

Üben ★

  1. Löse 3x+3=−183x + 3 = -18. x=  ?x = \;?
  2. Löse 8x+14=−268x + 14 = -26. x=  ?x = \;?
  1. Löse 4x+8=3x+94x + 8 = 3x + 9. x=  ?x = \;?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse 6(x+4)=306(x + 4) = 30. x=  ?x = \;?
  2. Löse 3(x+4)=333(x + 4) = 33. x=  ?x = \;?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Fitnessstudio verlangt 35 € Anmeldung plus 37 € pro Monat. Es sei nn die Anzahl der Monate.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse 3x+3=−183x + 3 = -18. x=  ?x = \;?
  2. Löse 8x+14=−268x + 14 = -26. x=  ?x = \;?
  3. Löse 4x+4=324x + 4 = 32. x=  ?x = \;?

Merkkarte

Gleichungen

  • Auf beiden Seiten dasselbe tun.
  • Fertig, wenn xx allein steht.

Achtung: Alle Summanden ausmultiplizieren.

3. Anteile und aufeinanderfolgende Änderungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Preis steigt um 10 % und fällt dann um 10 %. Ist er wieder beim Anfangspreis?

  1. Nein, er ist etwas niedriger
  2. Ja

Die Grundidee

Aufeinanderfolgende Änderungen multiplizieren sich.

Ein Anteil ist ProzentwertGrundwert\dfrac{\text{Prozentwert}}{\text{Grundwert}}. Prozentwert = Prozentsatz · Grundwert.

Aufeinanderfolgende Änderungen ergeben ein Produkt von Wachstumsfaktoren. Um zum Anfang zurückzukommen, teilt man durch den Faktor.

Beispiel

Erhöhung um 25 %: Welche Senkung führt zum Anfang zurück?

1,251{,}25
Faktor.
11,25=0,8\dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8
Kehrwert.
20 %20\,\%
Senkung.

Du bist dran

Jetzt du: 30 % von 200?

6060
0,3 · 200.

Üben ★

  1. Berechne den gesamten Wachstumsfaktor einer Erhöhung um 15 % und danach um 5 %.
  2. Berechne den gesamten Wachstumsfaktor einer Erhöhung um 25 % und danach um 5 %.
  3. Berechne den gesamten Wachstumsfaktor einer Erhöhung um 20 % und danach um 45 %.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. In einer Gruppe von 80 Personen haben 56 ein Fahrrad. Wie groß ist der Anteil in Prozent?
  2. In einer Gruppe von 20 Personen haben 14 ein Fahrrad. Wie groß ist der Anteil in Prozent?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Preis von 100 € steigt um 75 %.
  1. In einer Gruppe von 70 Personen haben 60 % ein Fahrrad. Wie viele Personen haben ein Fahrrad?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne den gesamten Wachstumsfaktor einer Erhöhung um 15 % und danach um 5 %.
  2. Berechne den gesamten Wachstumsfaktor einer Erhöhung um 25 % und danach um 5 %.
  3. Berechne den gesamten Wachstumsfaktor einer Erhöhung um 20 % und danach um 45 %.

Merkkarte

Aufeinanderfolgende Änderungen

  • Faktoren multiplizieren.
  • Zurück: durch den Faktor teilen.

Achtung: Prozentsätze addieren sich nicht.

Lösungen: Lineare Gleichungen und Prozentrechnung

1. Größen und Variablen für ein Modell festlegen

A

  1. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt
  2. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt

B

  1. 44

C

  1. Die gefahrenen Kilometer pro Liter Kraftstoff für jedes Auto
  2. Die gefahrenen Kilometer pro Liter Kraftstoff für jedes Auto

D

  1. 172172

E

  1. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt
  2. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt
  3. Es sei n die Anzahl der Nachrichten, die Maya in einem Monat schickt

2. Lineare Gleichungen lösen

A

  1. −7-7
  2. −5-5

B

  1. 11

C

  1. 11
  2. 77

D

  1. 1414

E

  1. −7-7
  2. −5-5
  3. 77

3. Anteile und aufeinanderfolgende Änderungen

A

  1. 483400\frac{483}{400}
  2. 2116\frac{21}{16}
  3. 8750\frac{87}{50}

B

  1. 7070
  2. 7070

C

  1. 47\frac{4}{7}

D

  1. 4242

E

  1. 483400\frac{483}{400}
  2. 2116\frac{21}{16}
  3. 8750\frac{87}{50}