Terme

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Mit Lösungen

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1. Lückengleichungen und wachsende Muster

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ergänze: $7 + \dots = 12$ .

$5$
$19$

Die Grundidee

Man überlegt mit einer unbekannten Zahl.

Nicht maßstabsgetreu

Eine Lücke in einer Addition füllt man durch Subtrahieren, eine Lücke in einer Multiplikation durch Dividieren.

Ein wachsendes Muster folgt einer Regel: Man sucht, was bei jedem Schritt dazukommt.

Beispiel

Ein Muster hat 4, 7, 10 Hölzer in den Schritten 1, 2, 3.

Schritt 4: 13

Bei jedem Schritt kommen 3 dazu.

4 + 27 = 31

Schritt 10: 9 Schritte zu je 3.

Du bist dran

Jetzt du: Ergänze: $6 \cdot \dots = 42$ .

7

42 : 6.

Üben ★

Ergänze: $8 \cdot \dots = 16$ .
Ergänze: $4 \cdot \dots = 12$ .
Ergänze: $6 \cdot \dots = 12$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Ein Muster hat in Schritt 1 genau 2 Teile, und in jedem Schritt kommen 2 dazu. Wie viele Teile sind es in Schritt 4?
Ein Muster hat in Schritt 1 genau 4 Teile, und in jedem Schritt kommen 6 dazu. Wie viele Teile sind es in Schritt 6?

Ergänze: $8 + \dots = 14$ .

Ein Muster hat in Schritt 1 genau 3 Teile, und in jedem Schritt kommen 3 dazu. Wie viele Teile sind es in Schritt 5?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ergänze: $8 \cdot \dots = 16$ .
Ergänze: $4 \cdot \dots = 12$ .
Ergänze: $6 \cdot \dots = 12$ .

Merkkarte

Algebraisches Denken

Lücke: Umkehrrechnung.
Muster: erkennen, was dazukommt.

Achtung: Prüfe an den ersten Schritten.

2. Terme mit Potenzen; Rechenreihenfolge

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie groß ist $3^4$ ?

Die Grundidee

Eine Potenz ist eine wiederholte Multiplikation; sie kommt zuerst dran.

b^n

ist ein Produkt aus

n

Faktoren

b

. Reihenfolge: Klammern, dann Potenzen, dann Punktrechnung, dann Strichrechnung.

Beispiel

Berechne $2 + 3 \cdot 4^2$ .

4^2 = 16

Zuerst die Potenz.

3 \cdot 16 = 48

Multiplizieren.

50

Addieren.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne den Termwert von $5x^2$ für $x = 3$ .

45

5 · 9.

Üben ★

Berechne $1 + 2 \cdot 3^2$ .
Berechne $5 + 5 \cdot 2^2$ .

Berechne den Termwert von $4x^2$ für $x = 8$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Wie groß ist $6^{ 4 }$ ?
Wie groß ist $6^{ 2 }$ ?

Abschlussaufgabe. Ein quadratischer Garten hat die Seite 10 m. Ein 1 m breiter Weg führt um ihn herum und bildet ein größeres Quadrat.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $1 + 2 \cdot 3^2$ .
Berechne $5 + 5 \cdot 2^2$ .
Berechne $1 + 3 \cdot 2^2$ .

Merkkarte

Rechenreihenfolge

Klammern, Potenzen, Punkt, Strich.
In $kx^2$ wird nur $x$ quadriert.

Achtung: $x^2$ ist nicht $2x$ .

3. Potenzgesetze

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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$2^3 \cdot 2^4$ bedeutet $(2 \cdot 2 \cdot 2)(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)$ . Wie viele Faktoren 2 sind das?

$7$
$12$

Die Grundidee

Die Regeln kommen vom Zählen der Faktoren.

Bei gleicher Basis:

a^m \cdot a^n = a^{m + n}

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

. Außerdem

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Beispiel

Vereinfache $\dfrac{(5^2)^3 \cdot 5^4}{5^7}$ .

(5^2)^3 = 5^6

Potenz einer Potenz.

5^6 \cdot 5^4 = 5^{10}

Produkt.

5^{10} : 5^7 = 5^3

Quotient.

Du bist dran

Jetzt du: $3^5 \cdot 3^2 = 3^{?}$ .

7

5 + 2.

Üben ★

$6^{ 2 } \cdot 6^{ 5 } = 6^{?}$ . Wie groß ist der Exponent?
$8^{ 5 } \cdot 8^{ 9 } = 8^{?}$ . Wie groß ist der Exponent?

$\dfrac{ 3^{ 12 } }{ 3^{ 5 } } = 3^{?}$ . Wie groß ist der Exponent?

Vorsicht!

Üben ★★

$\left(9^{ 4 }\right)^{ 4 } = 9^{?}$ . Wie groß ist der Exponent?
$\left(6^{ 3 }\right)^{ 3 } = 6^{?}$ . Wie groß ist der Exponent?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$6^{ 2 } \cdot 6^{ 5 } = 6^{?}$ . Wie groß ist der Exponent?
$8^{ 5 } \cdot 8^{ 9 } = 8^{?}$ . Wie groß ist der Exponent?
$9^{ 3 } \cdot 9^{ 7 } = 9^{?}$ . Wie groß ist der Exponent?

Merkkarte

Potenzregeln

Produkt: addieren. Quotient: subtrahieren.
Potenz einer Potenz: multiplizieren.

Achtung: Im Zweifel die Faktoren zählen.

4. Äquivalente Terme: Ausmultiplizieren und Zusammenfassen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ist $10 - (3 + 2)$ gleich $10 - 3 + 2$ ?

Nein
Ja

Die Grundidee

Zwei Terme sind gleichwertig, wenn sie für jedes $x$ denselben Wert ergeben.

Ausmultiplizieren:

k(a + b) = ka + kb

k(a - b) = ka - kb

-(a - b) = -a + b

. Ausklammern: umgekehrt. Zusammenfassen: Die Faktoren gleichartiger Summanden addieren:

5x - 2x = 3x

Beispiel

Fasse $6x - 2(x - 4) + 1$ zusammen.

6x - 2x + 8 + 1

−2 wird mit jedem Summanden multipliziert.

4x + 9

Zusammenfassen.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist der Faktor vor $x$ in $7x + 3 - 2x$ ?

5

7 − 2.

Üben ★

Schreibe $7(x - 3)$ ohne Klammern. Wie lautet der Summand ohne $x$ ?
Schreibe $3(x - 7)$ ohne Klammern. Wie lautet der Summand ohne $x$ ?

Fasse $9x + 6 - 11x + 4$ zusammen. Wie groß ist der Faktor vor $x$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Fasse $6x - (5x - 2)$ zusammen. Wie lautet der Summand ohne $x$ ?
Fasse $7x - (9x - 9)$ zusammen. Wie lautet der Summand ohne $x$ ?

Abschlussaufgabe. Ein Rechteck hat die Seiten $x + 6$ und $3x - 5$ . Sein Umfang ist $2(x + 6) + 2(3x - 5)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Schreibe $7(x - 3)$ ohne Klammern. Wie lautet der Summand ohne $x$ ?
Schreibe $3(x - 7)$ ohne Klammern. Wie lautet der Summand ohne $x$ ?
Schreibe $3(x - 2)$ ohne Klammern. Wie lautet der Summand ohne $x$ ?

Merkkarte

Terme umformen

Jeden Summanden ausmultiplizieren.
Gleichartige Summanden mit ihren Vorzeichen zusammenfassen.

Achtung: Ein Minus vor der Klammer ändert alle Vorzeichen.

5. Polynome addieren, subtrahieren und multiplizieren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Schachtel aus einem Blatt von 20 cm mal 30 cm, aus dessen Ecken Quadrate mit der Seite $x$ geschnitten werden, hat das Volumen $x(20 - 2x)(30 - 2x)$ . Wie lautet ausmultipliziert die höchste Potenz von $x$ ?

$x^3$
$x^2$

Die Grundidee

Mit Termen rechnet man wie mit Zahlen.

Zum Addieren oder Subtrahieren fasst man gleichartige Summanden zusammen (gleiche Potenz von

x

). Zum Multiplizieren multipliziert man jeden Summanden des einen mit jedem des anderen und fasst dann zusammen. Der Grad eines Produkts ist die Summe der Grade.

Beispiel

$(x + 3)(x^2 - 2x + 5)$ .

x^3 - 2x^2 + 5x

x mal jeden Summanden.

3x^2 - 6x + 15

3 mal jeden Summanden.

x^3 + x^2 - x + 15

Zusammenfassen.

Du bist dran

Jetzt du: der Faktor vor $x$ in $(x + 4)(x + 5)$ .

9

5x + 4x.

Üben ★

Multipliziere $(x + 6)(x + 9)$ aus. Wie groß ist der Faktor vor $x$ ?
Multipliziere $(x + 1)(x + 5)$ aus. Wie groß ist der Faktor vor $x$ ?
Multipliziere $(x + 7)(x + 3)$ aus. Wie groß ist der Faktor vor $x$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Wie lautet der Summand ohne $x$ von $(x + 9)(x^2 + 1x + 6)$ ?
Wie lautet der Summand ohne $x$ von $(x + 7)(x^2 + 7x + 3)$ ?

Ein Term vom Grad 5 wird mit einem Term vom Grad 5 multipliziert. Welchen Grad hat das Produkt?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Multipliziere $(x + 6)(x + 9)$ aus. Wie groß ist der Faktor vor $x$ ?
Multipliziere $(x + 1)(x + 5)$ aus. Wie groß ist der Faktor vor $x$ ?
Multipliziere $(x + 7)(x + 3)$ aus. Wie groß ist der Faktor vor $x$ ?

Merkkarte

Rechnen mit Termen

Addieren: gleichartige Summanden zusammenfassen.
Multiplizieren: jeder mit jedem; die Grade addieren sich.

Achtung: Summanden mit $x$ addieren sich; Zahlen multiplizieren sich.

6. Ausklammern

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Rechteck besteht aus zwei Teilen mit den Flächeninhalten $3x$ und $3 \cdot 5$ . Wie lässt sich der gesamte Flächeninhalt schreiben?

Nicht maßstabsgetreu

$3(x + 5)$
$3 \\cdot 5 = 15$ $3 c d o t 5 = 15$ , nicht 5." data-option="2"> $3x + 5$

Die Grundidee

Ausklammern ist das Gegenstück zum Ausmultiplizieren.

Ausklammern: $ab + ac = a(b + c)$ . Man sucht einen gemeinsamen Faktor aller Summanden und schreibt ihn vor die Klammer. In der Klammer steht, was nach dem Teilen übrig bleibt.

Probe: Ausmultiplizieren muss wieder den Ausgangsterm ergeben. Bleibt ein Summand ganz übrig, steht in der Klammer eine 1: $x^2 + x = x(x + 1)$ .

Beispiel

Klammere in $6x^2 + 9x$ so viel wie möglich aus.

Gemeinsamer Faktor:

3x

Größter gemeinsamer Faktor von 6 und 9, und einmal x.

3x(2x + 3)

6x² : 3x und 9x : 3x.

3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 6x^2 + 9x

Probe durch Ausmultiplizieren.

Du bist dran

Jetzt du: Klammere in $4x + 12$ die 4 aus. Wie lautet die Zahl in der Klammer?

4(x + 3)

12 : 4.

3

Zahl.

Üben ★

Klammere die 6 aus: $6x + 36 = 6(x + \;?)$ . Wie lautet die fehlende Zahl?
Klammere die 5 aus: $5x + 40 = 5(x + \;?)$ . Wie lautet die fehlende Zahl?

Klammere $x$ aus: $x^2 + 8x = x(x + \;?)$ . Wie lautet die fehlende Zahl?

Vorsicht!

Üben ★★

Welcher Term ist gleich $6x^2 + 3x$ ?
1. $3x(2x + 1)$
2. $3x \cdot 2x$
3. $3(2x^2 + 1)$

Abschlussaufgabe. Untersucht wird der Term $T = 6x^2 + 42x$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Klammere die 6 aus: $6x + 36 = 6(x + \;?)$ . Wie lautet die fehlende Zahl?
Klammere die 5 aus: $5x + 40 = 5(x + \;?)$ . Wie lautet die fehlende Zahl?
Klammere die 8 aus: $8x + 56 = 8(x + \;?)$ . Wie lautet die fehlende Zahl?

Merkkarte

Ausklammern

$ab + ac = a(b + c)$ .
Größten gemeinsamen Faktor suchen.
Probe durch Ausmultiplizieren.

Achtung: Die 1 in der Klammer nicht vergessen.

7. Binomische Formeln und Bruchterme

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Multipliziere $(x + 3)^2$ aus.

$x^2 + 6x + 9$
$x^2 + 9$

Die Grundidee

Drei binomische Formeln, die man in beide Richtungen können sollte.

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ; $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ .

Zum Addieren von Brüchen bringt man sie auf einen gemeinsamen Nenner: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ .

Beispiel

Faktorisiere $x^2 - 25$ und berechne $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}$ .

(x - 5)(x + 5)

Dritte binomische Formel.

\dfrac{2 + x}{2x}

Gemeinsamer Nenner 2x.

Du bist dran

Jetzt du: Multipliziere $(x - 1)(x + 1)$ aus.

x^2 - 1

x² − 1.

Üben ★

Multipliziere $(x + 9)^2$ aus.
Multipliziere $(x + 2)^2$ aus.

Faktorisiere $x^2 - 4$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Abschlussaufgabe. Untersucht wird $T = (x + 2)^2 - (x - 2)^2$ .
Abschlussaufgabe. Untersucht wird $T = (x + 5)^2 - (x - 5)^2$ .

Multipliziere $(x - 4)^2$ aus.

Berechne $\dfrac{1}{ 2 } + \dfrac{1}{ 5 }$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Multipliziere $(x + 9)^2$ aus.
Multipliziere $(x + 2)^2$ aus.
Multipliziere $(x + 8)^2$ aus.

Merkkarte

Binomische Formeln

$(a + b)^2$ , $(a - b)^2$ , $(a + b)(a - b)$ .
Brüche: gemeinsamer Nenner.

Achtung: Das doppelte Produkt nicht vergessen.

Lösungen: Terme

1. Lückengleichungen und wachsende Muster

$8$
$34$

$15$

2. Terme mit Potenzen; Rechenreihenfolge

$19$
$25$

$256$

$1296$
$36$

$44$

$19$
$25$
$13$

3. Potenzgesetze

$7$
$14$

$16$
$9$

$7$
$14$
$10$

4. Äquivalente Terme: Ausmultiplizieren und Zusammenfassen

$-21$
$-21$

$-2$

$-21$
$-21$
$-6$

5. Polynome addieren, subtrahieren und multiplizieren

$15$
$6$
$10$

$54$
$21$

$10$

$15$
$6$
$10$

6. Ausklammern

$3x(2x + 1)$

$-7$

7. Binomische Formeln und Bruchterme

$x^{2} + 18 x + 81$
$x^{2} + 4 x + 4$

$\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)$

$8 x$
$20 x$

$x^{2} - 8 x + 16$

$\frac{7}{10}$

$x^{2} + 18 x + 81$
$x^{2} + 4 x + 4$
$x^{2} + 16 x + 64$