Kongruenz und Dreiecke

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Kongruenz und einander entsprechende Teile

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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△ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF. Welcher Winkel von △DEF\triangle DEF gehört zu ∠B\angle B?

  1. ∠E\angle E
  2. ∠F\angle F

Die Grundidee

Kongruente Figuren stimmen Stück für Stück überein.

Zwei Figuren sind kongruent (deckungsgleich), wenn eine Folge von Kongruenzabbildungen die eine auf die andere abbildet. Dann sind entsprechende Seiten und Winkel gleich. In △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF gibt die Reihenfolge der Buchstaben die Zuordnung an: A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F.

Beispiel

△PQR≅△STU\triangle PQR \cong \triangle STU, PQ‾=7\overline{PQ} = 7, ∠R=40∘\angle R = 40^\circ.

ST‾=7\overline{ST} = 7
P↔S, Q↔T.
∠U=40∘\angle U = 40^\circ
R↔U.

Du bist dran

Jetzt du: △ABC≅△XYZ\triangle ABC \cong \triangle XYZ und BC‾=12\overline{BC} = 12. Bestimme YZ‾\overline{YZ}.

YZ‾=12\overline{YZ} = 12
B↔Y, C↔Z.

Üben ★

  1. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF mit AB‾=3\overline{AB} = 3, BC‾=11\overline{BC} = 11 und CA‾=18\overline{CA} = 18. Bestimme DE‾\overline{DE}.
  2. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF mit AB‾=9\overline{AB} = 9, BC‾=15\overline{BC} = 15 und CA‾=16\overline{CA} = 16. Bestimme DE‾\overline{DE}.
  1. △KLM≅△STU\triangle KLM \cong \triangle STU. Welche Strecke entspricht LMLM (Länge 5)?
    1. TUTU
    2. STST
    3. SUSU

Vorsicht!

Üben ★★

  1. △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ, mit ∠Q=43∘\angle Q = 43^\circ und ∠R=40∘\angle R = 40^\circ. Bestimme ∠X\angle X in Grad.
  2. △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ, mit ∠Q=37∘\angle Q = 37^\circ und ∠R=47∘\angle R = 47^\circ. Bestimme ∠X\angle X in Grad.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF mit AB‾=3\overline{AB} = 3, BC‾=11\overline{BC} = 11 und CA‾=18\overline{CA} = 18. Bestimme DE‾\overline{DE}.
  2. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF mit AB‾=9\overline{AB} = 9, BC‾=15\overline{BC} = 15 und CA‾=16\overline{CA} = 16. Bestimme DE‾\overline{DE}.
  3. △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF mit AB‾=4\overline{AB} = 4, BC‾=11\overline{BC} = 11 und CA‾=17\overline{CA} = 17. Bestimme DE‾\overline{DE}.

Merkkarte

Entsprechende Stücke

Die Reihenfolge der Buchstaben gibt die Zuordnung an.

Achtung: Nach der Stelle zuordnen, nicht nach dem Aussehen.

2. Kongruenzsätze für Dreiecke

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Du kennst zwei Seiten eines Dreiecks, 5 cm und 7 cm, und den Winkel von 40∘40^\circ dazwischen. Wie viele verschiedene Dreiecke kannst du zeichnen?

  1. Nur eines (bis auf die Lage)
  2. Unendlich viele

Die Grundidee

Drei passende Stücke können reichen, wenn es die richtigen sind.

Kongruenzsätze: Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in SSS, SWS (dem Winkel zwischen den Seiten), WSW oder SWW, oder in SsW (zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren). Zwei Seiten und der Gegenwinkel der kürzeren sowie WWW garantieren keine Kongruenz.

Beispiel

Welcher Satz?

3 Paare gleicher Seiten: SSS
Alle Seiten.
2 Winkel und die Seite dazwischen: WSW
Seite zwischen zwei Winkeln.
3 gleiche Winkel: keine Aussage über die Größe
Kein Kongruenzsatz.

Du bist dran

Jetzt du: Wie viele von SSS, SWS, WSW, SWW und WWW sind gültige Kongruenzsätze?

44
WWW ist keiner.

Üben ★

  1. Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seitenpaaren (3 cm und 5 cm) und in den Winkeln zwischen diesen Seiten überein. Welcher Kongruenzsatz zeigt die Kongruenz?
    1. SWS
    2. SSW
    3. WWW
  1. Zwei Dreiecke haben beide die Winkel 48∘48^\circ, 60∘60^\circ und 72∘72^\circ. Sind sie kongruent?
    1. Nicht unbedingt: Sie haben dieselbe Form, aber vielleicht verschiedene Größen
    2. Ja, alle drei Winkel stimmen überein
    3. Nein, nie

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seitenpaaren (3 und 6) und einem gleichen Winkel überein, der der kürzeren Seite gegenüberliegt. Müssen sie kongruent sein?
    1. Nicht unbedingt: Dieser Fall kann zwei verschiedene Dreiecke ergeben
    2. Ja, wegen zweier Seiten und eines Winkels
    3. Ja, wegen SWS

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seitenpaaren (3 cm und 5 cm) und in den Winkeln zwischen diesen Seiten überein. Welcher Kongruenzsatz zeigt die Kongruenz?
    1. SWS
    2. SSW
    3. WWW
  2. Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seitenpaaren (9 cm und 11 cm) und in den Winkeln zwischen diesen Seiten überein. Welcher Kongruenzsatz zeigt die Kongruenz?
    1. SWS
    2. SSW
    3. WWW
  3. Zwei Dreiecke stimmen in zwei Seitenpaaren (5 cm und 7 cm) und in den Winkeln zwischen diesen Seiten überein. Welcher Kongruenzsatz zeigt die Kongruenz?
    1. SWS
    2. SSW
    3. WWW

Merkkarte

Kongruenzsätze

SSS, SWS, WSW, SWW, SsW. Nicht WWW.

Achtung: Bei SWS liegt der Winkel zwischen den Seiten.

3. Gleichschenklige Dreiecke und Mittelsenkrechten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Falte es entlang der Linie von der Spitze zum Mittelpunkt der Basis. Was fällt dir an den Basiswinkeln auf?

  1. Sie sind gleich groß
  2. Einer ist doppelt so groß wie der andere

Verändere die Höhe der Spitze. Vergleiche die Basiswinkel.

  1. Sie sind immer gleich groß
  2. Einer wächst schneller als der andere

Die Grundidee

Symmetrie ergibt gleiche Stücke.

Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Ein Punkt liegt genau dann auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], wenn er von AA und BB gleich weit entfernt ist.

Beispiel

Winkel an der Spitze 40∘40^\circ.

Basiswinkel zusammen: 140∘140^\circ
180 − 40.
Jeder Basiswinkel: 70∘70^\circ
Gleiche Hälften.

Du bist dran

Jetzt du: Basiswinkel je 35∘35^\circ. Der Winkel an der Spitze.

110∘110^\circ
180 − 70.

Üben ★

  1. Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 114∘114^\circ (zwischen den gleichen Seiten). Bestimme jeden Basiswinkel in Grad.
  2. Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 38∘38^\circ (zwischen den gleichen Seiten). Bestimme jeden Basiswinkel in Grad.
  1. Jeder Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks misst 52∘52^\circ. Bestimme den Winkel an der Spitze in Grad.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Der Punkt PP liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], und PA‾=13\overline{PA} = 13. Bestimme PB‾\overline{PB}.Nicht maßstabsgetreu
  2. Der Punkt PP liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], und PA‾=9\overline{PA} = 9. Bestimme PB‾\overline{PB}.Nicht maßstabsgetreu

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 114∘114^\circ (zwischen den gleichen Seiten). Bestimme jeden Basiswinkel in Grad.
  2. Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 38∘38^\circ (zwischen den gleichen Seiten). Bestimme jeden Basiswinkel in Grad.
  3. Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 129∘129^\circ (zwischen den gleichen Seiten). Bestimme jeden Basiswinkel in Grad.

Merkkarte

Gleichschenklige Dreiecke und Mittelsenkrechte

Basiswinkel gleich; Mittelsenkrechte = Punkte mit gleichem Abstand von den Enden.

Achtung: 180° minus Spitze halbieren für jeden Basiswinkel.

4. Satz und Kehrsatz

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Satz: „Ist ein Viereck ein Quadrat, so hat es vier gleich lange Seiten.“ Gilt auch: „Hat ein Viereck vier gleich lange Seiten, so ist es ein Quadrat“?

Nicht maßstabsgetreu
  1. Nein: Auch eine Raute hat vier gleich lange Seiten
  2. Ja: Das ist derselbe Satz

Die Grundidee

Vertauscht man Voraussetzung und Behauptung, entsteht der Kehrsatz.

Ein Satz hat die Form „Wenn AA, dann BB“: AA ist die Voraussetzung, BB die Behauptung. Der Kehrsatz lautet „Wenn BB, dann AA“.

Ein Kehrsatz kann wahr oder falsch sein; er braucht einen eigenen Beweis. Sind Satz und Kehrsatz wahr, schreibt man „genau dann, wenn“. Ein Gegenbeispiel genügt, um eine Aussage zu widerlegen.

Beispiel

Satz: „In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.“

AA: gleichschenklig; BB: Basiswinkel gleich
Voraussetzung und Behauptung benennen.
Kehrsatz: Sind zwei Winkel gleich groß, ist das Dreieck gleichschenklig.
Tauschen.
Also: gleichschenklig genau dann, wenn zwei Winkel gleich groß sind.
Auch dieser Kehrsatz ist wahr.

Du bist dran

Jetzt du: Satz: „Ist eine Zahl durch 4 teilbar, so ist sie gerade.“ Nenne die kleinste positive Zahl, die den Kehrsatz widerlegt.

Gerade, aber nicht durch 4 teilbar
Sie muss gerade sein und nicht durch 4 teilbar.
22
Gegenbeispiel.

Üben ★

  1. Wie lautet der Kehrsatz von „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Winkel gleich groß“?
    1. Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, dann ist es gleichseitig
    2. Wenn ein Dreieck nicht gleichseitig ist, dann sind nicht alle Winkel gleich groß
    3. Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Seiten gleich lang
  1. Satz: „Ist ein Viereck ein Rechteck, so sind seine Diagonalen gleich lang.“ Ist der Kehrsatz wahr?
    1. Nein: Auch ein gleichschenkliges Trapez hat gleich lange Diagonalen
    2. Ja, denn der Satz ist wahr
    3. Ja, denn alle Vierecke haben gleich lange Diagonalen

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Aussage: „Ist eine Zahl durch 4 teilbar, so ist sie durch 8 teilbar.“ Nenne das kleinste positive Gegenbeispiel.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie lautet der Kehrsatz von „Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Winkel gleich groß“?
    1. Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, dann ist es gleichseitig
    2. Wenn ein Dreieck nicht gleichseitig ist, dann sind nicht alle Winkel gleich groß
    3. Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle seine Seiten gleich lang

Merkkarte

Satz und Kehrsatz

  • Satz: Wenn AA, dann BB.
  • Kehrsatz: Wenn BB, dann AA.
  • Ein Gegenbeispiel widerlegt.

Achtung: Der Kehrsatz gilt nicht automatisch.

5. Besondere Linien und Umkreis

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Wie heißt die Linie durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite?

  1. Die Seitenhalbierende
  2. Die Höhe

Die Grundidee

Vier Arten besonderer Linien im Dreieck.

Nicht maßstabsgetreu

Mittelsenkrechte: senkrecht auf einer Seite in ihrem Mittelpunkt. Seitenhalbierende: von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Höhe: von einer Ecke senkrecht auf die gegenüberliegende Seite. Winkelhalbierende: teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es einem Kreis einbeschrieben ist, dessen Durchmesser eine seiner Seiten ist. Der Mittelpunkt ist der Mittelpunkt der Hypotenuse.

Beispiel

ABCABC ist rechtwinklig bei AA, mit BC‾=10\overline{BC} = 10.

Der Radius ist BC‾2\dfrac{\overline{BC}}{2}
Der Mittelpunkt ist der von [BC].
55
Radius.

Du bist dran

Jetzt du: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 8. Wie groß ist der Radius seines Umkreises?

44
8 : 2.

Üben ★

  1. ABCABC ist rechtwinklig bei AA, mit BC‾=18\overline{BC} = 18. Berechne den Radius seines Umkreises.
  2. ABCABC ist rechtwinklig bei AA, mit BC‾=8\overline{BC} = 8. Berechne den Radius seines Umkreises.
  3. ABCABC ist rechtwinklig bei AA, mit BC‾=12\overline{BC} = 12. Berechne den Radius seines Umkreises.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welche Linie steht senkrecht auf einer Seite in deren Mittelpunkt?
    1. Die Mittelsenkrechte
    2. Die Seitenhalbierende
    3. Die Winkelhalbierende
  2. Welche Linie steht senkrecht auf einer Seite in deren Mittelpunkt?
    1. Die Mittelsenkrechte
    2. Die Seitenhalbierende
    3. Die Winkelhalbierende
  1. Abschlussaufgabe. ABCABC ist rechtwinklig bei AA, mit AB‾=15\overline{AB} = 15 und AC‾=20\overline{AC} = 20.
  1. Wie heißt die Linie von einer Ecke, die senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite steht?
    1. Die Höhe
    2. Die Seitenhalbierende
    3. Die Mittelsenkrechte
  1. Wie heißt die Linie durch eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite?
    1. Die Seitenhalbierende
    2. Die Höhe
    3. Die Winkelhalbierende

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. ABCABC ist rechtwinklig bei AA, mit BC‾=18\overline{BC} = 18. Berechne den Radius seines Umkreises.
  2. ABCABC ist rechtwinklig bei AA, mit BC‾=8\overline{BC} = 8. Berechne den Radius seines Umkreises.
  3. ABCABC ist rechtwinklig bei AA, mit BC‾=12\overline{BC} = 12. Berechne den Radius seines Umkreises.

Merkkarte

Besondere Linien

  • Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Höhe, Winkelhalbierende.
  • Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse = Durchmesser.

Achtung: Seitenhalbierende und Höhe sind im Allgemeinen verschieden.

6. Tangenten an einen Kreis

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Ein Rad rollt auf dem Boden. Der Boden berührt es in einem Punkt. Welchen Winkel bildet die Speiche zu diesem Punkt mit dem Boden?

  1. 90∘90^\circ
  2. Das hängt von der Geschwindigkeit ab

Die Grundidee

Tangente und Radius stehen senkrecht aufeinander.

Eine Tangente berührt den Kreis in einem Punkt und steht dort senkrecht auf dem Radius. Die beiden Tangentenabschnitte von einem äußeren Punkt sind gleich lang.

Beispiel

Radius 6, Punkt PP im Abstand 10 vom Mittelpunkt.

Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse 10, Kathete 6
Rechter Winkel im Berührpunkt.
Tangentenabschnitt 8
√(100 − 36).

Du bist dran

Jetzt du: Radius 5, Abstand 13. Der Tangentenabschnitt.

1212
√(169 − 25).

Üben ★

  1. Ein Kreis hat den Radius 6. Der Punkt PP ist 10 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von PP zum Kreis.
  2. Ein Kreis hat den Radius 3. Der Punkt PP ist 5 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von PP zum Kreis.
  1. Eine Gerade berührt einen Kreis mit dem Radius 7 in genau einem Punkt TT. Welchen Winkel bilden die Gerade und der Radius zu TT?
    1. 90∘90^\circ
    2. Das hängt vom Radius ab
    3. 0∘0^\circ: Sie liegen aufeinander

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zwei Tangenten von PP berühren einen Kreis (Mittelpunkt OO) in AA und BB, mit ∠APB=61∘\angle APB = 61^\circ. Bestimme ∠AOB\angle AOB (in Grad).
  2. Zwei Tangenten von PP berühren einen Kreis (Mittelpunkt OO) in AA und BB, mit ∠APB=76∘\angle APB = 76^\circ. Bestimme ∠AOB\angle AOB (in Grad).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Kreis hat den Radius 6. Der Punkt PP ist 10 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von PP zum Kreis.
  2. Ein Kreis hat den Radius 3. Der Punkt PP ist 5 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von PP zum Kreis.
  3. Ein Kreis hat den Radius 12. Der Punkt PP ist 20 vom Mittelpunkt entfernt. Bestimme die Länge eines Tangentenabschnitts von PP zum Kreis.

Merkkarte

Tangenten

Tangente ⊥ Radius; Tangentenabschnitte von einem Punkt sind gleich lang.

Achtung: ein rechtwinkliges Dreieck, keine Subtraktion.

7. Satz des Thales

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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[AB][AB] ist ein Durchmesser eines Kreises, und CC liegt auf dem Kreis. Wie groß ist der Winkel bei CC im Dreieck ABCABC?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 90°90°
  2. CC auf dem Kreis: Der Winkel bleibt immer 90°." data-option="2">Das hängt von der Lage von CC ab

Die Grundidee

Der Mittelpunkt zerlegt das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke.

Satz des Thales: Liegt CC auf dem Kreis mit dem Durchmesser [AB][AB] (und ist von AA und BB verschieden), so ist ∠ACB=90°\angle ACB = 90°.

Kehrsatz: Hat das Dreieck ABCABC bei CC einen rechten Winkel, so liegt CC auf dem Kreis mit dem Durchmesser [AB][AB] (dem Thaleskreis). Der Mittelpunkt des Kreises ist der Mittelpunkt von [AB][AB]. Tangente: Sie steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius.

Beispiel

[AB][AB] ist Durchmesser, CC auf dem Kreis, ∠CAB=35°\angle CAB = 35°. Berechne ∠CBA\angle CBA.

∠ACB=90°\angle ACB = 90°
Satz des Thales.
∠CBA=180°−90°−35°\angle CBA = 180° - 90° - 35°
Winkelsumme.
∠CBA=55°\angle CBA = 55°
Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: [AB][AB] ist Durchmesser, CC auf dem Kreis, ∠CBA=62°\angle CBA = 62°. Wie groß ist ∠CAB\angle CAB in Grad?

180−90−62180 - 90 - 62
180 − 90 − 62.
2828
Ergebnis.

Üben ★

  1. [AB][AB] ist ein Durchmesser, CC liegt auf dem Kreis, und ∠CAB=28°\angle CAB = 28°. Berechne ∠CBA\angle CBA in Grad.
  2. [AB][AB] ist ein Durchmesser, CC liegt auf dem Kreis, und ∠CAB=38°\angle CAB = 38°. Berechne ∠CBA\angle CBA in Grad.
  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 2 cm. Wie groß ist der Radius seines Thaleskreises in cm?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Das Dreieck ABCABC hat bei CC einen rechten Winkel. Wo liegt CC?
    1. Auf dem Kreis mit dem Durchmesser [AB][AB]
    2. Auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB]
    3. Innerhalb des Kreises mit dem Durchmesser [AB][AB]
  1. Abschlussaufgabe. [AB][AB] ist ein Durchmesser mit dem Mittelpunkt MM, CC liegt auf dem Kreis, und ∠CAB=31°\angle CAB = 31°.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. [AB][AB] ist ein Durchmesser, CC liegt auf dem Kreis, und ∠CAB=28°\angle CAB = 28°. Berechne ∠CBA\angle CBA in Grad.
  2. [AB][AB] ist ein Durchmesser, CC liegt auf dem Kreis, und ∠CAB=38°\angle CAB = 38°. Berechne ∠CBA\angle CBA in Grad.
  3. [AB][AB] ist ein Durchmesser, CC liegt auf dem Kreis, und ∠CAB=39°\angle CAB = 39°. Berechne ∠CBA\angle CBA in Grad.

Merkkarte

Satz des Thales

  • Durchmesser [AB][AB], CC auf dem Kreis: ∠ACB=90°\angle ACB = 90°.
  • Kehrsatz: Rechter Winkel bei CC: CC liegt auf dem Thaleskreis.
  • Die Hypotenuse ist der Durchmesser.

Achtung: Nur beim Durchmesser, nicht bei jeder Sehne.

Lösungen: Kongruenz und Dreiecke

1. Kongruenz und einander entsprechende Teile

A

  1. 33
  2. 99

B

  1. TUTU

C

  1. 9797
  2. 9696

D

  1. 33
  2. 99
  3. 44

2. Kongruenzsätze für Dreiecke

A

  1. SWS

B

  1. Nicht unbedingt: Sie haben dieselbe Form, aber vielleicht verschiedene Größen

C

  1. Nicht unbedingt: Dieser Fall kann zwei verschiedene Dreiecke ergeben

D

  1. SWS
  2. SWS
  3. SWS

3. Gleichschenklige Dreiecke und Mittelsenkrechten

A

  1. 3333
  2. 7171

B

  1. 7676

C

  1. 1313
  2. 99

D

  1. 3333
  2. 7171
  3. 512\frac{51}{2}

4. Satz und Kehrsatz

A

  1. Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, dann ist es gleichseitig

B

  1. Nein: Auch ein gleichschenkliges Trapez hat gleich lange Diagonalen

C

  1. 44

D

  1. Wenn alle Winkel eines Dreiecks gleich groß sind, dann ist es gleichseitig

5. Besondere Linien und Umkreis

A

  1. 99
  2. 44
  3. 66

B

  1. Die Mittelsenkrechte
  2. Die Mittelsenkrechte

C

  1. 252\frac{25}{2}

D

  1. Die Höhe

E

  1. Die Seitenhalbierende

F

  1. 99
  2. 44
  3. 66

6. Tangenten an einen Kreis

A

  1. 88
  2. 44

B

  1. 90∘90^\circ

C

  1. 119119
  2. 104104

D

  1. 88
  2. 44
  3. 1616

7. Satz des Thales

A

  1. 6262
  2. 5252

B

  1. 11

C

  1. Auf dem Kreis mit dem Durchmesser [AB][AB]

D

  1. 6262

E

  1. 6262
  2. 5252
  3. 5151