Satz des Thales

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$[AB]$ ist ein Durchmesser eines Kreises, und $C$ liegt auf dem Kreis. Wie groß ist der Winkel bei $C$ im Dreieck $ABC$ ?

Nicht maßstabsgetreu

$90°$
$C$ $C$ auf dem Kreis: Der Winkel bleibt immer 90°." data-option="2">Das hängt von der Lage von $C$ ab

Die Grundidee

Der Mittelpunkt zerlegt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke.

Satz des Thales: Liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $[AB]$ (und ist von $A$ und $B$ verschieden), so ist $\angle ACB = 90°$ .

Kehrsatz: Hat das Dreieck $ABC$ bei $C$ einen rechten Winkel, so liegt $C$ auf dem Kreis mit dem Durchmesser $[AB]$ (dem Thaleskreis). Der Mittelpunkt des Kreises ist der Mittelpunkt von $[AB]$ . Tangente: Sie steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius.

Beispiel

$[AB]$ ist Durchmesser, $C$ auf dem Kreis, $\angle CAB = 35°$ . Berechne $\angle CBA$ .

\angle ACB = 90°

Satz des Thales.

\angle CBA = 180° - 90° - 35°

Winkelsumme.

\angle CBA = 55°

Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: $[AB]$ ist Durchmesser, $C$ auf dem Kreis, $\angle CBA = 62°$ . Wie groß ist $\angle CAB$ in Grad?

180 - 90 - 62

180 − 90 − 62.

28

Ergebnis.

Üben ★

$[AB]$ ist ein Durchmesser, $C$ liegt auf dem Kreis, und $\angle CAB = 28°$ . Berechne $\angle CBA$ in Grad.
$[AB]$ ist ein Durchmesser, $C$ liegt auf dem Kreis, und $\angle CAB = 38°$ . Berechne $\angle CBA$ in Grad.

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 2 cm. Wie groß ist der Radius seines Thaleskreises in cm?

Vorsicht!

Üben ★★

Das Dreieck $ABC$ hat bei $C$ einen rechten Winkel. Wo liegt $C$ ?
1. Auf dem Kreis mit dem Durchmesser $[AB]$
2. Auf der Mittelsenkrechten von $[AB]$
3. Innerhalb des Kreises mit dem Durchmesser $[AB]$

Abschlussaufgabe. $[AB]$ ist ein Durchmesser mit dem Mittelpunkt $M$ , $C$ liegt auf dem Kreis, und $\angle CAB = 31°$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$[AB]$ ist ein Durchmesser, $C$ liegt auf dem Kreis, und $\angle CAB = 28°$ . Berechne $\angle CBA$ in Grad.
$[AB]$ ist ein Durchmesser, $C$ liegt auf dem Kreis, und $\angle CAB = 38°$ . Berechne $\angle CBA$ in Grad.
$[AB]$ ist ein Durchmesser, $C$ liegt auf dem Kreis, und $\angle CAB = 39°$ . Berechne $\angle CBA$ in Grad.

Merkkarte

Satz des Thales

Durchmesser $[AB]$ , $C$ auf dem Kreis: $\angle ACB = 90°$ .
Kehrsatz: Rechter Winkel bei $C$ : $C$ liegt auf dem Thaleskreis.
Die Hypotenuse ist der Durchmesser.

Achtung: Nur beim Durchmesser, nicht bei jeder Sehne.

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