Indirekte Proportionalität

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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4 Personen brauchen für eine Arbeit 6 Stunden. Wie lange brauchen 8 Personen, wenn alle gleich schnell arbeiten?

3 Stunden
12 Stunden

Die Grundidee

Bei indirekter Proportionalität bleibt das Produkt gleich.

$y$ ist indirekt proportional zu $x$ , wenn $x \cdot y$ für alle Wertepaare gleich ist: $y = \dfrac{k}{x}$ mit $x > 0$ . Doppeltes $x$ bedeutet halbes $y$ .

Der Graph ist ein Hyperbelast. Nicht jeder fallende Zusammenhang ist indirekt proportional: Entscheidend ist das konstante Produkt.

Beispiel

Ein Vorrat reicht für 12 Tiere 10 Tage. Wie lange für 15 Tiere?

k = 12 \cdot 10 = 120

Das konstante Produkt.

y = \dfrac{120}{15}

y = k : x.

8 Tage

Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: $y$ ist indirekt proportional zu $x$ ; $y = 6$ für $x = 5$ . Bestimme $y$ für $x = 10$ .

y = \dfrac{30}{10}

k = 30.

3

Ergebnis.

Üben ★

$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 6$ ist $y = 14$ . Bestimme $y$ für $x = 12$ .
$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 4$ ist $y = 18$ . Bestimme $y$ für $x = 8$ .

$y$ ist indirekt proportional zu $x$ ; $y = 3$ für $x = 7$ . Wie groß ist $k$ in $y = \dfrac{k}7$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Welche Tabelle zeigt für $x = 1, 2, 4$ eine indirekte Proportionalität?
1. $y = 24; 12; 6$
2. $y = 6; 12; 24$
3. $y = 26; 25; 24$

Abschlussaufgabe. 3 Maschinen brauchen für einen Auftrag 10 Stunden. Alle arbeiten gleich schnell.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 6$ ist $y = 14$ . Bestimme $y$ für $x = 12$ .
$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 4$ ist $y = 18$ . Bestimme $y$ für $x = 8$ .
$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 3$ ist $y = 27$ . Bestimme $y$ für $x = 9$ .

Merkkarte

Indirekte Proportionalität

$x \cdot y = k$ ist konstant.
$y = \dfrac{k}{x}$ ; der Graph ist ein Hyperbelast.
Doppeltes $x$ , halbes $y$ .

Achtung: Fallend allein reicht nicht.

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