Lineare Gleichungssysteme

Kapitel drucken

Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Für ein PDF wähle im Druckdialog „Als PDF speichern“.

1. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen und ihre Graphen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ist (2∣4)(2|4) eine Lösung von 3x+y=103x + y = 10?

  1. Ja
  2. Nein

Die Grundidee

Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade.

Die Lösungen von ax+by=cax + by = c sind die Punkte einer Geraden. Mit y=0y = 0 erhält man die Nullstelle, mit x=0x = 0 den y-Achsenabschnitt. Auflösen nach yy ergibt y=mx+ty = mx + t mit der Steigung m=−abm = -\tfrac{a}{b}.

Beispiel

2x+5y=202x + 5y = 20.

Nullstelle 1010
y = 0.
y-Achsenabschnitt 44
x = 0.
Steigung −25-\tfrac{2}{5}
y = −(2/5)x + 4.

Du bist dran

Jetzt du: der y-Achsenabschnitt von 3x+4y=243x + 4y = 24.

66
x = 0: 4y = 24.

Üben ★

  1. Der Punkt (2∣y)(2|y) ist eine Lösung von 5x+y=155x + y = 15. Bestimme yy.
  2. Der Punkt (1∣y)(1|y) ist eine Lösung von 5x+y=175x + y = 17. Bestimme yy.
  1. Bestimme die Nullstelle von 3x+6y=543x + 6y = 54 (den x-Wert, bei dem die Gerade die x-Achse schneidet).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie groß ist die Steigung der Geraden 8x+9y=178x + 9y = 17?
  2. Wie groß ist die Steigung der Geraden 1x+4y=41x + 4y = 4?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme die Nullstelle von 3x+6y=543x + 6y = 54 (den x-Wert, bei dem die Gerade die x-Achse schneidet).
  2. Bestimme die Nullstelle von 3x+1y=33x + 1y = 3 (den x-Wert, bei dem die Gerade die x-Achse schneidet).
  3. Bestimme die Nullstelle von 4x+1y=124x + 1y = 12 (den x-Wert, bei dem die Gerade die x-Achse schneidet).

Merkkarte

Geraden aus Gleichungen

Achsenschnittpunkte: die andere Variable 0 setzen. Steigung: nach yy auflösen.

Achtung: Die Steigung von ax+by=cax + by = c ist −a/b-a/b.

2. Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

y=2xy = 2x und x+y=9x + y = 9. Da yy gleich 2x2x ist, kannst du es ersetzen. Wie groß ist xx?

  1. 33
  2. 66

Die Grundidee

Das Einsetzen macht aus zwei Gleichungen eine.

Eine Lösung eines Gleichungssystems erfüllt beide Gleichungen: Es ist der Schnittpunkt der Geraden. Einsetzungsverfahren: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen, den Term in die andere Gleichung einsetzen, lösen, dann durch Einsetzen die andere Variable bestimmen.

Beispiel

y=3x−1y = 3x - 1 und 2x+y=142x + y = 14.

2x+3x−1=142x + 3x - 1 = 14
y ersetzen.
x=3x = 3
5x = 15.
y=8y = 8
In y = 3x − 1 einsetzen.

Du bist dran

Jetzt du: y=x+4y = x + 4 und x+y=10x + y = 10. Bestimme xx.

x=3x = 3
2x + 4 = 10.

Üben ★

  1. Löse das System y=2x+4y = 2x + 4 und 3x+y=243x + y = 24. x=  ?x = \;?
  2. Löse das System y=5x+5y = 5x + 5 und 3x+y=373x + y = 37. x=  ?x = \;?
  1. Löse das System y=2x+4y = 2x + 4 und 2x+y=242x + y = 24. y=  ?y = \;?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse das System x=3yx = 3y und x+y=24x + y = 24. y=  ?y = \;?
  2. Löse das System x=5yx = 5y und x+y=24x + y = 24. y=  ?y = \;?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse das System y=2x+4y = 2x + 4 und 3x+y=243x + y = 24. x=  ?x = \;?
  2. Löse das System y=5x+5y = 5x + 5 und 3x+y=373x + y = 37. x=  ?x = \;?
  3. Löse das System y=5x+7y = 5x + 7 und 3x+y=393x + y = 39. x=  ?x = \;?

Merkkarte

Einsetzungsverfahren

Eine Variable durch ihren Term ersetzen, lösen, dann zurück einsetzen.

Achtung: Gib die gefragte Variable an.

3. Lineare Gleichungssysteme: Additionsverfahren

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

x+y=10x + y = 10 und x−y=4x - y = 4. Addiere die beiden Gleichungen. Was passiert?

  1. yy fällt weg: 2x=142x = 14
  2. xx fällt weg

Die Grundidee

Additionsverfahren: ganze Gleichungen addieren oder subtrahieren.

Addieren oder Subtrahieren von Gleichungen erhält die Lösung des Systems. Additionsverfahren: Die Faktoren einer Variablen angleichen (falls nötig eine Gleichung multiplizieren), dann subtrahieren (oder addieren, wenn sie entgegengesetzt sind), sodass die Variable wegfällt.

Beispiel

2x+5y=192x + 5y = 19 und 2x+y=112x + y = 11.

4y=84y = 8
Subtrahieren: 2x fällt weg.
y=2y = 2
Teilen.
x=4,5x = 4{,}5
2x + 2 = 11.

Du bist dran

Jetzt du: x+y=12x + y = 12 und x−y=2x - y = 2. Bestimme xx.

x=7x = 7
Addieren: 2x = 14.

Üben ★

  1. Löse das System x+y=15x + y = 15 und x−y=3x - y = 3. x=  ?x = \;?
  2. Löse das System x+y=3x + y = 3 und x−y=−1x - y = -1. x=  ?x = \;?
  1. Löse das System 3x+4y=303x + 4y = 30 und 3x+2y=183x + 2y = 18. y=  ?y = \;?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Um x+7y=20x + 7y = 20 und 9x+y=209x + y = 20 mit dem Additionsverfahren zu lösen, multiplizierst du die erste Gleichung mit einer Zahl und subtrahierst die zweite, sodass xx wegfällt. Mit welcher Zahl?
  2. Um x+5y=20x + 5y = 20 und 9x+y=279x + y = 27 mit dem Additionsverfahren zu lösen, multiplizierst du die erste Gleichung mit einer Zahl und subtrahierst die zweite, sodass xx wegfällt. Mit welcher Zahl?
  1. Abschlussaufgabe. Für ein Schultheater wurden 33 Karten verkauft: Erwachsenenkarten zu 9 Euro und Kinderkarten zu 7 Euro, zusammen 287 Euro. Es sei xx die Anzahl der Erwachsenenkarten und yy die der Kinderkarten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse das System x+y=15x + y = 15 und x−y=3x - y = 3. x=  ?x = \;?
  2. Löse das System x+y=3x + y = 3 und x−y=−1x - y = -1. x=  ?x = \;?
  3. Löse das System x+y=8x + y = 8 und x−y=−6x - y = -6. x=  ?x = \;?

Merkkarte

Additionsverfahren

Gleiche Faktoren: subtrahieren. Entgegengesetzte Faktoren: addieren.

Achtung: Zuerst multiplizieren, wenn keine Faktoren passen.

4. Gleichungssysteme mit einer, keiner oder unendlich vielen Lösungen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

y=2x+1y = 2x + 1 und y=2x+5y = 2x + 5. Können beide zugleich gelten?

  1. Nein, nie
  2. Ja, immer

Die Grundidee

Zwei Geraden treffen sich einmal, nie oder überall.

Beide Gleichungen in der Form y=mx+ty = mx + t schreiben. Verschiedene Steigungen: eine Lösung. Gleiche Steigung, verschiedene y-Achsenabschnitte: parallele Geraden, keine Lösung. Gleiche Steigung und gleicher y-Achsenabschnitt: dieselbe Gerade, unendlich viele Lösungen.

Beispiel

y=3x−2y = 3x - 2 und 6x−2y=46x - 2y = 4.

y=3x−2y = 3x - 2
Die zweite nach y auflösen.
Unendlich viele Lösungen
Identisch.

Du bist dran

Jetzt du: Wie viele Lösungen hat y=4x+1y = 4x + 1, y=−x+6y = -x + 6? Gib die Zahl ein.

11
Verschiedene Steigungen.

Üben ★

  1. Wie viele Lösungen hat das System y=5x+6y = 5x + 6 und y=5x+7y = 5x + 7?
    1. Keine Lösung
    2. Genau eine
    3. Unendlich viele
  2. Wie viele Lösungen hat das System y=3x+9y = 3x + 9 und y=3x+11y = 3x + 11?
    1. Keine Lösung
    2. Genau eine
    3. Unendlich viele
  1. Wie viele Lösungen hat das System y=3x+2y = 3x + 2 und y=−3x+9y = -3x + 9?
    1. Genau eine
    2. Keine Lösung
    3. Unendlich viele

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie viele Lösungen hat das System y=6x+4y = 6x + 4 und 12x−2y=−812x - 2y = -8?
    1. Unendlich viele
    2. Keine Lösung
    3. Genau eine
  2. Wie viele Lösungen hat das System y=5x+4y = 5x + 4 und 10x−2y=−810x - 2y = -8?
    1. Unendlich viele
    2. Keine Lösung
    3. Genau eine

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie viele Lösungen hat das System y=5x+6y = 5x + 6 und y=5x+7y = 5x + 7?
    1. Keine Lösung
    2. Genau eine
    3. Unendlich viele
  2. Wie viele Lösungen hat das System y=3x+9y = 3x + 9 und y=3x+11y = 3x + 11?
    1. Keine Lösung
    2. Genau eine
    3. Unendlich viele
  3. Wie viele Lösungen hat das System y=4x+8y = 4x + 8 und y=4x+10y = 4x + 10?
    1. Keine Lösung
    2. Genau eine
    3. Unendlich viele

Merkkarte

Wie viele Lösungen?

Verschiedene Steigungen: eine. Parallel: keine. Dieselbe Gerade: unendlich viele.

Achtung: Gleiche Steigung allein reicht nicht; prüfe die y-Achsenabschnitte.

Lösungen: Lineare Gleichungssysteme

1. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen und ihre Graphen

A

  1. 55
  2. 1212

B

  1. 1818

C

  1. −89- \frac{8}{9}
  2. −14- \frac{1}{4}

D

  1. 1818
  2. 11
  3. 33

2. Lineare Gleichungssysteme: Einsetzungsverfahren

A

  1. 44
  2. 44

B

  1. 1414

C

  1. 66
  2. 44

D

  1. 44
  2. 44
  3. 44

3. Lineare Gleichungssysteme: Additionsverfahren

A

  1. 99
  2. 11

B

  1. 66

C

  1. 99
  2. 99

D

  1. 55

E

  1. 99
  2. 11
  3. 11

4. Gleichungssysteme mit einer, keiner oder unendlich vielen Lösungen

A

  1. Keine Lösung
  2. Keine Lösung

B

  1. Genau eine

C

  1. Unendlich viele
  2. Unendlich viele

D

  1. Keine Lösung
  2. Keine Lösung
  3. Keine Lösung