Satz des Pythagoras

Kapitel drucken

Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

Für ein PDF wähle im Druckdialog „Als PDF speichern“.

1. Der Satz des Pythagoras

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 3 und 4. Die Quadrate über diesen Seiten haben die Flächeninhalte 9 und 16. Wie groß ist der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse?

  1. 25
  2. 49

Die Grundidee

Der Satz des Pythagoras.

Im rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten aa und bb und der Hypotenuse cc (der Seite gegenüber dem rechten Winkel, der längsten) gilt a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. Für eine Kathete subtrahiert man: b2=c2−a2b^2 = c^2 - a^2.

Beispiel

Hypotenuse 10, eine Kathete 6.

b2=100−36=64b^2 = 100 - 36 = 64
Die Quadrate subtrahieren.
b=8b = 8
Wurzel ziehen.

Du bist dran

Jetzt du: Katheten 8 und 15. Berechne die Hypotenuse.

1717
√(64 + 225) = √289.

Üben ★

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 10 und 24. Wie lang ist die Hypotenuse?
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 20 und 48. Wie lang ist die Hypotenuse?
  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 15 und eine Kathete 9. Wie lang ist die andere Kathete?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 2 und 4. Gib den exakten Wert der Hypotenuse an.
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 3 und 3. Gib den exakten Wert der Hypotenuse an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 10 und 24. Wie lang ist die Hypotenuse?
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 20 und 48. Wie lang ist die Hypotenuse?
  3. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 15 und 36. Wie lang ist die Hypotenuse?

Merkkarte

Satz des Pythagoras

  • a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, mit der Hypotenuse cc.
  • Für eine Kathete subtrahiert man.

Achtung: Zuerst die Hypotenuse finden.

2. Umkehrung des Satzes des Pythagoras; Anwendungen und Abstände

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Dreieck hat die Seiten 6, 8 und 10. Ist es rechtwinklig?

  1. Ja
  2. Das lässt sich nicht sagen

Die Grundidee

Die Umkehrung und die Anwendungen.

Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Gilt a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, wobei cc die längste Seite ist, so ist das Dreieck rechtwinklig. Gilt a2+b2≠c2a^2 + b^2 \neq c^2, ist es nicht rechtwinklig.

Ein Abstand im Koordinatensystem ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.

Beispiel

Abstand zwischen (1∣2)(1|2) und (7∣10)(7|10).

Katheten 6 und 8
Differenzen.
Abstand 10
√(36 + 64).

Du bist dran

Jetzt du: Abstand zwischen (0∣0)(0|0) und (5∣12)(5|12).

1313
√(25 + 144).

Üben ★

  1. Ist ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 rechtwinklig?
    1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
    2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
    3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
  2. Ist ein Dreieck mit den Seiten 9, 12 und 15 rechtwinklig?
    1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
    2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
    3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
  1. Eine 13 m lange Leiter lehnt an einer Wand und reicht 12 m hoch. Wie weit ist ihr Fuß von der Wand entfernt?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ist ein Dreieck mit den Seiten 7, 8 und 9 rechtwinklig?
    1. Nein: 49+6449 + 64 ist nicht 8181
    2. Ja: Wie bei 3, 4, 5 sind die Seiten aufeinanderfolgend
    3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
  2. Ist ein Dreieck mit den Seiten 6, 7 und 8 rechtwinklig?
    1. Nein: 36+4936 + 49 ist nicht 6464
    2. Ja: Wie bei 3, 4, 5 sind die Seiten aufeinanderfolgend
    3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
  1. Abschlussaufgabe. Berechne den Abstand zwischen A(−1∣−5)A(-1|-5) und B(5∣3)B(5|3) mit einem rechtwinkligen Dreieck.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ist ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 rechtwinklig?
    1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
    2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
    3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
  2. Ist ein Dreieck mit den Seiten 9, 12 und 15 rechtwinklig?
    1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
    2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
    3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen
  3. Ist ein Dreieck mit den Seiten 15, 20 und 25 rechtwinklig?
    1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
    2. Nein: Die Seiten sind keine aufeinanderfolgenden Zahlen
    3. Das lässt sich ohne Winkelmessung nicht sagen

Merkkarte

Umkehrung des Pythagoras

  • a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2: rechter Winkel.
  • Gleichung falsch: nicht rechtwinklig.

Achtung: Immer mit der längsten Seite als cc prüfen.

Lösungen: Satz des Pythagoras

1. Der Satz des Pythagoras

A

  1. 2626
  2. 5252

B

  1. 1212

C

  1. 252 \sqrt{5}
  2. 323 \sqrt{2}

D

  1. 2626
  2. 5252
  3. 3939

2. Umkehrung des Satzes des Pythagoras; Anwendungen und Abstände

A

  1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
  2. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten

B

  1. 55

C

  1. Nein: 49+6449 + 64 ist nicht 8181
  2. Nein: 36+4936 + 49 ist nicht 6464

D

  1. 1010

E

  1. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
  2. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten
  3. Ja: Die Quadrate der beiden kürzeren Seiten ergeben zusammen das Quadrat der längsten