Kapitel drucken

Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Mit Lösungen

Für ein PDF wähle im Druckdialog „Als PDF speichern“.

1. Was ist eine Funktion: genau ein Funktionswert pro Eingabe

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Automat: Du drückst eine Taste und bekommst einen Snack. Die Taste B4 gibt mal Chips, mal einen Keks. Was ist das Problem?

Dieselbe Taste liefert zwei verschiedene Ergebnisse
Zwei Tasten können denselben Snack liefern

Die Grundidee

Eine Funktion ordnet jeder Zahl genau einen Funktionswert zu.

Eine Funktion ordnet jedem Wert von

x

genau einen Funktionswert zu. Mehrere Werte dürfen denselben Funktionswert haben. Im Koordinatensystem schneidet eine senkrechte Gerade den Graphen einer Funktion höchstens einmal.

Beispiel

$(1|5), (2|5), (3|7)$ und $(1|5), (1|6), (2|7)$ .

Die erste: eine Funktion.

Jeder x-Wert einmal.

Die zweite: keine Funktion.

1 hat die Werte 5 und 6.

Du bist dran

Jetzt du: die Vorschrift „verdreifachen, dann 4 abziehen“. Welchen Funktionswert hat 5?

11

15 − 4.

Üben ★

Eine Tabelle ordnet x-Werten y-Werte zu: $(x|y) = (5|1), (5|2), (9|3)$ . Ist $y$ eine Funktion von $x$ ?
1. Nein: Der Wert 5 hat zwei verschiedene Funktionswerte
2. Ja: Jeder Wert hat einen Funktionswert
3. Ja: Die Funktionswerte sind alle verschieden
Eine Tabelle ordnet x-Werten y-Werte zu: $(x|y) = (4|1), (4|2), (6|3)$ . Ist $y$ eine Funktion von $x$ ?
1. Nein: Der Wert 4 hat zwei verschiedene Funktionswerte
2. Ja: Jeder Wert hat einen Funktionswert
3. Ja: Die Funktionswerte sind alle verschieden

Eine Tabelle ordnet x-Werten y-Werte zu: $(x|y) = (1|5), (5|5), (9|5)$ . Ist $y$ eine Funktion von $x$ ?
1. Ja: Jeder x-Wert hat genau einen Funktionswert
2. Nein: Der Funktionswert 5 wiederholt sich
3. Nein: Eine Funktion braucht einen Term

Vorsicht!

Üben ★★

Vorschrift einer Funktion: mit 6 multiplizieren, dann 6 addieren. Welcher x-Wert hat den Funktionswert 24?
Vorschrift einer Funktion: mit 4 multiplizieren, dann 9 addieren. Welcher x-Wert hat den Funktionswert 21?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Eine Tabelle ordnet x-Werten y-Werte zu: $(x|y) = (5|1), (5|2), (9|3)$ . Ist $y$ eine Funktion von $x$ ?
1. Nein: Der Wert 5 hat zwei verschiedene Funktionswerte
2. Ja: Jeder Wert hat einen Funktionswert
3. Ja: Die Funktionswerte sind alle verschieden
Eine Tabelle ordnet x-Werten y-Werte zu: $(x|y) = (4|1), (4|2), (6|3)$ . Ist $y$ eine Funktion von $x$ ?
1. Nein: Der Wert 4 hat zwei verschiedene Funktionswerte
2. Ja: Jeder Wert hat einen Funktionswert
3. Ja: Die Funktionswerte sind alle verschieden
Eine Tabelle ordnet x-Werten y-Werte zu: $(x|y) = (2|1), (2|2), (8|3)$ . Ist $y$ eine Funktion von $x$ ?
1. Nein: Der Wert 2 hat zwei verschiedene Funktionswerte
2. Ja: Jeder Wert hat einen Funktionswert
3. Ja: Die Funktionswerte sind alle verschieden

Merkkarte

Funktionen

Genau ein Funktionswert für jeden x-Wert.
Derselbe Funktionswert darf mehrfach vorkommen.

Achtung: Zwei Funktionswerte zu einem x-Wert: keine Funktion.

2. Funktionsschreibweise: f(x) berechnen und ablesen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$f(x) = x + 5$ ist eine Vorschrift: Sie nimmt eine Zahl und addiert 5. Was bedeutet $f(2)$ ?

Der Funktionswert an der Stelle 2: $7$
$f$ mal 2

Die Grundidee

$f(x)$ ist der Funktionswert von $f$ an der Stelle $x$ .

f(a)

ist der Funktionswert an der Stelle

a

. Man ersetzt jedes

x

durch

(a)

, mit Klammern. Der Graph geht durch den Punkt

(a|f(a))

: Punktprobe: Ein Punkt

(a|b)

liegt genau dann auf dem Graphen, wenn

f(a) = b

gilt.

Beispiel

$f(x) = 3x^2 - x$ . Berechne $f(-2)$ .

f(-2) = 3(-2)^2 - (-2)

Jedes x durch (−2) ersetzen.

= 3 \cdot 4 + 2

(−2)² = 4, und −2 abziehen heißt 2 addieren.

= 14

Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = 2x^2 + 1$ .

f(-3) = 2(-3)^2 + 1

x durch (−3) ersetzen.

f(-3) = 19

(−3)² = 9, dann 2 · 9 + 1.

Üben ★

$f(x) = 2x^2 + 3$ . Berechne $f(-3)$ .
$f(x) = 4x^2 + 8$ . Berechne $f(-2)$ .
$f(x) = 4x^2 + 2$ . Berechne $f(-5)$ .
$f(x) = 5x^2 + 5$ . Berechne $f(-4)$ .
$f(x) = 3x^2 + 3$ . Berechne $f(-4)$ .

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = x^2 + 3$ . Berechne $f(2 + 3)$ .
$f(x) = x^2 + 2$ . Berechne $f(4 + 4)$ .
$f(x) = x^2 + 7$ . Berechne $f(4 + 1)$ .
$f(x) = x^2 + 3$ . Berechne $f(3 + 3)$ .

Hier ist der Graph von $y = f(x)$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, der $f(2)$ zeigt.
Hier ist der Graph von $y = f(x)$ . Tippe auf den Punkt des Graphen, der $f(2)$ zeigt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = x^2 + 3$ . Berechne $f(2 + 3)$ .
$f(x) = x^2 + 2$ . Berechne $f(4 + 4)$ .
$f(x) = x^2 + 7$ . Berechne $f(4 + 1)$ .

Merkkarte

Funktionswert

$f(a)$ ist der Funktionswert an der Stelle $a$ .
$x$ durch $(a)$ ersetzen, mit Klammern.

Achtung: $f(a + b)$ ist nicht $f(a) + f(b)$ .

3. Definitionsmenge und Wertemenge in Intervallschreibweise

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Welche Zahlen darf man in $f(x) = \sqrt{x}$ einsetzen?

Die nicht negativen Zahlen
Alle reellen Zahlen

Die Grundidee

Die Definitionsmenge enthält die erlaubten Werte für $x$ .

Man schließt jedes

x

aus, das einen Nenner zu 0 oder den Term unter einer Quadratwurzel negativ macht. Eine zur Zahl hin geöffnete Klammer schließt sie ein:

[2; +\infty[

enthält 2;

]2; +\infty[

enthält sie nicht.

Beispiel

Bestimme die Definitionsmenge von $f(x) = \sqrt{x + 2}$ .

x + 2 \geq 0

Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen.

x \geq -2

2 abziehen.

[-2; +\infty[

−2 ist erlaubt, denn √0 = 0.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \sqrt{x - 5}$ .

x - 5 \geq 0

Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen.

[5; +\infty[

5 addieren: Die Menge beginnt bei dieser Zahl.

Üben ★

Wie lautet die Definitionsmenge von $f(x) = \sqrt{x - 9}$ ? Gib sie als Intervall an.
Wie lautet die Definitionsmenge von $f(x) = \sqrt{x - 5}$ ? Gib sie als Intervall an.
Wie lautet die Definitionsmenge von $f(x) = \sqrt{x - 6}$ ? Gib sie als Intervall an.
Wie lautet die Definitionsmenge von $f(x) = \sqrt{x - 4}$ ? Gib sie als Intervall an.

Vorsicht!

Üben ★★

Wie lautet die Definitionsmenge von $f(x) = \dfrac{ 9 }{x - 6}$ ? Gib sie als Intervall oder Vereinigung von Intervallen an.
Wie lautet die Definitionsmenge von $f(x) = \dfrac{ 6 }{x - 5}$ ? Gib sie als Intervall oder Vereinigung von Intervallen an.
Wie lautet die Definitionsmenge von $f(x) = \dfrac{ 4 }{x - 3}$ ? Gib sie als Intervall oder Vereinigung von Intervallen an.

Wie lautet die Wertemenge von $f(x) = (x - 5)^2 + 9$ ? Gib sie als Intervall an.
Wie lautet die Wertemenge von $f(x) = (x - 3)^2 + 6$ ? Gib sie als Intervall an.
Wie lautet die Wertemenge von $f(x) = (x - 5)^2 + 4$ ? Gib sie als Intervall an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Wie lautet die Wertemenge von $f(x) = (x - 5)^2 + 9$ ? Gib sie als Intervall an.
Wie lautet die Wertemenge von $f(x) = (x - 3)^2 + 6$ ? Gib sie als Intervall an.
Wie lautet die Wertemenge von $f(x) = (x - 5)^2 + 4$ ? Gib sie als Intervall an.

Merkkarte

Definitionsmenge

Kein Nenner 0, nichts Negatives unter einer Wurzel.
$[a; +\infty[$ enthält $a$ ; $]a; +\infty[$ nicht.

Achtung: Die Wertemenge liest man an der y-Achse ab.

Lösungen: Funktion und Term

1. Was ist eine Funktion: genau ein Funktionswert pro Eingabe

Nein: Der Wert 5 hat zwei verschiedene Funktionswerte
Nein: Der Wert 4 hat zwei verschiedene Funktionswerte

Ja: Jeder x-Wert hat genau einen Funktionswert

Nein: Der Wert 5 hat zwei verschiedene Funktionswerte
Nein: Der Wert 4 hat zwei verschiedene Funktionswerte
Nein: Der Wert 2 hat zwei verschiedene Funktionswerte

2. Funktionsschreibweise: f(x) berechnen und ablesen

$21$
$24$
$102$
$85$
$51$

$28$
$66$
$32$
$39$

$(2, -1)$
$(2, 3)$

$28$
$66$
$32$

3. Definitionsmenge und Wertemenge in Intervallschreibweise

$[9\,;\,+\infty[$
$[5\,;\,+\infty[$
$[6\,;\,+\infty[$
$[4\,;\,+\infty[$

$]-\infty\,;\,6[ \cup ]6\,;\,+\infty[$
$]-\infty\,;\,5[ \cup ]5\,;\,+\infty[$
$]-\infty\,;\,3[ \cup ]3\,;\,+\infty[$

$[9\,;\,+\infty[$
$[6\,;\,+\infty[$
$[4\,;\,+\infty[$

$[9\,;\,+\infty[$
$[6\,;\,+\infty[$
$[4\,;\,+\infty[$