Lineare Funktionen und Ungleichungen

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Proportionale Zuordnungen: y = kx

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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3 kg Äpfel kosten 6 €. Was kosten 5 kg zum selben Preis?

  1. 10 €
  2. 8 €

Die Grundidee

Direkte Proportionalität: y=kxy = kx.

Bei direkter Proportionalität gilt f(x)=kxf(x) = kx, mit dem Proportionalitätsfaktor k=yxk = \dfrac{y}{x}. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung.

Beispiel

Ein Drucker druckt 45 Seiten in 3 Minuten.

k=15k = 15 Seiten pro Minute
45 : 3.
f(x)=15xf(x) = 15x
Funktion.
120 Seiten in 8 Minuten
Für x = 8.

Du bist dran

Jetzt du: yy ist direkt proportional zu xx, und y=28y = 28 für x=4x = 4. Bestimme kk.

77
28 : 4.

Üben ★

  1. yy ist direkt proportional zu xx. Für x=2x = 2 ist y=10y = 10. Bestimme den Faktor kk in y=kxy = kx.
  2. yy ist direkt proportional zu xx. Für x=3x = 3 ist y=15y = 15. Bestimme den Faktor kk in y=kxy = kx.
  1. Welcher Term beschreibt eine direkte Proportionalität?
    1. y=2xy = 2x
    2. y=2x+9y = 2x + 9
    3. y=x+2y = x + 2

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Zug fährt mit konstanter Geschwindigkeit 21 km in 3 Minuten. Wie weit fährt er in 12 Minuten?
  2. Ein Zug fährt mit konstanter Geschwindigkeit 30 km in 6 Minuten. Wie weit fährt er in 10 Minuten?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. yy ist direkt proportional zu xx. Für x=2x = 2 ist y=10y = 10. Bestimme den Faktor kk in y=kxy = kx.
  2. yy ist direkt proportional zu xx. Für x=3x = 3 ist y=15y = 15. Bestimme den Faktor kk in y=kxy = kx.
  3. yy ist direkt proportional zu xx. Für x=4x = 4 ist y=28y = 28. Bestimme den Faktor kk in y=kxy = kx.

Merkkarte

Direkte Proportionalität

  • f(x)=kxf(x) = kx, k=y:xk = y : x.
  • Die Gerade geht durch den Ursprung.

Achtung: Multiplizieren, nicht addieren.

2. Proportionale Zuordnungen in Tabellen, Graphen und Gleichungen; Einheitsraten mit Brüchen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Graph ist eine Gerade durch (0∣0)(0|0) und (4∣12)(4|12). Welcher Punkt liegt auch darauf?

  1. (1∣3)(1|3)
  2. (1∣4)(1|4)

Die Grundidee

Vier Blicke auf die direkte Proportionalität.

In einer Tabelle ist y:xy : x in jeder Zeile gleich. Im Graphen liegen die Punkte auf einer Geraden durch den Ursprung, und der Punkt (1∣k)(1|k) zeigt den Faktor. Der Term ist y=kxy = kx: yy wird in Abhängigkeit von xx angegeben.

Beispiel

Jemand streicht in 12\dfrac{1}{2} Stunde 23\dfrac{2}{3} einer Wand.

23:12=43\dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{3} Wand pro Stunde
Wände : Stunden.
y=43xy = \dfrac{4}{3}x
Formel.

Du bist dran

Jetzt du: y=6xy = 6x. Stelle nach xx um.

x=y6x = \dfrac{y}{6}
Durch 6 teilen.

Üben ★

  1. Die Gerade einer direkten Proportionalität geht durch (5∣40)(5|40). Wie groß ist yy für x=1x = 1?
  2. Die Gerade einer direkten Proportionalität geht durch (3∣27)(3|27). Wie groß ist yy für x=1x = 1?
  1. Welche Liste von y-Werten für x=1,2,3x = 1, 2, 3 ergibt eine direkte Proportionalität?
    1. 6;12;186; 12; 18
    2. 7;8;97; 8; 9
    3. 6;12;246; 12; 24

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Schnecke kriecht 17\dfrac{1}{ 7 } Meter in 14\dfrac{1}{ 4 } Stunde. Wie groß ist ihre Geschwindigkeit in Metern pro Stunde?
  2. Eine Schnecke kriecht 13\dfrac{1}{ 3 } Meter in 18\dfrac{1}{ 8 } Stunde. Wie groß ist ihre Geschwindigkeit in Metern pro Stunde?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Rohr füllt einen Tank gleichmäßig: 33 Liter in 3 Minuten. Es sei yy die Literzahl nach xx Minuten.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Die Gerade einer direkten Proportionalität geht durch (5∣40)(5|40). Wie groß ist yy für x=1x = 1?
  2. Die Gerade einer direkten Proportionalität geht durch (3∣27)(3|27). Wie groß ist yy für x=1x = 1?
  3. Die Gerade einer direkten Proportionalität geht durch (5∣10)(5|10). Wie groß ist yy für x=1x = 1?

Merkkarte

Direkte Proportionalität

  • Konstanter Quotient.
  • Gerade durch den Ursprung.

Achtung: Eine konstante Differenz ist kein konstanter Quotient.

3. Die Steigung einer Geraden

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Zwei Steigungsdreiecke liegen an derselben Geraden: Eines geht 2 nach rechts und 3 nach oben, das andere 4 nach rechts. Wie weit geht es nach oben?

  1. 6
  2. 5

Verändere die waagrechte Seite. Teile jedes Mal die senkrechte durch die waagrechte Seite.

  1. Er ist immer 1,5
  2. Er wächst mit dem Dreieck

Die Grundidee

Jedes Steigungsdreieck an einer Geraden liefert denselben Quotienten.

Die Steigung einer Geraden ist senkrechte A¨nderungwaagrechte A¨nderung=y2−y1x2−x1\dfrac{\text{senkrechte Änderung}}{\text{waagrechte Änderung}} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. Alle Steigungsdreiecke an einer Geraden sind ähnlich, also hängt die Steigung nicht von den gewählten Punkten ab. Eine Gerade, die von links nach rechts fällt, hat eine negative Steigung.

Beispiel

Durch (1∣2)(1|2) und (5∣8)(5|8).

8−2=68 - 2 = 6
Senkrechte Änderung.
5−1=45 - 1 = 4
Waagrechte Änderung.
Steigung 32\tfrac{3}{2}
6 : 4.

Du bist dran

Jetzt du: die Steigung durch (0∣7)(0|7) und (2∣1)(2|1).

−3-3
(1 − 7) : (2 − 0).

Üben ★

  1. Bestimme die Steigung der Geraden durch (6∣2)(6|2) und (9∣8)(9|8).
  2. Bestimme die Steigung der Geraden durch (4∣5)(4|5) und (9∣7)(9|7).
  1. Ein Steigungsdreieck an einer Geraden hat die waagrechte Seite 6 und die senkrechte Seite 2. Ein anderes Steigungsdreieck an derselben Geraden hat die waagrechte Seite 24. Wie lang ist seine senkrechte Seite?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Bestimme die Steigung der Geraden durch (6∣5)(6|5) und (8∣0)(8|0).
  2. Bestimme die Steigung der Geraden durch (0∣11)(0|11) und (7∣6)(7|6).
  1. Abschlussaufgabe. Zur selben Zeit wirft ein 6 m hoher Pfosten einen 4 m langen Schatten und ein Baum einen 8 m langen. Pfosten mit Schatten und Baum mit Schatten bilden ähnliche rechtwinklige Dreiecke.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme die Steigung der Geraden durch (6∣2)(6|2) und (9∣8)(9|8).
  2. Bestimme die Steigung der Geraden durch (4∣5)(4|5) und (9∣7)(9|7).
  3. Bestimme die Steigung der Geraden durch (1∣3)(1|3) und (6∣5)(6|5).

Merkkarte

Steigung

Senkrecht durch waagrecht, für jedes Steigungsdreieck an der Geraden gleich.

Achtung: Von links nach rechts fallend heißt negativ.

4. Lineare Zuordnungen: y = mx + b

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Taxi kostet 3 € Grundgebühr und 2 € pro Kilometer. Ist der Preis direkt proportional zur Strecke?

  1. Nein: Bei 0 km sind es schon 3 €
  2. Ja: Der Preis wächst gleichmäßig

Die Grundidee

Eine lineare Funktion hat die Form f(x)=mx+tf(x) = mx + t.

mm ist die Steigung, tt der y-Achsenabschnitt, der Wert bei x=0x = 0. Für t=0t = 0 liegt direkte Proportionalität vor. ff steigt für m>0m > 0 und fällt für m<0m < 0.

Beispiel

Bestimme die Gerade durch (0∣4)(0|4) und (3∣10)(3|10).

m=2m = 2
(10 − 4) : 3.
t=4t = 4
Wert bei x = 0.
y=2x+4y = 2x + 4
Gleichung.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist der y-Achsenabschnitt von y=7x−5y = 7x - 5?

−5-5
t.

Üben ★

  1. Ein Fitnessstudio verlangt 55 € Anmeldung und 19 € pro Monat. Gib die Gesamtkosten yy nach xx Monaten an.
  2. Ein Fitnessstudio verlangt 77 € Anmeldung und 16 € pro Monat. Gib die Gesamtkosten yy nach xx Monaten an.
  1. Wie lautet die Gleichung der waagrechten Geraden durch (5∣1)(5|1)?
    1. y=1y = 1
    2. x=5x = 5
    3. y=5y = 5

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Gerade geht durch (0∣2)(0|2) und (1∣8)(1|8). Gib ihre Gleichung in der Form y=mx+ty = mx + t an.
  2. Eine Gerade geht durch (0∣2)(0|2) und (2∣12)(2|12). Gib ihre Gleichung in der Form y=mx+ty = mx + t an.
  1. Abschlussaufgabe. Eine Kerze ist anfangs 21 cm hoch und brennt 3 cm pro Stunde ab. Es sei yy ihre Höhe nach xx Stunden.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Fitnessstudio verlangt 55 € Anmeldung und 19 € pro Monat. Gib die Gesamtkosten yy nach xx Monaten an.
  2. Ein Fitnessstudio verlangt 77 € Anmeldung und 16 € pro Monat. Gib die Gesamtkosten yy nach xx Monaten an.
  3. Ein Fitnessstudio verlangt 25 € Anmeldung und 17 € pro Monat. Gib die Gesamtkosten yy nach xx Monaten an.

Merkkarte

Lineare Funktionen

  • f(x)=mx+tf(x) = mx + t.
  • mm: die Rate. tt: der Anfangswert.

Achtung: Die Rate wird mit xx multipliziert; der Anfangswert steht allein.

5. Normalform und Steigung

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Die Gerade y=2x+1y = 2x + 1. Wie groß ist ihre Steigung?

  1. 22
  2. 11

Die Grundidee

Jede nicht senkrechte Gerade hat eine Gleichung in Normalform.

y=mx+ty = mx + t, mit der Steigung m=yB−yAxB−xAm = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} und dem y-Achsenabschnitt tt. Senkrechte Geraden haben die Gleichung x=cx = c.

Beispiel

Gerade durch A(1∣3)A(1|3) und B(3∣7)B(3|7).

m=42=2m = \dfrac{4}{2} = 2
Steigung.
3=2+t3 = 2 + t, also t=1t = 1
A einsetzen.
y=2x+1y = 2x + 1
Gleichung.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist die Steigung der Geraden durch (0∣0)(0|0) und (2∣6)(2|6)?

33
6/2.

Üben ★

  1. Berechne die Steigung der Geraden durch A(4∣2)A(4|2) und B(8∣26)B(8|26).
  2. Berechne die Steigung der Geraden durch A(6∣3)A(6|3) und B(11∣33)B(11|33).
  3. Berechne die Steigung der Geraden durch A(2∣1)A(2|1) und B(7∣11)B(7|11).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Die Gerade mit der Steigung 5 geht durch (5∣28)(5|28). Wie groß ist ihr y-Achsenabschnitt?
  2. Die Gerade mit der Steigung 4 geht durch (4∣22)(4|22). Wie groß ist ihr y-Achsenabschnitt?
  1. Wie groß ist die Steigung von y=3x+5y = 3x + 5?
  1. Wie groß ist yy für x=4x = 4 auf der Geraden y=5x+1y = 5x + 1?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne die Steigung der Geraden durch A(4∣2)A(4|2) und B(8∣26)B(8|26).
  2. Berechne die Steigung der Geraden durch A(6∣3)A(6|3) und B(11∣33)B(11|33).
  3. Berechne die Steigung der Geraden durch A(2∣1)A(2|1) und B(7∣11)B(7|11).

Merkkarte

Geradengleichung

  • y=mx+ty = mx + t.
  • m=ΔyΔxm = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}.

Achtung: Δy\Delta y steht im Zähler.

6. Parallele und sich schneidende Geraden

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Schneiden sich y=2x+1y = 2x + 1 und y=2x−3y = 2x - 3?

  1. Nein, sie sind parallel
  2. Ja, in einem Punkt

Die Grundidee

Die Steigung entscheidet alles.

Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben; sonst schneiden sie sich. Den Schnittpunkt findet man durch Gleichsetzen: mx+t=m′x+t′mx + t = m'x + t'.

Beispiel

Schnittpunkt von y=3x+1y = 3x + 1 und y=x+5y = x + 5.

3x+1=x+53x + 1 = x + 5
Gleichsetzen.
x=2x = 2
Auflösen.
(2∣7)(2|7)
Punkt.

Du bist dran

Jetzt du: Welchen x-Wert hat der Schnittpunkt von y=xy = x und y=−x+4y = -x + 4?

22
2x = 4.

Üben ★

  1. Welchen x-Wert hat der Schnittpunkt von y=3x+5y = 3x + 5 und y=x+15y = x + 15?
  2. Welchen x-Wert hat der Schnittpunkt von y=4x+5y = 4x + 5 und y=x+23y = x + 23?
  3. Welchen x-Wert hat der Schnittpunkt von y=3x+2y = 3x + 2 und y=x+12y = x + 12?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welche Gerade ist parallel zu y=5x+1y = 5x + 1?
    1. y=5x−1y = 5x - 1
    2. y=−5x+1y = -5x + 1
    3. y=1x+5y = 1x + 5
  2. Welche Gerade ist parallel zu y=6x+9y = 6x + 9?
    1. y=6x−9y = 6x - 9
    2. y=−6x+9y = -6x + 9
    3. y=9x+6y = 9x + 6
  1. Abschlussaufgabe. gg hat die Steigung 3 und geht durch (2∣8)(2|8). hh hat die Gleichung y=x+6y = x + 6.
  1. Die Geraden y=6x+7y = 6x + 7 und y=−6xy = -6x:
    1. schneiden sich
    2. sind parallel
    3. sind identisch
  1. Die Gerade gg ist parallel zu y=6x+6y = 6x + 6 und geht durch (0∣12)(0|12). Wie groß ist ihre Steigung?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Welchen x-Wert hat der Schnittpunkt von y=3x+5y = 3x + 5 und y=x+15y = x + 15?
  2. Welchen x-Wert hat der Schnittpunkt von y=4x+5y = 4x + 5 und y=x+23y = x + 23?
  3. Welchen x-Wert hat der Schnittpunkt von y=3x+2y = 3x + 2 und y=x+12y = x + 12?

Merkkarte

Lage zweier Geraden

  • Gleiche Steigung: parallel.
  • Sonst mx+t=m′x+t′mx + t = m'x + t' lösen.

Achtung: Mit der anderen Gleichung prüfen.

7. Lineare Ungleichungen lösen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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−2x>6-2x > 6. Probiere x=−4x = -4: −2⋅(−4)=8>6-2 \cdot (-4) = 8 > 6. Welche Menge beschreibt alle Lösungen?

  1. x<−3x < -3
  2. x>−3x > -3

Die Grundidee

Eine Ungleichung löst man wie eine Gleichung, mit einer zusätzlichen Regel.

Addieren, subtrahieren, multiplizieren oder teilen mit einer positiven Zahl erhält das Zeichen. Multiplizieren oder Teilen mit einer negativen Zahl dreht das Zeichen um. Ein echtes Zeichen (<<, >>) schließt die Grenze aus; ≤\leq und ≥\geq schließen sie ein.

Beispiel

Löse −3x+4≤13-3x + 4 \leq 13.

−3x≤9-3x \leq 9
4 abziehen.
x≥−3x \geq -3
Durch −3 teilen: Das Zeichen dreht sich um.
[−3;+∞[[-3; +\infty[
Grenze eingeschlossen.

Du bist dran

Jetzt du: 2x−1<92x - 1 < 9. Wie groß ist die Grenze für xx?

x<5x < 5
2x < 10.

Üben ★

  1. Löse 8x+5<458x + 5 < 45. Gib die Lösungsmenge als Intervall an.
  2. Löse 6x+5<596x + 5 < 59. Gib die Lösungsmenge als Intervall an.
  1. Du hast 109 €, und eine Karte kostet 9 €. Löse 9t≤1099t \leq 109: Wie viele Karten kannst du höchstens kaufen?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse −2x+17≤9-2x + 17 \leq 9. Gib die Lösungsmenge als Intervall an.
  2. Löse −2x+1≤19-2x + 1 \leq 19. Gib die Lösungsmenge als Intervall an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse 8x+5<458x + 5 < 45. Gib die Lösungsmenge als Intervall an.
  2. Löse 6x+5<596x + 5 < 59. Gib die Lösungsmenge als Intervall an.
  3. Löse 7x+9<−547x + 9 < -54. Gib die Lösungsmenge als Intervall an.

Merkkarte

Ungleichungen

  • Wie eine Gleichung.
  • Das Zeichen dreht sich beim Multiplizieren oder Teilen mit einer negativen Zahl um.

Achtung: Mit einer Zahl aus deiner Lösung prüfen.

Lösungen: Lineare Funktionen und Ungleichungen

1. Proportionale Zuordnungen: y = kx

A

  1. 55
  2. 55

B

  1. y=2xy = 2x

C

  1. 8484
  2. 5050

D

  1. 55
  2. 55
  3. 77

2. Proportionale Zuordnungen in Tabellen, Graphen und Gleichungen; Einheitsraten mit Brüchen

A

  1. 88
  2. 99

B

  1. 6;12;186; 12; 18

C

  1. 47\frac{4}{7}
  2. 83\frac{8}{3}

D

  1. 1717

E

  1. 88
  2. 99
  3. 22

3. Die Steigung einer Geraden

A

  1. 22
  2. 25\frac{2}{5}

B

  1. 88

C

  1. −52- \frac{5}{2}
  2. −57- \frac{5}{7}

D

  1. 32\frac{3}{2}

E

  1. 22
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 25\frac{2}{5}

4. Lineare Zuordnungen: y = mx + b

A

  1. 19x+5519 x + 55
  2. 16x+7716 x + 77

B

  1. y=1y = 1

C

  1. 6x+26 x + 2
  2. 5x+25 x + 2

D

  1. 77

E

  1. 19x+5519 x + 55
  2. 16x+7716 x + 77
  3. 17x+2517 x + 25

5. Normalform und Steigung

A

  1. 66
  2. 66
  3. 22

B

  1. 33
  2. 66

C

  1. 33

D

  1. 2121

E

  1. 66
  2. 66
  3. 22

6. Parallele und sich schneidende Geraden

A

  1. 55
  2. 66
  3. 55

B

  1. y=5x−1y = 5x - 1
  2. y=6x−9y = 6x - 9

C

  1. 88

D

  1. schneiden sich

E

  1. 66

F

  1. 55
  2. 66
  3. 55

7. Lineare Ungleichungen lösen

A

  1. ]−∞ ; 5[]-\infty\,;\,5[
  2. ]−∞ ; 9[]-\infty\,;\,9[

B

  1. 1212

C

  1. [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[
  2. [−9 ; +∞[[-9\,;\,+\infty[

D

  1. ]−∞ ; 5[]-\infty\,;\,5[
  2. ]−∞ ; 9[]-\infty\,;\,9[
  3. ]−∞ ; −9[]-\infty\,;\,-9[