Laplace-Wahrscheinlichkeit mit Zählprinzip und Baumdiagramm

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Jahrgangsstufe 8 › Laplace-Experimente

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Laplace-Wahrscheinlichkeit mit Zählprinzip und Baumdiagramm

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Menü hat 3 Vorspeisen und 4 Hauptgerichte. Wie viele verschiedene Kombinationen aus Vorspeise und Hauptgericht gibt es?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 12
  2. 7

Die Grundidee

Das Zählprinzip zählt alle Ergebnisse, ohne sie aufzuschreiben.

Zählprinzip: Gibt es bei kk Schritten nacheinander n1n_1, n2n_2, …, nkn_k Möglichkeiten, so gibt es insgesamt n1⋅n2⋅…⋅nkn_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k Ergebnisse. Ein Baumdiagramm zeigt sie als Pfade.

Bei einem Laplace-Experiment gilt P(E)=Anzahl der gu¨nstigen ErgebnisseAnzahl aller ErgebnisseP(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}.

Beispiel

Eine vierstellige PIN aus den Ziffern 0 bis 9. Wie groß ist die Chance, sie beim ersten Versuch zu erraten?

10⋅10⋅10⋅10=10 00010 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000 Ergebnisse
Vier Stellen mit je 10 Möglichkeiten.
P=110 000P = \dfrac{1}{10\,000}
Ein günstiges Ergebnis.
P=0,0001P = 0{,}0001
Als Dezimalzahl.

Du bist dran

Jetzt du: Eine Münze und ein Würfel werden geworfen. Wie viele Ergebnisse gibt es?

2⋅62 \cdot 6
2 · 6.
1212
Anzahl.

Üben ★

  1. Ein Outfit besteht aus einem von 4 Shirts, einer von 7 Hosen und einem von 2 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?
  2. Ein Outfit besteht aus einem von 3 Shirts, einer von 5 Hosen und einem von 2 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?
  1. Eine Münze und ein Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ und eine bestimmte Augenzahl?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zwei Würfel werden geworfen. Warum ist P(Summe 2)≠P(Summe 7)P(\text{Summe } 2) \neq P(\text{Summe } 7)?
    1. Die 36 Paare sind gleich wahrscheinlich, aber zur Summe 7 gehören mehr Paare
    2. Es stimmt nicht: Jede Summe hat die Wahrscheinlichkeit 111\dfrac{1}{11}
    3. Weil 7 eine größere Zahl ist als 2
  1. Abschlussaufgabe. Ein Fahrradschloss hat 2 Ringe mit den Ziffern 0 bis 9.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Outfit besteht aus einem von 4 Shirts, einer von 7 Hosen und einem von 2 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?
  2. Ein Outfit besteht aus einem von 3 Shirts, einer von 5 Hosen und einem von 2 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?
  3. Ein Outfit besteht aus einem von 5 Shirts, einer von 4 Hosen und einem von 3 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?

Merkkarte

Zählprinzip und Laplace

  • Möglichkeiten der Schritte multiplizieren.
  • Baumdiagramm: jeder Pfad ein Ergebnis.
  • P(E)P(E) = günstige : alle.

Achtung: Nur gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählen.

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Lösungen: Laplace-Wahrscheinlichkeit mit Zählprinzip und Baumdiagramm

A

  1. 5656
  2. 3030

B

  1. 112\frac{1}{12}

C

  1. Die 36 Paare sind gleich wahrscheinlich, aber zur Summe 7 gehören mehr Paare

D

  1. 44

E

  1. 5656
  2. 3030
  3. 6060

CC BY-SA 4.0