Potenzfunktionen und Erweiterung des Potenzbegriffs

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Potenzfunktionen und Verhalten im Unendlichen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Bewege den Regler und beobachte den Graphen von y=xny = x^n für verschiedene Exponenten nn.

Der Graph von y = x hoch n. Bei geradem n steigen beide Enden; bei ungeradem n fällt das linke Ende, und das rechte steigt.

Was passiert für n=3n = 3 ganz links am Graphen?

  1. Er geht nach unten
  2. Er geht nach oben, wie bei x2x^2

Die Grundidee

Für große ∣x∣|x| verhält sich eine ganzrationale Funktion wie ihr höchster Summand, der mit der größten Potenz.

Für a⋅xna \cdot x^n: Ist nn gerade, gehen beide Enden in dieselbe Richtung (nach oben für a>0a > 0, nach unten für a<0a < 0). Ist nn ungerade, gehen sie in entgegengesetzte Richtungen (das rechte Ende nach oben für a>0a > 0, nach unten für a<0a < 0).

Beispiel

Beschreibe das Randverhalten von p(x)=3x2−2x5+1p(x) = 3x^2 - 2x^5 + 1.

Höchster Summand: −2x5-2x^5
Die höchste Potenz ist x⁵, egal wo sie steht.
Ungerader Grad
5 ist ungerade: Die Enden gehen in entgegengesetzte Richtungen.
Für x→∞x \to \infty gilt p(x)→−∞p(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt p(x)→∞p(x) \to \infty
Der Faktor −2 ist negativ: Das rechte Ende geht nach unten.

Du bist dran

Jetzt du: q(x)=4x−7x4q(x) = 4x - 7x^4.

Höchster Summand: −7x4-7x^4
Die höchste Potenz.
Leitkoeffizient: −7-7, also gehen beide Enden nach unten
Gib den Leitkoeffizienten ein.

Üben ★

  1. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=7x3f(x) = 7x^{ 3 }.
    1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  2. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=3x7f(x) = 3x^{ 7 }.
    1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  3. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=3x3f(x) = 3x^{ 3 }.
    1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  4. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=8x3f(x) = 8x^{ 3 }.
    1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=−9x6f(x) = -9x^{ 6 }.
    1. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  2. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=−8x4f(x) = -8x^{ 4 }.
    1. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  3. Beschreibe das Randverhalten von f(x)=−6x4f(x) = -6x^{ 4 }.
    1. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
    2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
    3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty
  1. p(x)=7x2−9x5+9p(x) = 7x^2 - 9x^5 + 9. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?
  2. p(x)=9x2−7x5+2p(x) = 9x^2 - 7x^5 + 2. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?
  3. p(x)=3x2−5x5+8p(x) = 3x^2 - 5x^5 + 8. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. p(x)=7x2−9x5+9p(x) = 7x^2 - 9x^5 + 9. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?
  2. p(x)=9x2−7x5+2p(x) = 9x^2 - 7x^5 + 2. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?
  3. p(x)=3x2−5x5+8p(x) = 3x^2 - 5x^5 + 8. Wie groß ist der Leitkoeffizient von pp?

Merkkarte

Randverhalten

  • Für große ∣x∣|x| zählt nur der höchste Summand.
  • Gerader Grad: beide Enden gleich. Ungerader Grad: entgegengesetzt.
  • Ein negativer Leitkoeffizient dreht das Bild um.

Achtung: Der höchste Summand steht nicht immer vorn.

2. Gleichungen xⁿ = c und allgemeine Wurzel

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie viele Lösungen hat x4=16x^4 = 16?

  1. 24=162^4 = 16 und (−2)4=16(-2)^4 = 16." data-option="1">Zwei: x=2x = 2 und x=−2x = -2
  2. x=−2x = -2 ist eine Lösung." data-option="2">Eine: x=2x = 2

Die Grundidee

Ob es eine oder zwei Lösungen gibt, hängt davon ab, ob der Exponent gerade ist.

Für a≥0a \geq 0 ist die nn-te Wurzel an\sqrt[n]{a} die nicht negative Zahl, deren nn-te Potenz aa ist.

xn=cx^n = c: nn gerade: für c>0c > 0 zwei Lösungen ±cn\pm\sqrt[n]{c}, für c=0c = 0 die Lösung 0, für c<0c < 0 keine. nn ungerade: genau eine Lösung; für c<0c < 0 ist sie −−cn-\sqrt[n]{-c}.

Beispiel

Löse x3=−8x^3 = -8 und x6=64x^6 = 64.

x3=−8x^3 = -8: x=−2x = -2
Ungerader Exponent: eine Lösung, negativ.
x6=64x^6 = 64: x=±646x = \pm\sqrt[6]{64}
Gerader Exponent: zwei Lösungen.
x=2x = 2 oder x=−2x = -2
Sechste Wurzel aus 64.

Du bist dran

Jetzt du: Löse x5=32x^5 = 32.

x=325x = \sqrt[5]{32}
2⁵ = 32, ungerade: nur eine Lösung.
22
Lösung.

Üben ★

  1. Löse x3=−27x^3 = -27.
  2. Löse x3=−8x^3 = -8.
  1. Die Gleichung x4=81x^4 = 81 hat zwei Lösungen. Wie lautet die kleinere?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Wie viele reelle Lösungen hat x6=−4x^6 = -4?
    1. Keine
    2. Eine
    3. Zwei
  1. Berechne 273\sqrt[3]{ 27 }.
  1. Abschlussaufgabe. Untersuche die Gleichungen x4=81x^4 = 81 und x3=27x^3 = 27.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse x3=−27x^3 = -27.
  2. Löse x3=−8x^3 = -8.
  3. Löse x3=−64x^3 = -64.

Merkkarte

Gleichungen xn=cx^n = c

  • Gerades nn, c>0c > 0: ±cn\pm\sqrt[n]{c}.
  • Gerades nn, c<0c < 0: keine Lösung.
  • Ungerades nn: genau eine Lösung.

Achtung: Die negative Lösung nicht vergessen.

3. Rationale Exponenten bei Exponentialfunktionen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Bakterienkultur verdoppelt sich jeden Tag. Mit welchem Faktor wächst sie in einem halben Tag?

Tipp: Wie auch immer der Faktor ff lautet, zwei halbe Tage müssen die Kultur verdoppeln, also f⋅f=2f \cdot f = 2.

Die Grundidee

Brüche als Exponenten sind Wurzeln.

b1n=bnb^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b} und bmn=(bn)mb^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m

Der Faktor für einen halben Tag ist also 212=2≈1,412^{\frac12} = \sqrt{2} \approx 1{,}41. Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: b−r=1brb^{-r} = \dfrac{1}{b^{r}}.

Beispiel

Berechne 8238^{\frac{2}{3}}.

823=(83)28^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2
Der Nenner 3 bedeutet dritte Wurzel, der Zähler 2 Quadrieren.
=22= 2^2
Die dritte Wurzel aus 8 ist 2.
=4= 4
Quadrieren.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne 272327^{\frac{2}{3}}. Ergänze die fehlende Zeile.

2723=(273)2=3227^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2
Dritte Wurzel, dann quadrieren.
=9= 9
3² = 9.

Üben ★

  1. Berechne 365236^{ \frac{ 5 }{2} }.
  2. Berechne 813281^{ \frac{ 3 }{2} }.
  3. Berechne 815281^{ \frac{ 5 }{2} }.
  4. Berechne 4324^{ \frac{ 3 }{2} }.
  5. Berechne 495249^{ \frac{ 5 }{2} }.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne 125−23125^{ -\frac{ 2 }{3} }.
  2. Berechne 125−13125^{ -\frac{ 1 }{3} }.
  3. Berechne 64−1364^{ -\frac{ 1 }{3} }.
  4. Berechne 8−138^{ -\frac{ 1 }{3} }.
  5. Berechne 27−1327^{ -\frac{ 1 }{3} }.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne 125−23125^{ -\frac{ 2 }{3} }.
  2. Berechne 125−13125^{ -\frac{ 1 }{3} }.
  3. Berechne 64−1364^{ -\frac{ 1 }{3} }.

Merkkarte

Rationale Exponenten

  • b1n=bnb^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{b}; bmn=(bn)mb^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m.
  • b−r=1brb^{-r} = \dfrac{1}{b^{r}}: Der Wert bleibt positiv.
  • Ein Faktor bb pro Einheit bedeutet einen Faktor b12b^{\frac12} pro halber Einheit.

Lösungen: Potenzfunktionen und Erweiterung des Potenzbegriffs

1. Potenzfunktionen und Verhalten im Unendlichen

A

  1. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  2. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  3. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  4. Für x→∞x \to \infty gilt f(x)→∞f(x) \to \infty; für x→−∞x \to -\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty

B

  1. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  2. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty
  3. Für x→±∞x \to \pm\infty gilt f(x)→−∞f(x) \to -\infty

C

  1. −9-9
  2. −7-7
  3. −5-5

D

  1. −9-9
  2. −7-7
  3. −5-5

2. Gleichungen xⁿ = c und allgemeine Wurzel

A

  1. −3-3
  2. −2-2

B

  1. −3-3

C

  1. Keine

D

  1. 33

E

  1. 00

F

  1. −3-3
  2. −2-2
  3. −4-4

3. Rationale Exponenten bei Exponentialfunktionen

A

  1. 77767776
  2. 729729
  3. 5904959049
  4. 88
  5. 1680716807

B

  1. 125\frac{1}{25}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 14\frac{1}{4}
  4. 12\frac{1}{2}
  5. 13\frac{1}{3}

C

  1. 125\frac{1}{25}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 14\frac{1}{4}