Rationale Exponenten bei Exponentialfunktionen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jeden Tag. Mit welchem Faktor wächst sie in einem halben Tag?

Tipp: Wie auch immer der Faktor $f$ lautet, zwei halbe Tage müssen die Kultur verdoppeln, also $f \cdot f = 2$ .

Die Grundidee

Brüche als Exponenten sind Wurzeln.

b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}

und

b^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m

Der Faktor für einen halben Tag ist also $2^{\frac12} = \sqrt{2} \approx 1{,}41$ . Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: $b^{-r} = \dfrac{1}{b^{r}}$ .

Beispiel

Berechne $8^{\frac{2}{3}}$ .

8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2

Der Nenner 3 bedeutet dritte Wurzel, der Zähler 2 Quadrieren.

= 2^2

Die dritte Wurzel aus 8 ist 2.

= 4

Quadrieren.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne $27^{\frac{2}{3}}$ . Ergänze die fehlende Zeile.

27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2

Dritte Wurzel, dann quadrieren.

= 9

3² = 9.

Üben ★

Berechne $36^{ \frac{ 5 }{2} }$ .
Berechne $81^{ \frac{ 3 }{2} }$ .
Berechne $81^{ \frac{ 5 }{2} }$ .
Berechne $4^{ \frac{ 3 }{2} }$ .
Berechne $49^{ \frac{ 5 }{2} }$ .

Vorsicht!

Üben ★★

Berechne $125^{ -\frac{ 2 }{3} }$ .
Berechne $125^{ -\frac{ 1 }{3} }$ .
Berechne $64^{ -\frac{ 1 }{3} }$ .
Berechne $8^{ -\frac{ 1 }{3} }$ .
Berechne $27^{ -\frac{ 1 }{3} }$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Berechne $125^{ -\frac{ 2 }{3} }$ .
Berechne $125^{ -\frac{ 1 }{3} }$ .
Berechne $64^{ -\frac{ 1 }{3} }$ .

Merkkarte

Rationale Exponenten

$b^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}$ ; $b^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$ .
$b^{-r} = \dfrac{1}{b^{r}}$ : Der Wert bleibt positiv.
Ein Faktor $b$ pro Einheit bedeutet einen Faktor $b^{\frac12}$ pro halber Einheit.

Über diese Lektion