Ähnlichkeit und Strahlensatz

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Ähnliche Figuren und Streckfaktoren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Rechteck mit 2 mal 3 wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Wie groß ist der Flächeninhalt des neuen Rechtecks?

  1. 24
  2. 12

Die Grundidee

Ähnliche Figuren gehen durch eine zentrische Streckung (und Kongruenzabbildungen) auseinander hervor.

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn eine Folge von Kongruenzabbildungen und zentrischen Streckungen die eine auf die andere abbildet: Entsprechende Winkel sind gleich, entsprechende Längen stehen im selben Verhältnis kk. Umfänge wachsen mit kk, Flächen mit k2k^2 (und Volumina mit k3k^3).

Beispiel

Ähnliche Dreiecke mit dem Faktor 3; das kleine hat den Umfang 12 und den Flächeninhalt 6.

Umfang 3636
Längen · 3.
Flächeninhalt 5454
Flächen · 9.

Du bist dran

Jetzt du: Faktor 4, kleiner Flächeninhalt 5. Der große Flächeninhalt.

8080
5 · 16.

Üben ★

  1. Zwei Vielecke sind ähnlich. Einer Seite der Länge 5 entspricht eine Seite der Länge 15. Eine andere Seite des kleinen Vielecks hat die Länge 9. Bestimme die entsprechende Seite des großen.
  2. Zwei Vielecke sind ähnlich. Einer Seite der Länge 5 entspricht eine Seite der Länge 20. Eine andere Seite des kleinen Vielecks hat die Länge 4. Bestimme die entsprechende Seite des großen.
  1. Ein Vieleck hat den Umfang 20. Es wird mit dem Faktor 5 vergrößert. Bestimme den neuen Umfang.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Figur hat den Flächeninhalt 9. Sie wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Bestimme den neuen Flächeninhalt.
  2. Eine Figur hat den Flächeninhalt 22. Sie wird mit dem Faktor 4 vergrößert. Bestimme den neuen Flächeninhalt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Zwei Vielecke sind ähnlich. Einer Seite der Länge 5 entspricht eine Seite der Länge 15. Eine andere Seite des kleinen Vielecks hat die Länge 9. Bestimme die entsprechende Seite des großen.
  2. Zwei Vielecke sind ähnlich. Einer Seite der Länge 5 entspricht eine Seite der Länge 20. Eine andere Seite des kleinen Vielecks hat die Länge 4. Bestimme die entsprechende Seite des großen.
  3. Zwei Vielecke sind ähnlich. Einer Seite der Länge 3 entspricht eine Seite der Länge 15. Eine andere Seite des kleinen Vielecks hat die Länge 8. Bestimme die entsprechende Seite des großen.

Merkkarte

Ähnliche Figuren

Längen · kk, Umfänge · kk, Flächen · k2k^2.

Achtung: Multiplizieren, und für Flächen kk quadrieren.

2. Ähnliche Dreiecke

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Zwei Dreiecke haben je die Winkel 40∘40^\circ und 60∘60^\circ. Wie groß ist jeweils der dritte Winkel?

  1. In beiden 80∘80^\circ
  2. Das hängt von der Größe ab

Die Grundidee

Zwei Winkel genügen.

Hauptähnlichkeitssatz: Stimmen zwei Dreiecke in zwei Winkeln überein, sind sie ähnlich. (Ähnlich sind sie auch, wenn alle Seitenverhältnisse gleich sind oder zwei Seitenverhältnisse und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen.) Dann sind entsprechende Seiten proportional: DEAB=EFBC=DFAC\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{DF}{AC}.

Beispiel

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, AB=4AB = 4, BC=6BC = 6, DE=10DE = 10.

Faktor 2,52{,}5
DE/AB.
EF=15EF = 15
EF = 2,5 · BC.

Du bist dran

Jetzt du: AB=3AB = 3, AC=5AC = 5, DE=9DE = 9. Bestimme DFDF.

DF=15DF = 15
5 · 3.

Üben ★

  1. Zwei Dreiecke haben je einen Winkel von 76∘76^\circ und einen von 50∘50^\circ. Was folgt daraus?
    1. Sie sind ähnlich (zwei gleiche Winkel)
    2. Sie sind kongruent
    3. Ohne Seitenlängen nichts
  1. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF mit AB=8AB = 8, BC=7BC = 7 und DE=25DE = 25. Bestimme EFEF.Nicht maßstabsgetreu
  2. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF mit AB=9AB = 9, BC=3BC = 3 und DE=24DE = 24. Bestimme EFEF.Nicht maßstabsgetreu

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welche Figuren sind immer zueinander ähnlich?
    1. Zwei beliebige Quadrate (zum Beispiel mit den Seiten 7 und 14)
    2. Zwei beliebige Rechtecke
    3. Zwei beliebige gleichschenklige Dreiecke

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF mit AB=8AB = 8, BC=7BC = 7 und DE=25DE = 25. Bestimme EFEF.Nicht maßstabsgetreu
  2. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF mit AB=9AB = 9, BC=3BC = 3 und DE=24DE = 24. Bestimme EFEF.Nicht maßstabsgetreu
  3. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF mit AB=7AB = 7, BC=9BC = 9 und DE=16DE = 16. Bestimme EFEF.Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Ähnliche Dreiecke

Zwei gleiche Winkel (oder gleiche Seitenverhältnisse) → entsprechende Seiten proportional.

Achtung: Die Winkelregel gilt nur für Dreiecke.

3. Strahlensätze

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Parallele zu einer Dreiecksseite schneidet die beiden anderen Seiten. Teilt sie die eine im Verhältnis 1:21 : 2, wie teilt sie dann die andere?

  1. Auch im Verhältnis 1:21 : 2
  2. Das hängt vom Winkel ab

Verschiebe DEDE. Teile ADAD durch ABAB, dann AEAE durch ACAC.

  1. Die beiden Quotienten sind immer gleich
  2. ADAD ist immer gleich AEAE

Die Grundidee

Parallelen teilen die Seiten im selben Verhältnis.

Strahlensatz: Liegt DD auf ABAB, EE auf ACAC und ist DE∥BCDE \parallel BC, so gilt ADAB=AEAC=DEBC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}. Die Figur kann „ineinander“ oder als „X-Figur“ liegen.

Umkehrung: Liegen AA, DD, BB und AA, EE, CC in derselben Reihenfolge auf Geraden und gilt ADAB=AEAC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}, so ist DE∥BCDE \parallel BC. Sind die Quotienten verschieden, sind die Geraden nicht parallel.

Beispiel

AD=4AD = 4, DB=6DB = 6, AE=6AE = 6, DE∥BCDE \parallel BC. Berechne ECEC.

410=6AC\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{AC}
AD/AB = AE/AC, mit AB = 10.
AC=15AC = 15
AC berechnen.
EC=9EC = 9
AE abziehen.

Du bist dran

Jetzt du: BC=18BC = 18. Wie lang ist die Strecke durch die Mittelpunkte von [AB][AB] und [AC][AC]?

99
Die Hälfte.

Üben ★

  1. Im Dreieck ABCABC schneidet eine Parallele zu BCBC die Seite [AB][AB] in DD und [AC][AC] in EE, mit AD=5AD = 5, DB=3DB = 3 und AE=9AE = 9. Berechne ECEC.Nicht maßstabsgetreu
  2. Im Dreieck ABCABC schneidet eine Parallele zu BCBC die Seite [AB][AB] in DD und [AC][AC] in EE, mit AD=4AD = 4, DB=3DB = 3 und AE=9AE = 9. Berechne ECEC.Nicht maßstabsgetreu
  1. In einem Dreieck ist BC=26BC = 26. Wie lang ist die Strecke durch die Mittelpunkte von [AB][AB] und [AC][AC]?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. DE∥BCDE \parallel BC, mit DD auf [AB][AB] und EE auf [AC][AC]; AD=2AD = 2, DB=7DB = 7, AE=3AE = 3. Berechne ACAC.Nicht maßstabsgetreu
  1. Abschlussaufgabe. Im Dreieck ABCABC ist DE∥BCDE \parallel BC mit DD auf [AB][AB], AD=6AD = 6, DB=1DB = 1 und DE=8DE = 8.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Im Dreieck ABCABC schneidet eine Parallele zu BCBC die Seite [AB][AB] in DD und [AC][AC] in EE, mit AD=5AD = 5, DB=3DB = 3 und AE=9AE = 9. Berechne ECEC.Nicht maßstabsgetreu
  2. Im Dreieck ABCABC schneidet eine Parallele zu BCBC die Seite [AB][AB] in DD und [AC][AC] in EE, mit AD=4AD = 4, DB=3DB = 3 und AE=9AE = 9. Berechne ECEC.Nicht maßstabsgetreu
  3. Im Dreieck ABCABC schneidet eine Parallele zu BCBC die Seite [AB][AB] in DD und [AC][AC] in EE, mit AD=7AD = 7, DB=8DB = 8 und AE=5AE = 5. Berechne ECEC.Nicht maßstabsgetreu

Merkkarte

Strahlensatz

  • DE∥BCDE \parallel BC: ADAB=AEAC=DEBC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}.
  • Die Umkehrung beweist Parallelität.

Achtung: In den Verhältnissen dieselbe Reihenfolge einhalten.

4. Maßstäbliche Kopien: Längen und Flächen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge wird mit dem Faktor 3 vergrößert. Wie groß ist der Flächeninhalt der Vergrößerung?

  1. 9 cm²
  2. 3 cm²

Stelle k = 3 ein. Wie viel mal größer ist der Flächeninhalt?

  1. 9-mal
  2. 3-mal

Die Grundidee

Längen wachsen mit kk, Flächen mit k2k^2.

Bei einer maßstäblichen Vergrößerung mit dem Faktor kk wird jede Länge mit kk multipliziert, Winkel bleiben gleich, und jeder Flächeninhalt wird mit k2k^2 multipliziert. Für einen echten Flächeninhalt aus einem Plan rechnet man zuerst die Längen um und multipliziert dann.

Beispiel

Ein Dreieck mit 4 cm², Faktor 5.

Flächeninhalt ⋅25\cdot 25
k² = 25.
100100 cm²
4 · 25.

Du bist dran

Jetzt du: Flächeninhalt 6 cm², Faktor 2. Der Flächeninhalt der Vergrößerung.

2424
6 · 4.

Üben ★

  1. Eine Figur hat den Flächeninhalt 10 cm². Eine Vergrößerung hat den Faktor 6. Wie groß ist deren Flächeninhalt (cm²)?
  2. Eine Figur hat den Flächeninhalt 5 cm². Eine Vergrößerung hat den Faktor 2. Wie groß ist deren Flächeninhalt (cm²)?
  1. Eine Figur mit 10 cm² hat eine Vergrößerung mit 90 cm². Wie groß ist der Faktor?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Auf einem Plan mit dem Maßstab 1 cm für 4 m misst ein Zimmer 4 cm mal 7 cm. Wie groß ist der echte Flächeninhalt (m²)?
  2. Auf einem Plan mit dem Maßstab 1 cm für 4 m misst ein Zimmer 6 cm mal 4 cm. Wie groß ist der echte Flächeninhalt (m²)?
  1. Abschlussaufgabe. Auf einer Karte mit dem Maßstab 1 cm für 60 m misst ein rechteckiger Park 2 cm mal 12 cm.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Eine Figur hat den Flächeninhalt 10 cm². Eine Vergrößerung hat den Faktor 6. Wie groß ist deren Flächeninhalt (cm²)?
  2. Eine Figur hat den Flächeninhalt 5 cm². Eine Vergrößerung hat den Faktor 2. Wie groß ist deren Flächeninhalt (cm²)?
  3. Eine Figur hat den Flächeninhalt 17 cm². Eine Vergrößerung hat den Faktor 4. Wie groß ist deren Flächeninhalt (cm²)?

Merkkarte

Vergrößern und Flächeninhalt

Längen · kk, Flächen · k2k^2.

Achtung: Beide Seiten umrechnen, bevor du multiplizierst.

5. Körper strecken: Flächen und Volumen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Würfel mit 1 cm Kante wird zu einem Würfel mit 2 cm Kante vergrößert. Wie viele kleine Würfel passen in den großen?

Nicht maßstabsgetreu
  1. 8
  2. 2

Die Grundidee

Längen, Flächen und Volumina wachsen verschieden.

Beim Faktor kk: Längen · kk, Flächen (auch Oberflächen) · k2k^2, Volumina · k3k^3. Umgekehrt ergibt ein Volumenverhältnis VV den Faktor V3\sqrt[3]{V}.

Beispiel

Eine Statue wird im Maßstab 3 kopiert.

Farbe: 9-mal so viel
Flächen · 9.
Material: 27-mal so viel
Volumina · 27.

Du bist dran

Jetzt du: Volumina im Verhältnis 64 : 1. Der Faktor.

44
∛64.

Üben ★

  1. Ein Körper hat das Volumen 25 cm³. Er wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Bestimme das neue Volumen.
  2. Ein Körper hat das Volumen 5 cm³. Er wird mit dem Faktor 3 vergrößert. Bestimme das neue Volumen.
  1. Ein Körper hat den Oberflächeninhalt 49 cm². Er wird mit dem Faktor 3 vergrößert. Bestimme den neuen Oberflächeninhalt.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Zwei ähnliche Körper haben Volumina im Verhältnis 27:127 : 1. Bestimme das Verhältnis ihrer Höhen (den Faktor).
  2. Zwei ähnliche Körper haben Volumina im Verhältnis 125:1125 : 1. Bestimme das Verhältnis ihrer Höhen (den Faktor).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Körper hat das Volumen 25 cm³. Er wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Bestimme das neue Volumen.
  2. Ein Körper hat das Volumen 5 cm³. Er wird mit dem Faktor 3 vergrößert. Bestimme das neue Volumen.
  3. Ein Körper hat das Volumen 9 cm³. Er wird mit dem Faktor 2 vergrößert. Bestimme das neue Volumen.

Merkkarte

Körper vergrößern

Länge kk, Fläche k2k^2, Volumen k3k^3.

Achtung: Die dritte Wurzel macht Volumenverhältnisse rückgängig.

Lösungen: Ähnlichkeit und Strahlensatz

1. Ähnliche Figuren und Streckfaktoren

A

  1. 2727
  2. 1616

B

  1. 100100

C

  1. 3636
  2. 352352

D

  1. 2727
  2. 1616
  3. 4040

2. Ähnliche Dreiecke

A

  1. Sie sind ähnlich (zwei gleiche Winkel)

B

  1. 1758\frac{175}{8}
  2. 88

C

  1. Zwei beliebige Quadrate (zum Beispiel mit den Seiten 7 und 14)

D

  1. 1758\frac{175}{8}
  2. 88
  3. 1447\frac{144}{7}

3. Strahlensätze

A

  1. 275\frac{27}{5}
  2. 274\frac{27}{4}

B

  1. 1313

C

  1. 272\frac{27}{2}

D

  1. 4936\frac{49}{36}

E

  1. 275\frac{27}{5}
  2. 274\frac{27}{4}
  3. 407\frac{40}{7}

4. Maßstäbliche Kopien: Längen und Flächen

A

  1. 360360
  2. 2020

B

  1. 33

C

  1. 448448
  2. 384384

D

  1. 8640086400

E

  1. 360360
  2. 2020
  3. 272272

5. Körper strecken: Flächen und Volumen

A

  1. 200200
  2. 135135

B

  1. 441441

C

  1. 33
  2. 55

D

  1. 200200
  2. 135135
  3. 7272