Symmetrie und Winkel

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Achsenspiegelung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Punkt AA ist 3 cm von einer Geraden gg entfernt. Wie weit ist sein Spiegelpunkt von gg entfernt?

  1. 3 cm
  2. 6 cm

Die Grundidee

Man faltet entlang der Achse.

Nicht maßstabsgetreu

Der Spiegelpunkt von AA an gg ist der Punkt A′A', für den gg die Mittelsenkrechte von [AA′][AA'] ist.

Die Achsenspiegelung erhält Längen, Winkel, Flächeninhalte und Geraden.

Beispiel

AA ist 2 cm von gg entfernt.

A′A' ist 2 cm von gg entfernt.
Gleicher Abstand.
AA′‾=4\overline{AA'} = 4 cm
Abstand.

Du bist dran

Jetzt du: AB‾=5\overline{AB} = 5 cm. Wie groß ist A′B′‾\overline{A'B'}?

55
Längen bleiben erhalten.

Üben ★

  1. AA ist 4 cm von der Achse entfernt. Berechne den Abstand AA′‾\overline{AA'} (cm).
  2. AA ist 11 cm von der Achse entfernt. Berechne den Abstand AA′‾\overline{AA'} (cm).
  3. AA ist 7 cm von der Achse entfernt. Berechne den Abstand AA′‾\overline{AA'} (cm).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie groß ist das Bild eines Winkels von 33°33° in Grad?
  2. Wie groß ist das Bild eines Winkels von 16°16° in Grad?
  1. Abschlussaufgabe. Die Achse ist die y-Achse, und A(3∣5)A(3|5).
  1. Wie lautet die x-Koordinate des Spiegelpunkts von (8∣3)(8|3) an der y-Achse?
  1. Ein Punkt liegt auf der Spiegelachse. Wo liegt sein Bild?
    1. Es fällt mit ihm zusammen
    2. Es liegt auf der anderen Seite der Achse
    3. Es gibt keins

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. AA ist 4 cm von der Achse entfernt. Berechne den Abstand AA′‾\overline{AA'} (cm).
  2. AA ist 11 cm von der Achse entfernt. Berechne den Abstand AA′‾\overline{AA'} (cm).
  3. AA ist 7 cm von der Achse entfernt. Berechne den Abstand AA′‾\overline{AA'} (cm).

Merkkarte

Achsenspiegelung

  • gg ist die Mittelsenkrechte von [AA′][AA'].
  • Längen und Winkel bleiben erhalten.

Achtung: Die Gerade AA′AA' steht senkrecht zur Achse.

2. Punktspiegelung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine halbe Drehung um ZZ bildet AA auf A′A' ab. Wo liegt ZZ bezüglich [AA′][AA']?

  1. Es ist der Mittelpunkt
  2. Auf der Mittelsenkrechten

Die Grundidee

Die Punktspiegelung dreht um 180° um einen Punkt.

Der Spiegelpunkt von AA an ZZ ist der Punkt A′A', für den ZZ der Mittelpunkt von [AA′][AA'] ist.

Die Punktspiegelung erhält Längen, Winkel, Flächeninhalte und Parallelität; sie bildet eine Gerade auf eine parallele Gerade ab.

Beispiel

Im Koordinatensystem: Z(0∣0)Z(0|0) und A(3∣2)A(3|2).

A′(−3∣−2)A'(-3|-2)
Z ist der Mittelpunkt.

Du bist dran

Jetzt du: Wie lautet die x-Koordinate des Spiegelpunkts von (4∣1)(4|1) am Ursprung?

−4-4
Die Gegenzahl.

Üben ★

  1. Wie lautet die y-Koordinate des Spiegelpunkts von (9∣4)(9|4) am Ursprung?
  2. Wie lautet die y-Koordinate des Spiegelpunkts von (2∣4)(2|4) am Ursprung?
  3. Wie lautet die y-Koordinate des Spiegelpunkts von (1∣6)(1|6) am Ursprung?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. AA und A′A' liegen punktsymmetrisch zu ZZ, und ZA‾=8\overline{ZA} = 8. Berechne AA′‾\overline{AA'}.
  2. AA und A′A' liegen punktsymmetrisch zu ZZ, und ZA‾=6\overline{ZA} = 6. Berechne AA′‾\overline{AA'}.
  1. Wie lautet die x-Koordinate des Spiegelpunkts von (6∣2)(6|2) am Ursprung?
  1. Erhält eine Punktspiegelung die Längen?
    1. Ja
    2. Nein: Sie verdoppelt sie
    3. Nein: Sie halbiert sie

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie lautet die y-Koordinate des Spiegelpunkts von (9∣4)(9|4) am Ursprung?
  2. Wie lautet die y-Koordinate des Spiegelpunkts von (2∣4)(2|4) am Ursprung?
  3. Wie lautet die y-Koordinate des Spiegelpunkts von (1∣6)(1|6) am Ursprung?

Merkkarte

Punktspiegelung

  • ZZ ist der Mittelpunkt von [AA′][AA'].
  • Längen und Winkel bleiben erhalten.

Achtung: Nicht mit der Achsenspiegelung verwechseln.

3. Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

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Ein Punkt der Mittelsenkrechten von [AB][AB] ist 5 cm von AA entfernt. Wie weit ist er von BB entfernt?

  1. 5 cm
  2. 10 cm

Die Grundidee

Zwei besondere Geraden.

Nicht maßstabsgetreu

Die Mittelsenkrechte von [AB][AB] steht senkrecht auf [AB][AB] und geht durch den Mittelpunkt. Ein Punkt liegt genau dann auf ihr, wenn er von AA und BB gleich weit entfernt ist.

Die Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei gleich große Winkel.

Beispiel

Ein Winkel misst 70°70°.

Jeder Teil misst 35°35°.
Die Hälfte.

Du bist dran

Jetzt du: MA‾=7\overline{MA} = 7, und MM liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB]. Berechne MB‾\overline{MB}.

77
Gleicher Abstand.

Üben ★

  1. MM liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], mit MA‾=4\overline{MA} = 4 cm. Berechne MB‾\overline{MB} (cm).
  2. MM liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], mit MA‾=8\overline{MA} = 8 cm. Berechne MB‾\overline{MB} (cm).
  3. MM liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], mit MA‾=7\overline{MA} = 7 cm. Berechne MB‾\overline{MB} (cm).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Die Winkelhalbierende eines Winkels von 90°90° bildet zwei Winkel. Wie groß ist jeder in Grad?
  2. Die Winkelhalbierende eines Winkels von 146°146° bildet zwei Winkel. Wie groß ist jeder in Grad?
  1. Wie heißt die Gerade, die eine Strecke in ihrem Mittelpunkt senkrecht schneidet?
    1. Die Mittelsenkrechte
    2. Die Seitenhalbierende
    3. Die Winkelhalbierende
  1. Die Winkelhalbierende eines Winkels bildet zwei Winkel von 23°23°. Wie groß ist der ganze Winkel in Grad?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. MM liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], mit MA‾=4\overline{MA} = 4 cm. Berechne MB‾\overline{MB} (cm).
  2. MM liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], mit MA‾=8\overline{MA} = 8 cm. Berechne MB‾\overline{MB} (cm).
  3. MM liegt auf der Mittelsenkrechten von [AB][AB], mit MA‾=7\overline{MA} = 7 cm. Berechne MB‾\overline{MB} (cm).

Merkkarte

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

  • Mittelsenkrechte: gleicher Abstand von den Endpunkten.
  • Winkelhalbierende: zwei gleich große Winkel.

Achtung: Ein Punkt der Mittelsenkrechten ist nicht immer der Mittelpunkt.

4. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

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Kannst du nur mit Zirkel und Lineal (ohne die Skala zu nutzen) den genauen Mittelpunkt einer Strecke finden?

  1. Ja, mit zwei gleichen Kreisbögen
  2. Nein, man muss messen

Die Grundidee

Konstruktionen nutzen gleiche Abstände, keine Messungen.

  1. Schritt 1Der Winkel bei O.
  2. Schritt 21. Ein Bogen um O schneidet die Schenkel in A und B.
  3. Schritt 32. Gleiche Bögen um A und um B treffen sich in P.
  4. Schritt 43. Die Halbgerade OP halbiert den Winkel (SSS: OAP ≅ OBP).

Der Zirkel hält einen Abstand fest, das Lineal zieht Geraden durch vorhandene Punkte. Damit kannst du eine Strecke oder einen Winkel übertragen, eine Strecke oder einen Winkel halbieren, Lote und Parallelen zeichnen und ein regelmäßiges Sechseck einbeschreiben (den Radius 6-mal auf dem Kreis abtragen), ein gleichseitiges Dreieck (jede zweite Sechseckecke) oder ein Quadrat (zwei senkrechte Durchmesser). Jeder Schritt wird mit kongruenten Dreiecken oder gleichen Radien begründet.

Beispiel

Halbiere den Winkel mit dem Scheitel O.

Er schneidet die Schenkel in A und B, mit OA = OB
Bogen um O.
Sie treffen sich in P, mit AP = BP
Gleiche Bögen um A und B.
Die Dreiecke OAP und OBP sind kongruent (SSS), also halbiert OP den Winkel
OP zeichnen.

Du bist dran

Jetzt du: ein regelmäßiges Sechseck in einem Kreis mit dem Radius 5 cm. Wie lang ist jede Seite?

55 cm
Die Seite ist so lang wie der Radius.

Üben ★

  1. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 7 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  2. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 9 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  1. Um einem Kreis mit dem Radius 8 cm ein regelmäßiges Sechseck einzubeschreiben, trägst du den Zirkel auf dem Kreis ab. Welche Öffnung behältst du?
    1. 8 cm, den Radius des Kreises
    2. 16 cm, den Durchmesser
    3. Irgendeine Öffnung, solange sie gleich bleibt

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Bei der Konstruktion der Mittelsenkrechten von AB (AB = 10 cm): Warum halbiert die Gerade PQ durch die beiden Bogenschnittpunkte AB im rechten Winkel?
    1. P und Q sind jeweils von A und B gleich weit entfernt, und solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten
    2. Weil das Geodreieck 90° anzeigt
    3. Weil die Bögen den Radius 10 cm haben
  2. Bei der Konstruktion der Mittelsenkrechten von AB (AB = 7 cm): Warum halbiert die Gerade PQ durch die beiden Bogenschnittpunkte AB im rechten Winkel?
    1. P und Q sind jeweils von A und B gleich weit entfernt, und solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten
    2. Weil das Geodreieck 90° anzeigt
    3. Weil die Bögen den Radius 7 cm haben
  1. Einem Kreis mit dem Radius 4 cm wird ein regelmäßiges Sechseck einbeschrieben, mit den Ecken auf dem Kreis. Wie groß ist sein Umfang in cm?Nicht maßstabsgetreu

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 7 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  2. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 9 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  3. Bringe die Schritte zur Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke AB mit der Länge 6 cm in die richtige Reihenfolge.
    • Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen
    • Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet
    • Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen
    • Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen

Merkkarte

Konstruktionen

Zirkel für gleiche Abstände, Lineal für Geraden; Begründung mit kongruenten Dreiecken.

Achtung: Die Zirkelöffnung zwischen den beiden Bögen nicht ändern.

5. Symmetrie

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Ein Quadrat wird um seinen Mittelpunkt gedreht. Welche ist die kleinste Drehung, nach der es genauso aussieht?

  1. 90∘90^\circ
  2. 180∘180^\circ

Die Grundidee

Symmetrien sind Kongruenzabbildungen, die eine Figur auf sich selbst abbilden.

Eine Figur ist achsensymmetrisch zu einer Geraden, wenn die Spiegelung sie auf sich selbst abbildet, und drehsymmetrisch, wenn eine Drehung um weniger als 360∘360^\circ das tut. Ein regelmäßiges nn-Eck hat nn Symmetrieachsen und Drehsymmetrie mit Vielfachen von 360∘n\tfrac{360^\circ}{n}.

Beispiel

Ein regelmäßiges Sechseck.

6 Symmetrieachsen
Durch gegenüberliegende Ecken und durch gegenüberliegende Seitenmitten.
Kleinste Drehung: 60∘60^\circ
360° : 6.

Du bist dran

Jetzt du: die kleinste Drehung bei einem regelmäßigen Fünfeck.

72∘72^\circ
360 : 5.

Üben ★

  1. Wie groß ist der kleinste positive Drehwinkel, der ein regelmäßiges Vieleck mit 8 Seiten auf sich selbst abbildet? (in Grad)Nicht maßstabsgetreu
  2. Wie groß ist der kleinste positive Drehwinkel, der ein regelmäßiges Vieleck mit 3 Seiten auf sich selbst abbildet? (in Grad)Nicht maßstabsgetreu
  1. Wie viele Symmetrieachsen hat ein regelmäßiges Vieleck mit 4 Seiten?Nicht maßstabsgetreu

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Rechteck mit 4 cm mal 6 cm (kein Quadrat). Welche Abbildungen bilden es auf sich selbst ab?
    1. Spiegelungen an den beiden Mittellinien und eine Drehung um 180° um seinen Mittelpunkt
    2. Spiegelungen an seinen Diagonalen
    3. Eine Drehung um 90°

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist der kleinste positive Drehwinkel, der ein regelmäßiges Vieleck mit 8 Seiten auf sich selbst abbildet? (in Grad)Nicht maßstabsgetreu
  2. Wie groß ist der kleinste positive Drehwinkel, der ein regelmäßiges Vieleck mit 3 Seiten auf sich selbst abbildet? (in Grad)Nicht maßstabsgetreu
  3. Wie groß ist der kleinste positive Drehwinkel, der ein regelmäßiges Vieleck mit 11 Seiten auf sich selbst abbildet? (in Grad)Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Symmetrie

Regelmäßiges nn-Eck: nn Achsen; Drehungen um 360∘/n360^\circ/n.

Achtung: Die Diagonalen eines Rechtecks sind keine Symmetrieachsen.

6. Komplementär-, Supplement- und Scheitelwinkel

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Zwei Winkel liegen nebeneinander an einer Geraden. Einer misst 130°130°. Wie groß ist der andere?

  1. 50°50°
  2. 230°230°

Die Grundidee

Winkelbeziehungen liefern Gleichungen.

Nebenwinkel ergeben zusammen 180°180° (die Winkel an einer Geraden). Scheitelwinkel sind gleich groß. Zwei Winkel, die sich zu 90°90° ergänzen, heißen Komplementwinkel.

Beispiel

Die Winkel 2x°2x° und 40°40° ergänzen sich zu 90°90°.

2x+40=902x + 40 = 90
Summe 90.
x=25x = 25
Auflösen.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist der Nebenwinkel von 72°72°?

108°108°
180 − 72.

Üben ★

  1. Ein Winkel misst 33°33°. Wie groß ist der Winkel, der ihn zu 90° ergänzt (in Grad)?
  2. Ein Winkel misst 61°61°. Wie groß ist der Winkel, der ihn zu 90° ergänzt (in Grad)?
  1. Ein Winkel misst 81°81°. Wie groß ist sein Nebenwinkel (in Grad)?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zwei Winkel an einer Geraden messen 68°68° und (x+22)°(x + 22)°. Bestimme xx.
  2. Zwei Winkel an einer Geraden messen 34°34° und (x+9)°(x + 9)°. Bestimme xx.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Winkel misst 33°33°. Wie groß ist der Winkel, der ihn zu 90° ergänzt (in Grad)?
  2. Ein Winkel misst 61°61°. Wie groß ist der Winkel, der ihn zu 90° ergänzt (in Grad)?
  3. Ein Winkel misst 39°39°. Wie groß ist der Winkel, der ihn zu 90° ergänzt (in Grad)?

Merkkarte

Winkel

  • Komplementwinkel: 90°. Nebenwinkel: 180°.
  • Scheitelwinkel: gleich groß.

Achtung: Komplementwinkel 90°, Nebenwinkel 180°.

7. Winkel und Parallelen, Winkelsumme im Dreieck

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Wie groß ist die Innenwinkelsumme eines Dreiecks?

  1. 180°180°
  2. 360°360°

Die Grundidee

Parallelen erklären die Winkelsumme.

Nicht maßstabsgetreu

Zwei Geraden, die von einer dritten geschnitten werden, sind genau dann parallel, wenn Wechselwinkel (oder Stufenwinkel) gleich groß sind.

Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist 180°180°.

Beispiel

Ein Dreieck hat die Winkel 50°50° und 70°70°.

50+70=12050 + 70 = 120
Summe.
180−120=60°180 - 120 = 60°
Abziehen.

Du bist dran

Jetzt du: Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 30°30°. Wie groß ist der dritte Winkel?

60°60°
180 − 90 − 30.

Üben ★

  1. Ein Dreieck hat die Winkel 37°37° und 57°57°. Berechne den dritten in Grad.
  2. Ein Dreieck hat die Winkel 25°25° und 53°53°. Berechne den dritten in Grad.
  3. Ein Dreieck hat die Winkel 62°62° und 56°56°. Berechne den dritten in Grad.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zwei parallele Geraden werden von einer dritten geschnitten. Ein Winkel misst 77°77°. Wie groß ist der zugehörige Wechselwinkel?
  2. Zwei parallele Geraden werden von einer dritten geschnitten. Ein Winkel misst 56°56°. Wie groß ist der zugehörige Wechselwinkel?
  1. Abschlussaufgabe. Ein gleichschenkliges Dreieck hat an der Spitze den Winkel 74°74°.
  1. Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Basiswinkel 43°43°. Wie groß ist der Winkel an der Spitze in Grad?
  1. Wie groß ist jeder Winkel eines gleichseitigen Dreiecks?
    1. 60°
    2. 90°
    3. 180°

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Dreieck hat die Winkel 37°37° und 57°57°. Berechne den dritten in Grad.
  2. Ein Dreieck hat die Winkel 25°25° und 53°53°. Berechne den dritten in Grad.
  3. Ein Dreieck hat die Winkel 62°62° und 56°56°. Berechne den dritten in Grad.

Merkkarte

Winkel

  • Gleiche Wechselwinkel: parallele Geraden.
  • Summe im Dreieck: 180°.

Achtung: Die Größe ändert daran nichts.

8. Innen- und Außenwinkel von Vielecken

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Die Winkel eines Dreiecks ergeben 180°. Was ergeben die eines Vierecks?

  1. 360°
  2. 180°

Die Grundidee

Innenwinkel kommen von Dreiecken; Außenwinkel ergeben immer 360°.

Von einer Ecke aus teilen die Diagonalen ein nn-Eck in n−2n - 2 Dreiecke, also ist seine Innenwinkelsumme (n−2)⋅180°(n - 2) \cdot 180°. Beim Umrunden eines konvexen Vielecks dreht man sich insgesamt um 360°: Die Außenwinkel ergeben 360°. In einem regelmäßigen Vieleck sind alle gleich groß.

Beispiel

Ein regelmäßiges Sechseck.

(6−2)⋅180°=720°(6 - 2) \cdot 180° = 720°
Innenwinkelsumme.
720°:6=120°720° : 6 = 120°
Jeder Innenwinkel.
360°:6=60°360° : 6 = 60°
Jeder Außenwinkel.

Du bist dran

Jetzt du: die Innenwinkelsumme eines Fünfecks.

540°540°
(5 − 2) · 180.

Üben ★

  1. Wie groß ist die Innenwinkelsumme eines Vielecks mit 12 Seiten in Grad?
  2. Wie groß ist die Innenwinkelsumme eines Vielecks mit 9 Seiten in Grad?
  1. Wie viel Grad misst jeder Außenwinkel eines regelmäßigen Vielecks mit 3 Seiten?Nicht maßstabsgetreu

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Die Innenwinkel eines Vielecks ergeben 720°. Wie viele Seiten hat es?
  2. Die Innenwinkel eines Vielecks ergeben 900°. Wie viele Seiten hat es?
  1. Wie viel Grad misst jeder Außenwinkel eines regelmäßigen Vielecks mit 3 Seiten?Nicht maßstabsgetreu

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie groß ist die Innenwinkelsumme eines Vielecks mit 12 Seiten in Grad?
  2. Wie groß ist die Innenwinkelsumme eines Vielecks mit 9 Seiten in Grad?
  3. Wie groß ist die Innenwinkelsumme eines Vielecks mit 6 Seiten in Grad?

Merkkarte

Winkel im Vieleck

Innenwinkelsumme (n−2)⋅180°(n - 2) \cdot 180°; Außenwinkelsumme 360°.

Achtung: n−2n - 2 Dreiecke, nicht nn.

Lösungen: Symmetrie und Winkel

1. Achsenspiegelung

A

  1. 88
  2. 2222
  3. 1414

B

  1. 3333
  2. 1616

C

  1. 66

D

  1. −8-8

E

  1. Es fällt mit ihm zusammen

F

  1. 88
  2. 2222
  3. 1414

2. Punktspiegelung

A

  1. −4-4
  2. −4-4
  3. −6-6

B

  1. 1616
  2. 1212

C

  1. −6-6

D

  1. Ja

E

  1. −4-4
  2. −4-4
  3. −6-6

3. Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

A

  1. 44
  2. 88
  3. 77

B

  1. 4545
  2. 7373

C

  1. Die Mittelsenkrechte

D

  1. 4646

E

  1. 44
  2. 88
  3. 77

4. Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

A

  1. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  2. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen

B

  1. 8 cm, den Radius des Kreises

C

  1. P und Q sind jeweils von A und B gleich weit entfernt, und solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten
  2. P und Q sind jeweils von A und B gleich weit entfernt, und solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten

D

  1. 2424

E

  1. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  2. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen
  3. 1. Zirkelspitze auf A, einen Bogen mit einem Radius größer als die halbe Strecke AB zeichnen 2. Gleiche Öffnung; Spitze auf B, einen Bogen zeichnen, der den ersten zweimal schneidet 3. Die beiden Schnittpunkte P und Q nennen 4. Mit dem Lineal die Gerade durch P und Q zeichnen

5. Symmetrie

A

  1. 4545
  2. 120120

B

  1. 44

C

  1. Spiegelungen an den beiden Mittellinien und eine Drehung um 180° um seinen Mittelpunkt

D

  1. 4545
  2. 120120
  3. 36011\frac{360}{11}

6. Komplementär-, Supplement- und Scheitelwinkel

A

  1. 5757
  2. 2929

B

  1. 9999

C

  1. 9090
  2. 137137

D

  1. 5757
  2. 2929
  3. 5151

7. Winkel und Parallelen, Winkelsumme im Dreieck

A

  1. 8686
  2. 102102
  3. 6262

B

  1. 7777
  2. 5656

C

  1. 127127

D

  1. 9494

E

  1. 60°

F

  1. 8686
  2. 102102
  3. 6262

8. Innen- und Außenwinkel von Vielecken

A

  1. 18001800
  2. 12601260

B

  1. 120120

C

  1. 66
  2. 77

D

  1. 120120

E

  1. 18001800
  2. 12601260
  3. 720720