Bruchterme und Bruchgleichungen

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Bruchterme kürzen, multiplizieren und dividieren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Kürze 6/9.

  1. 2/3
  2. 6/9 lässt sich nicht kürzen

Die Grundidee

Mit Bruchtermen rechnet man wie mit Brüchen.

Zähler und Nenner faktorisieren, dann gemeinsame Faktoren kürzen (nie Summanden). Beim Multiplizieren Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner; beim Dividieren mit dem Kehrwert multiplizieren. Werte, die einen ursprünglichen Nenner 0 machen, bleiben ausgeschlossen.

Beispiel

Kürze (x² − 9)/(x² + 3x).

(x − 3)(x + 3) / (x(x + 3))
Faktorisieren.
(x − 3)/x, für x ≠ 0 und x ≠ −3
x + 3 kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: der Wert von (x² − 4)/(x − 2), gekürzt, bei x = 3.

55
x + 2 bei x = 3.

Üben ★

  1. Kürze (x² − 4) : (x − 2), also den Bruch mit dem Zähler x² − 4 und dem Nenner x − 2. Welche Antwort stimmt?
    1. x + 2, für x ≠ 2
    2. x − 2
    3. x + 2, für jedes x
  2. Kürze (x² − 25) : (x − 5), also den Bruch mit dem Zähler x² − 25 und dem Nenner x − 5. Welche Antwort stimmt?
    1. x + 5, für x ≠ 5
    2. x − 5
    3. x + 5, für jedes x
  1. Multipliziere und kürze: (x + 8)/(x − 6) · (x − 6)/(x + 9).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Dividiere und kürze: x/(x + 3) : x²/(x + 3).
  2. Dividiere und kürze: x/(x + 6) : x²/(x + 6).
  1. Multipliziere und kürze: (x + 8)/(x − 6) · (x − 6)/(x + 9).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Kürze (x² − 4) : (x − 2), also den Bruch mit dem Zähler x² − 4 und dem Nenner x − 2. Welche Antwort stimmt?
    1. x + 2, für x ≠ 2
    2. x − 2
    3. x + 2, für jedes x
  2. Kürze (x² − 25) : (x − 5), also den Bruch mit dem Zähler x² − 25 und dem Nenner x − 5. Welche Antwort stimmt?
    1. x + 5, für x ≠ 5
    2. x − 5
    3. x + 5, für jedes x
  3. Kürze (x² − 9) : (x − 3), also den Bruch mit dem Zähler x² − 9 und dem Nenner x − 3. Welche Antwort stimmt?
    1. x + 3, für x ≠ 3
    2. x − 3
    3. x + 3, für jedes x

Merkkarte

Bruchterme multiplizieren und dividieren

Faktorisieren, gemeinsame Faktoren kürzen, multiplizieren; dividieren heißt mit dem Kehrwert multiplizieren.

Achtung: Faktoren kürzen, nie Summanden.

2. Bruchterme addieren und subtrahieren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Was ist 1/2 + 1/3?

  1. 5/6
  2. 2/5

Die Grundidee

Bruchterme addiert man über einen gemeinsamen Nenner.

Nenner faktorisieren, den Hauptnenner suchen, jeden Bruch darauf erweitern, dann nur die Zähler addieren oder subtrahieren. Am Ende kürzen.

Beispiel

Schreibe 2/x + 3/(x + 1) als einen Bruch.

x(x + 1)
Hauptnenner.
2(x + 1)/(x(x + 1)) + 3x/(x(x + 1))
Erweitern.
(5x + 2)/(x(x + 1))
Addieren.

Du bist dran

Jetzt du: der Wert von 1/x + 1/x bei x = 4.

12\tfrac12
2/x bei x = 4.

Üben ★

  1. Vereinfache 6/(x − 1) − 9/(x − 1).
  2. Vereinfache 9/(x − 1) − 2/(x − 1).
  1. Wie lautet der Hauptnenner von 1/(x² − 16) und 1/(x + 4)?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Schreibe 1/x + 1/(x + 8) als einen Bruch.
  2. Schreibe 1/x + 1/(x + 1) als einen Bruch.
  1. Vereinfache 6/(x − 1) − 9/(x − 1).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Schreibe 1/x + 1/(x + 8) als einen Bruch.
  2. Schreibe 1/x + 1/(x + 1) als einen Bruch.
  3. Schreibe 1/x + 1/(x + 4) als einen Bruch.

Merkkarte

Bruchterme addieren

Hauptnenner, dann die Zähler addieren.

Achtung: Nie die Nenner addieren.

3. Null und negative Exponenten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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103=100010^3 = 1000, 102=10010^2 = 100, 101=1010^1 = 10. Bei jedem Schritt wird durch 10 geteilt. Wie groß ist 10010^0?

  1. 11
  2. 00

Die Grundidee

Man teilt weiter, um unter den Exponenten 1 zu kommen.

Für a≠0a \neq 0 gilt a0=1a^0 = 1 und a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}. Die Rechengesetze gelten weiter.

Beispiel

Berechne 2−32^{-3} und 105⋅10−210^5 \cdot 10^{-2}.

2−3=182^{-3} = \dfrac{1}{8}
1 durch 2³.
105⋅10−2=10310^5 \cdot 10^{-2} = 10^3
5 + (−2).

Du bist dran

Jetzt du: Schreibe 10−210^{-2} als Bruch.

1100\dfrac{1}{100}
1/10².

Üben ★

  1. Schreibe 5−15^{-1} als Bruch.
  2. Schreibe 4−14^{-1} als Bruch.
  1. Wie groß ist 51051^0?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. 106⋅10−9=10?10^{ 6 } \cdot 10^{-9} = 10^{?}. Wie groß ist der Exponent?
  2. 108⋅10−9=10?10^{ 8 } \cdot 10^{-9} = 10^{?}. Wie groß ist der Exponent?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Schreibe 5−15^{-1} als Bruch.
  2. Schreibe 4−14^{-1} als Bruch.
  3. Schreibe 2−12^{-1} als Bruch.

Merkkarte

Exponent null und negative Exponenten

  • a0=1a^0 = 1.
  • a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n}.

Achtung: Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ.

4. Bruchgleichungen lösen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Löse 6x=2\dfrac{6}{x} = 2. Welcher Wert passt?

  1. x=3x = 3
  2. x=12x = 12

Die Grundidee

Nenner beseitigen, lösen, dann prüfen.

Beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren, die entstehende Gleichung lösen und jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung prüfen: Ein Wert, der einen Nenner 0 macht, liegt nicht in der Definitionsmenge und entfällt.

Beispiel

xx−2=2x−2+1\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{2}{x - 2} + 1.

x=2+(x−2)x = 2 + (x - 2), also x=xx = x
Mit x − 2 multiplizieren.
… außer dort, wo der Nenner 0 ist
Für jedes x wahr.
Lösungen: jedes x≠2x \neq 2
x = 2 ist ausgeschlossen.

Du bist dran

Jetzt du: xx+1=23\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{2}{3}.

x=2x = 2
3x = 2x + 2.

Üben ★

  1. Löse xx+2=27\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 2 }{ 7 }.
  2. Löse xx+2=46\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 4 }{ 6 }.
  3. Löse xx+6=58\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{ 5 }{ 8 }.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse 1x+111=15\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{ 11 } = \dfrac{1}{ 5 }.
  2. Löse 1x+112=12\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{ 12 } = \dfrac{1}{ 2 }.
  1. Löse x2−4x−2=4\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4.
    1. Keine Lösung: Kürzen ergibt x = 2, aber x = 2 macht den Nenner 0
    2. x = 2
    3. Jedes x außer 2

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse xx+2=27\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 2 }{ 7 }.
  2. Löse xx+2=46\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 4 }{ 6 }.
  3. Löse xx+6=58\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{ 5 }{ 8 }.

Merkkarte

Bruchgleichungen

Nenner beseitigen → lösen → in der ursprünglichen Gleichung prüfen.

Achtung: Werte, die einen Nenner 0 machen, entfallen.

5. Formeln nach einer Variablen umstellen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Rechteck hat den Umfang U=2a+2bU = 2a + 2b. Man kennt UU und aa. Welche Formel liefert bb direkt?

  1. b=U−2a2b = \dfrac{U - 2a}{2}
  2. b=U2−2ab = \dfrac{U}{2} - 2a

Die Grundidee

Eine Formel stellt man um wie eine Gleichung nach xx.

Um eine Formel nach einer Variablen umzustellen, behandelt man die anderen Buchstaben wie Zahlen: dieselben Umformungen, bis die Variable allein steht. Geteilt werden alle Summanden.

Beispiel

Stelle 3x+2y=123x + 2y = 12 nach yy um.

2y=12−3x2y = 12 - 3x
3x abziehen.
y=12−3x2y = \dfrac{12 - 3x}{2}
Beide Summanden durch 2 teilen.

Du bist dran

Jetzt du: Stelle y=4x+8y = 4x + 8 nach xx um.

x=y−84x = \dfrac{y - 8}{4}
8 abziehen, dann durch 4 teilen.

Üben ★

  1. Ein Auto fährt 2 km pro Minute: s=2ts = 2t. Stelle nach tt um. t=  ?t = \;?
  2. Ein Auto fährt 4 km pro Minute: s=4ts = 4t. Stelle nach tt um. t=  ?t = \;?
  1. Stelle 7x+9y=237x + 9y = 23 nach yy um. y=  ?y = \;?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Stelle y=9x+3y = 9x + 3 nach xx um. x=  ?x = \;?
  2. Stelle y=2x+4y = 2x + 4 nach xx um. x=  ?x = \;?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Stelle 7x+9y=237x + 9y = 23 nach yy um. y=  ?y = \;?
  2. Stelle 7x+5y=137x + 5y = 13 nach yy um. y=  ?y = \;?
  3. Stelle 7x+8y=77x + 8y = 7 nach yy um. y=  ?y = \;?

Merkkarte

Formeln umstellen

  • Dieselben Umformungen wie mit Zahlen.
  • Die anderen Buchstaben sind unbekannte Zahlen.

Achtung: Alle Summanden teilen.

Lösungen: Bruchterme und Bruchgleichungen

1. Bruchterme kürzen, multiplizieren und dividieren

A

  1. x + 2, für x ≠ 2
  2. x + 5, für x ≠ 5

B

  1. x+8x+9\frac{x + 8}{x + 9}

C

  1. 1x\frac{1}{x}
  2. 1x\frac{1}{x}

D

  1. x+8x+9\frac{x + 8}{x + 9}

E

  1. x + 2, für x ≠ 2
  2. x + 5, für x ≠ 5
  3. x + 3, für x ≠ 3

2. Bruchterme addieren und subtrahieren

A

  1. −3x−1- \frac{3}{x - 1}
  2. 7x−1\frac{7}{x - 1}

B

  1. x2−16x^{2} - 16

C

  1. 2x+8x(x+8)\frac{2 x + 8}{x \left(x + 8\right)}
  2. 2x+1x(x+1)\frac{2 x + 1}{x \left(x + 1\right)}

D

  1. −3x−1- \frac{3}{x - 1}

E

  1. 2x+8x(x+8)\frac{2 x + 8}{x \left(x + 8\right)}
  2. 2x+1x(x+1)\frac{2 x + 1}{x \left(x + 1\right)}
  3. 2x+4x(x+4)\frac{2 x + 4}{x \left(x + 4\right)}

3. Null und negative Exponenten

A

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 14\frac{1}{4}

B

  1. 11

C

  1. −3-3
  2. −1-1

D

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 14\frac{1}{4}
  3. 12\frac{1}{2}

4. Bruchgleichungen lösen

A

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 44
  3. 1010

B

  1. 556\frac{55}{6}
  2. 125\frac{12}{5}

C

  1. Keine Lösung: Kürzen ergibt x = 2, aber x = 2 macht den Nenner 0

D

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 44
  3. 1010

5. Formeln nach einer Variablen umstellen

A

  1. d2\frac{d}{2}
  2. d4\frac{d}{4}

B

  1. 239−7x9\frac{23}{9} - \frac{7 x}{9}

C

  1. y9−13\frac{y}{9} - \frac{1}{3}
  2. y2−2\frac{y}{2} - 2

D

  1. 239−7x9\frac{23}{9} - \frac{7 x}{9}
  2. 135−7x5\frac{13}{5} - \frac{7 x}{5}
  3. 78−7x8\frac{7}{8} - \frac{7 x}{8}