Elementare gebrochen-rationale Funktionen

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Funktionen a/(x + b) + c

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

$f(x) = \dfrac{1}{x - 2} + 3$ . Welche Zahl darf man für $x$ nicht einsetzen?

Der Graph von y = a/(x + b) + c, eine Hyperbel mit der senkrechten Asymptote x = −b und der waagrechten Asymptote y = c.

$x - 2$ $x - 2$ wäre 0." data-option="1"> $x = 2$
$-2 - 2 = -4$ $- 2 - 2 = - 4$ , das ist erlaubt. Null wird der Nenner bei $x = 2$ ." data-option="2"> $x = -2$

Die Grundidee

Der Graph von $\dfrac{1}{x}$ ist eine Hyperbel; die Parameter verschieben und strecken sie.

$f(x) = \dfrac{a}{x + b} + c$ hat die Definitionsmenge $\mathbb{R} \setminus \{-b\}$ , die senkrechte Asymptote $x = -b$ und die waagrechte Asymptote $y = c$ .

$b$ verschiebt den Graphen waagrecht (um $-b$ ), $c$ senkrecht; $a$ streckt ihn, und für $a < 0$ wird er an der waagrechten Asymptote gespiegelt.

Beispiel

Untersuche $f(x) = \dfrac{2}{x + 1} - 3$ .

Definitionsmenge

\mathbb{R} \setminus \{-1\}

, senkrechte Asymptote

x = -1

Nenner 0 bei x = −1.

Waagrechte Asymptote

y = -3

Die addierte Zahl.

f(1) = 1 - 3 = -2

x = 1 einsetzen.

Du bist dran

Jetzt du: $f(x) = \dfrac{4}{x - 5} + 1$ . Wo liegt die senkrechte Asymptote: $x = \;?$

x - 5 = 0

x − 5 = 0.

5

Lösung.

Üben ★

$f(x) = \dfrac{ 4 }{x + 1} + 0$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2 }{x + 3} + -1$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?

$f(x) = \dfrac{ 5 }{x - 5} + (1)$ hat die waagrechte Asymptote $y = k$ . Wie groß ist $k$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

$f(x) = \dfrac{ 2 }{x - 1} + (-5)$ . Berechne $f(5)$ .
$f(x) = \dfrac{ 6 }{x - 2} + (-4)$ . Berechne $f(5)$ .

Abschlussaufgabe. Gegeben ist $f(x) = \dfrac{ 9 }{x + 5} - 2$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$f(x) = \dfrac{ 4 }{x + 1} + 0$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?
$f(x) = \dfrac{ 2 }{x + 3} + -1$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?
$f(x) = \dfrac{ 3 }{x + 5} + 3$ hat die senkrechte Asymptote $x = d$ . Wie groß ist $d$ ?

Merkkarte

Funktionen $\dfrac{a}{x + b} + c$

Definitionsmenge: $\mathbb{R} \setminus \{-b\}$ .
Senkrechte Asymptote $x = -b$ .
Waagrechte Asymptote $y = c$ .

Achtung: Das Vorzeichen von $b$ dreht sich um.

2. Indirekte Proportionalität

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

4 Personen brauchen für eine Arbeit 6 Stunden. Wie lange brauchen 8 Personen, wenn alle gleich schnell arbeiten?

3 Stunden
12 Stunden

Die Grundidee

Bei indirekter Proportionalität bleibt das Produkt gleich.

$y$ ist indirekt proportional zu $x$ , wenn $x \cdot y$ für alle Wertepaare gleich ist: $y = \dfrac{k}{x}$ mit $x > 0$ . Doppeltes $x$ bedeutet halbes $y$ .

Der Graph ist ein Hyperbelast. Nicht jeder fallende Zusammenhang ist indirekt proportional: Entscheidend ist das konstante Produkt.

Beispiel

Ein Vorrat reicht für 12 Tiere 10 Tage. Wie lange für 15 Tiere?

k = 12 \cdot 10 = 120

Das konstante Produkt.

y = \dfrac{120}{15}

y = k : x.

8 Tage

Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: $y$ ist indirekt proportional zu $x$ ; $y = 6$ für $x = 5$ . Bestimme $y$ für $x = 10$ .

y = \dfrac{30}{10}

k = 30.

3

Ergebnis.

Üben ★

$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 6$ ist $y = 14$ . Bestimme $y$ für $x = 12$ .
$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 4$ ist $y = 18$ . Bestimme $y$ für $x = 8$ .

$y$ ist indirekt proportional zu $x$ ; $y = 3$ für $x = 7$ . Wie groß ist $k$ in $y = \dfrac{k}7$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Welche Tabelle zeigt für $x = 1, 2, 4$ eine indirekte Proportionalität?
1. $y = 24; 12; 6$
2. $y = 6; 12; 24$
3. $y = 26; 25; 24$

Abschlussaufgabe. 3 Maschinen brauchen für einen Auftrag 10 Stunden. Alle arbeiten gleich schnell.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 6$ ist $y = 14$ . Bestimme $y$ für $x = 12$ .
$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 4$ ist $y = 18$ . Bestimme $y$ für $x = 8$ .
$y$ ist indirekt proportional zu $x$ . Für $x = 3$ ist $y = 27$ . Bestimme $y$ für $x = 9$ .

Merkkarte

Indirekte Proportionalität

$x \cdot y = k$ ist konstant.
$y = \dfrac{k}{x}$ ; der Graph ist ein Hyperbelast.
Doppeltes $x$ , halbes $y$ .

Achtung: Fallend allein reicht nicht.

Lösungen: Elementare gebrochen-rationale Funktionen

1. Funktionen a/(x + b) + c

$-1$
$-3$

$- \frac{9}{2}$
$-2$

$- \frac{1}{2}$

$-1$
$-3$
$-5$

2. Indirekte Proportionalität

$21$

$y = 24; 12; 6$

$30$