Laplace-Experimente

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Wortschatz der Wahrscheinlichkeit

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Würfel wird geworfen. „Eine gerade Zahl würfeln“ ist:

  1. Ein Ereignis
  2. Ein Ergebnis

Die Grundidee

Diese Begriffe beschreiben ein Zufallsexperiment.

Nicht maßstabsgetreu

Ein Zufallsexperiment hat mehrere mögliche Ausgänge, die Ergebnisse. Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.

Sind die Ergebnisse gleich wahrscheinlich (Laplace-Experiment), ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Anzahl aller Ergebnisse. Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1.

Beispiel

Man zieht eine von 10 Karten, davon 3 rote.

310\dfrac{3}{10}
Günstige Ergebnisse / alle Ergebnisse.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen Würfel eine 6 zu würfeln?

16\dfrac{1}{6}
Ein Ergebnis von sechs.

Üben ★

  1. Ein Beutel enthält 9 Chips, davon 2 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Chip zu ziehen?
  2. Ein Beutel enthält 10 Chips, davon 4 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Chip zu ziehen?
  3. Ein Beutel enthält 12 Chips, davon 5 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Chip zu ziehen?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welches Ereignis hat bei einem Würfel mit 7 Seiten die Wahrscheinlichkeit 0?
    1. Eine 8 würfeln
    2. Eine 1 würfeln
    3. Eine ganze Zahl würfeln
  2. Welches Ereignis hat bei einem Würfel mit 13 Seiten die Wahrscheinlichkeit 0?
    1. Eine 14 würfeln
    2. Eine 1 würfeln
    3. Eine ganze Zahl würfeln
  1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses?
    1. 1
    2. 0
    3. 100
  1. Ein Glücksrad hat 4 gleich große Felder. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Beutel enthält 9 Chips, davon 2 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Chip zu ziehen?
  2. Ein Beutel enthält 10 Chips, davon 4 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Chip zu ziehen?
  3. Ein Beutel enthält 12 Chips, davon 5 rote. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Chip zu ziehen?

Merkkarte

Wahrscheinlichkeiten

  • Ergebnis, Ereignis.
  • Laplace: günstige : alle.

Achtung: Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1.

2. Relative Häufigkeit auf lange Sicht und Simulation

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine faire Münze zeigte bei 10 Würfen 7-mal „Kopf“. Was erwartest du bei 10 000 Würfen?

  1. Einen Anteil von „Kopf“ nahe 0,5
  2. Mehr „Zahl“ als „Kopf“, um die 7-mal „Kopf“ auszugleichen

Simuliere einige Male 10 Würfe, dann 1000. Was passiert mit dem Anteil von „Kopf“?

  1. Er nähert sich 0,5
  2. Er entfernt sich weiter von 0,5, um Serien auszugleichen

Die Grundidee

Wahrscheinlichkeit ist eine relative Häufigkeit auf lange Sicht.

Gesetz der großen Zahlen: Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, nähert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses seiner Wahrscheinlichkeit. Unabhängige Versuche haben kein Gedächtnis. Eine Simulation ahmt ein Zufallsexperiment mit Zufallszahlen nach, um Wahrscheinlichkeiten zu schätzen.

Beispiel

Simuliere eine Wahrscheinlichkeit von 30 % mit Zufallsziffern.

0, 1, 2 bedeuten „Treffer“
Jede Ziffer hat die Wahrscheinlichkeit 0,1.
1000 Zufallsziffern ablesen; Treffer zählen
Oft wiederholen.
Etwa 300 Treffer zu erwarten
Relative Häufigkeit.

Du bist dran

Jetzt du: Wie viele Ziffern braucht man für eine Wahrscheinlichkeit von 60 %?

66
0,6 : 0,1.

Üben ★

  1. Eine faire Münze zeigt 7-mal hintereinander „Kopf“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim nächsten Wurf?
    1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
    2. Kleiner als 1/2: „Zahl“ ist fällig
    3. Größer als 1/2: „Kopf“ hat eine Glückssträhne
  1. Was bedeutet es, dass die Regenwahrscheinlichkeit für morgen 0,7 ist?
    1. An vielen Tagen wie morgen regnet es an etwa 70 % davon
    2. Es regnet 70 % des Tages
    3. Es regnet, wenn die Wahrscheinlichkeit über 0,5 liegt

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Freiwurf gelingt mit der Wahrscheinlichkeit 0,6. Wie viele der zehn Ziffern 0–9 sollen bei einer Simulation mit Zufallsziffern für „getroffen“ stehen?
  2. Ein Freiwurf gelingt mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Wie viele der zehn Ziffern 0–9 sollen bei einer Simulation mit Zufallsziffern für „getroffen“ stehen?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Eine faire Münze zeigt 7-mal hintereinander „Kopf“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim nächsten Wurf?
    1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
    2. Kleiner als 1/2: „Zahl“ ist fällig
    3. Größer als 1/2: „Kopf“ hat eine Glückssträhne
  2. Eine faire Münze zeigt 5-mal hintereinander „Kopf“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim nächsten Wurf?
    1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
    2. Kleiner als 1/2: „Zahl“ ist fällig
    3. Größer als 1/2: „Kopf“ hat eine Glückssträhne
  3. Eine faire Münze zeigt 10-mal hintereinander „Kopf“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ beim nächsten Wurf?
    1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
    2. Kleiner als 1/2: „Zahl“ ist fällig
    3. Größer als 1/2: „Kopf“ hat eine Glückssträhne

Merkkarte

Auf lange Sicht

  • Wahrscheinlichkeit = relative Häufigkeit auf lange Sicht.
  • Mit Zufallszahlen simulieren.

Achtung: kein Gedächtnis, keine „fälligen“ Ergebnisse.

3. Laplace-Wahrscheinlichkeit; Gegenereignis

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Zwei Würfel werden geworfen. Die Summen reichen von 2 bis 12: elf Werte. Hat jede Summe dieselbe Wahrscheinlichkeit 111\dfrac{1}{11}?

  1. Nein
  2. Ja

Wirf zwei Würfel 1000-mal. Welche Summe kommt am häufigsten vor?

  1. 7
  2. Alle Summen ungefähr gleich oft

Die Grundidee

Laplace-Experimente und Gegenereignis.

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich: P(A)=Anzahl der Ergebnisse von AAnzahl aller ErgebnisseP(A) = \dfrac{\text{Anzahl der Ergebnisse von } A}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}. Immer gilt 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1 und P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

Beispiel

Mindestens einmal „Zahl“ bei 3 Würfen.

P(keinmal Zahl)=18P(\text{keinmal Zahl}) = \dfrac{1}{8}
8 gleich wahrscheinliche Folgen.
P(mindestens einmal Zahl)=1−18P(\text{mindestens einmal Zahl}) = 1 - \dfrac{1}{8}
Gegenereignis.
=78= \dfrac{7}{8}
Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe zweier Würfel 7 ist?

16\dfrac{1}{6}
6 Paare von 36.

Üben ★

  1. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 2 ist.
  2. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 12 ist.
  1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Flug Verspätung hat, ist 0,780{,}78. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er keine Verspätung hat.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein fairer Würfel wird 2-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs.
  2. Ein fairer Würfel wird 6-mal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 2 ist.
  2. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 12 ist.
  3. Zwei faire Würfel werden geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 8 ist.

Merkkarte

Wahrscheinlichkeiten

  • Laplace: günstige : alle.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A); „mindestens einmal“ über das Gegenereignis.

Achtung: Prüfe, ob die Ergebnisse wirklich gleich wahrscheinlich sind.

4. Laplace-Wahrscheinlichkeit mit Zählprinzip und Baumdiagramm

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Menü hat 3 Vorspeisen und 4 Hauptgerichte. Wie viele verschiedene Kombinationen aus Vorspeise und Hauptgericht gibt es?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 12
  2. 7

Die Grundidee

Das Zählprinzip zählt alle Ergebnisse, ohne sie aufzuschreiben.

Zählprinzip: Gibt es bei kk Schritten nacheinander n1n_1, n2n_2, …, nkn_k Möglichkeiten, so gibt es insgesamt n1⋅n2⋅…⋅nkn_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k Ergebnisse. Ein Baumdiagramm zeigt sie als Pfade.

Bei einem Laplace-Experiment gilt P(E)=Anzahl der gu¨nstigen ErgebnisseAnzahl aller ErgebnisseP(E) = \dfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller Ergebnisse}}.

Beispiel

Eine vierstellige PIN aus den Ziffern 0 bis 9. Wie groß ist die Chance, sie beim ersten Versuch zu erraten?

10⋅10⋅10⋅10=10 00010 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000 Ergebnisse
Vier Stellen mit je 10 Möglichkeiten.
P=110 000P = \dfrac{1}{10\,000}
Ein günstiges Ergebnis.
P=0,0001P = 0{,}0001
Als Dezimalzahl.

Du bist dran

Jetzt du: Eine Münze und ein Würfel werden geworfen. Wie viele Ergebnisse gibt es?

2⋅62 \cdot 6
2 · 6.
1212
Anzahl.

Üben ★

  1. Ein Outfit besteht aus einem von 4 Shirts, einer von 7 Hosen und einem von 2 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?
  2. Ein Outfit besteht aus einem von 3 Shirts, einer von 5 Hosen und einem von 2 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?
  1. Eine Münze und ein Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für „Kopf“ und eine bestimmte Augenzahl?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zwei Würfel werden geworfen. Warum ist P(Summe 2)≠P(Summe 7)P(\text{Summe } 2) \neq P(\text{Summe } 7)?
    1. Die 36 Paare sind gleich wahrscheinlich, aber zur Summe 7 gehören mehr Paare
    2. Es stimmt nicht: Jede Summe hat die Wahrscheinlichkeit 111\dfrac{1}{11}
    3. Weil 7 eine größere Zahl ist als 2
  1. Abschlussaufgabe. Ein Fahrradschloss hat 2 Ringe mit den Ziffern 0 bis 9.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Outfit besteht aus einem von 4 Shirts, einer von 7 Hosen und einem von 2 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?
  2. Ein Outfit besteht aus einem von 3 Shirts, einer von 5 Hosen und einem von 2 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?
  3. Ein Outfit besteht aus einem von 5 Shirts, einer von 4 Hosen und einem von 3 Paar Schuhen. Wie viele Outfits gibt es?

Merkkarte

Zählprinzip und Laplace

  • Möglichkeiten der Schritte multiplizieren.
  • Baumdiagramm: jeder Pfad ein Ergebnis.
  • P(E)P(E) = günstige : alle.

Achtung: Nur gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählen.

Lösungen: Laplace-Experimente

1. Wortschatz der Wahrscheinlichkeit

A

  1. 29\frac{2}{9}
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 512\frac{5}{12}

B

  1. Eine 8 würfeln
  2. Eine 14 würfeln

C

  1. 1

D

  1. 44

E

  1. 29\frac{2}{9}
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 512\frac{5}{12}

2. Relative Häufigkeit auf lange Sicht und Simulation

A

  1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis

B

  1. An vielen Tagen wie morgen regnet es an etwa 70 % davon

C

  1. 66
  2. 44

D

  1. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
  2. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis
  3. 1/2: Die Münze hat kein Gedächtnis

3. Laplace-Wahrscheinlichkeit; Gegenereignis

A

  1. 136\frac{1}{36}
  2. 136\frac{1}{36}

B

  1. 1150\frac{11}{50}

C

  1. 1136\frac{11}{36}
  2. 3103146656\frac{31031}{46656}

D

  1. 136\frac{1}{36}
  2. 136\frac{1}{36}
  3. 536\frac{5}{36}

4. Laplace-Wahrscheinlichkeit mit Zählprinzip und Baumdiagramm

A

  1. 5656
  2. 3030

B

  1. 112\frac{1}{12}

C

  1. Die 36 Paare sind gleich wahrscheinlich, aber zur Summe 7 gehören mehr Paare

D

  1. 44

E

  1. 5656
  2. 3030
  3. 6060