Umkehrung des Satzes des Pythagoras; Anwendungen und Abstände

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Dreieck hat die Seiten 6, 8 und 10. Ist es rechtwinklig?

Ja
Das lässt sich nicht sagen

Die Grundidee

Die Umkehrung und die Anwendungen.

Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Gilt $a^2 + b^2 = c^2$ , wobei $c$ die längste Seite ist, so ist das Dreieck rechtwinklig. Gilt $a^2 + b^2 \neq c^2$ , ist es nicht rechtwinklig.

Ein Abstand im Koordinatensystem ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Beispiel

Abstand zwischen $(1|2)$ und $(7|10)$ .

Katheten 6 und 8

Differenzen.

Abstand 10

√(36 + 64).

Du bist dran

Jetzt du: Abstand zwischen $(0|0)$ und $(5|12)$ .

13

√(25 + 144).

Üben ★

Ist ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 rechtwinklig?
1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
Ist ein Dreieck mit den Seiten 9, 12 und 15 rechtwinklig?
1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen

Eine 13 m lange Leiter lehnt an einer Wand und reicht 12 m hoch. Wie weit ist ihr Fuß von der Wand entfernt?

Vorsicht!

Üben ★★

Ist ein Dreieck mit den Seiten 7, 8 und 9 rechtwinklig?
1. Nein: $49 + 64$ ist nicht $81$
2. Ja: Wie bei 3, 4, 5 sind die Seiten aufeinanderfolgend
3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
Ist ein Dreieck mit den Seiten 6, 7 und 8 rechtwinklig?
1. Nein: $36 + 49$ ist nicht $64$
2. Ja: Wie bei 3, 4, 5 sind die Seiten aufeinanderfolgend
3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen

Abschlussaufgabe. Berechne den Abstand zwischen $A(-1|-5)$ und $B(5|3)$ mit einem rechtwinkligen Dreieck.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Ist ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 rechtwinklig?
1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
Ist ein Dreieck mit den Seiten 9, 12 und 15 rechtwinklig?
1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
Ist ein Dreieck mit den Seiten 15, 20 und 25 rechtwinklig?
1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen

Merkkarte

Umkehrung des Pythagoras

$a^2 + b^2 = c^2$ : rechter Winkel.
Gleichung falsch: nicht rechtwinklig.

Achtung: Immer mit der längsten Seite als $c$ prüfen.

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