Kreis und Zylinder

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Kreisumfang

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wickle einen Faden um eine Dose und vergleiche ihn mit dem Durchmesser der Dose. Wie viele Durchmesser ist der Faden ungefähr lang?

  1. Etwas mehr als 3
  2. Genau 2

Die Grundidee

Der Umfang ist etwa 3,14 Durchmesser.

Bei jedem Kreis gilt UmfangDurchmesser=π≈3,14\dfrac{\text{Umfang}}{\text{Durchmesser}} = \pi \approx 3{,}14. Also U=πd=2πrU = \pi d = 2\pi r, wobei der Durchmesser dd doppelt so groß ist wie der Radius rr.

Beispiel

Ein Fahrradrad mit dem Radius 33 cm.

d=66d = 66 cm
d = 2r.
U=66π≈207,3U = 66\pi \approx 207{,}3 cm
U = πd.

Du bist dran

Jetzt du: Umfang 18π18\pi. Der Durchmesser.

1818
U = πd.

Üben ★

  1. Ein Kreis hat den Durchmesser 26 cm. Bestimme seinen Umfang (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  2. Ein Kreis hat den Durchmesser 24 cm. Bestimme seinen Umfang (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  1. Ein Rad hat den Radius 16 cm. Wie weit rollt es bei einer vollen Umdrehung (exakt, mit π)?Nicht maßstabsgetreu

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Kreis hat den Umfang 26π26\pi cm. Bestimme seinen Radius (cm).
  2. Ein Kreis hat den Umfang 33π33\pi cm. Bestimme seinen Radius (cm).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Kreis hat den Durchmesser 26 cm. Bestimme seinen Umfang (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  2. Ein Kreis hat den Durchmesser 24 cm. Bestimme seinen Umfang (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  3. Ein Kreis hat den Durchmesser 11 cm. Bestimme seinen Umfang (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Kreisumfang

U=πd=2πrU = \pi d = 2\pi r.

Achtung: Radius oder Durchmesser? Prüfe das, bevor du π verwendest.

2. Flächeninhalt eines Kreises

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Zerschneide einen Kreis mit Radius rr in schmale Sektoren und lege sie aneinander: Sie bilden fast ein Rechteck, einen halben Umfang lang und rr hoch. Wie groß ist sein Flächeninhalt?

  1. πr⋅r=πr2\pi r \cdot r = \pi r^2
  2. 2πr2\pi r

Die Grundidee

Der Flächeninhalt zählt die Flächeneinheiten innen.

Der Flächeninhalt eines Kreises ist A=πr2A = \pi r^2 (Flächeneinheiten). Der Umfang U=2πrU = 2\pi r ist eine Länge. Kennst du den Durchmesser, halbiere ihn zuerst.

Beispiel

Eine Pizza mit dem Durchmesser 30 cm.

r=15r = 15
Halbieren.
A=225π≈707A = 225\pi \approx 707 cm²
πr².

Du bist dran

Jetzt du: der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius 10 (mit π, gib pi ein).

100π100\pi
π · 100.

Üben ★

  1. Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 3 cm (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  2. Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 12 cm (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  1. Bestimme den Flächeninhalt eines Halbkreises mit dem Radius 14 m (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein runder Tisch hat den Durchmesser 6 dm. Bestimme seinen Flächeninhalt (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  2. Ein runder Tisch hat den Durchmesser 9 dm. Bestimme seinen Flächeninhalt (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  1. Abschlussaufgabe. Ein runder Garten hat den Durchmesser 18 m. Gib exakte Ergebnisse mit π an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 3 cm (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  2. Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 12 cm (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu
  3. Bestimme den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius 7 cm (exakt, mit π).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Flächeninhalt des Kreises

A=πr2A = \pi r^2; außen herum U=2πrU = 2\pi r.

Achtung: Den Radius quadrieren, nicht den Durchmesser.

3. Volumen von Prismen und Zylindern

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Stapel gleicher Münzen bildet einen Zylinder. Hat jede Münze die Fläche GG und der Stapel die Höhe hh: Wie groß ist sein Volumen?

  1. G⋅hG \cdot h
  2. G+hG + h

Die Grundidee

Grundfläche mal Höhe.

Für ein gerades Prisma und einen Zylinder gilt V=G⋅hV = G \cdot h mit dem Inhalt GG der Grundfläche. Zylinder: V=πr2hV = \pi r^2h.

Beispiel

Ein Zylinder mit r=3r = 3 und h=10h = 10.

Nicht maßstabsgetreu

G=9πG = 9\pi
Grundfläche.
V=90π≈282,7V = 90\pi \approx 282{,}7
Mal Höhe.

Du bist dran

Jetzt du: ein Quader mit den Kanten 4, 5 und 6.

120120
4 · 5 · 6.

Üben ★

  1. Berechne das Volumen eines Zylinders mit Radius 3 cm und Höhe 4 cm (exakt, mit π\pi).Nicht maßstabsgetreu
  2. Berechne das Volumen eines Zylinders mit Radius 8 cm und Höhe 11 cm (exakt, mit π\pi).Nicht maßstabsgetreu
  1. Ein gerades Prisma hat als Grundfläche ein Dreieck mit der Grundseite 2 cm und der Höhe 7 cm; das Prisma ist 7 cm lang. Berechne sein Volumen (cm³).Nicht maßstabsgetreu

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Zylinder mit dem Radius 5 cm hat das Volumen 175π175\pi cm³. Berechne seine Höhe (cm).Nicht maßstabsgetreu
  2. Ein Zylinder mit dem Radius 6 cm hat das Volumen 360π360\pi cm³. Berechne seine Höhe (cm).Nicht maßstabsgetreu

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne das Volumen eines Zylinders mit Radius 3 cm und Höhe 4 cm (exakt, mit π\pi).Nicht maßstabsgetreu
  2. Berechne das Volumen eines Zylinders mit Radius 8 cm und Höhe 11 cm (exakt, mit π\pi).Nicht maßstabsgetreu
  3. Berechne das Volumen eines Zylinders mit Radius 5 cm und Höhe 5 cm (exakt, mit π\pi).Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Prisma und Zylinder

  • V=G⋅hV = G \cdot h.
  • Zylinder: V=πr2hV = \pi r^2h.

Achtung: Die Grundfläche, nicht ihr Umfang.

Lösungen: Kreis und Zylinder

1. Kreisumfang

A

  1. 26π26 \pi
  2. 24π24 \pi

B

  1. 32π32 \pi

C

  1. 1313
  2. 332\frac{33}{2}

D

  1. 26π26 \pi
  2. 24π24 \pi
  3. 11π11 \pi

2. Flächeninhalt eines Kreises

A

  1. 9π9 \pi
  2. 144π144 \pi

B

  1. 98π98 \pi

C

  1. 9π9 \pi
  2. 81π4\frac{81 \pi}{4}

D

  1. 81π81 \pi

E

  1. 9π9 \pi
  2. 144π144 \pi
  3. 49π49 \pi

3. Volumen von Prismen und Zylindern

A

  1. 36π36 \pi
  2. 704π704 \pi

B

  1. 4949

C

  1. 77
  2. 1010

D

  1. 36π36 \pi
  2. 704π704 \pi
  3. 125π125 \pi