Modellieren mit quadratischen Gleichungen

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Jahrgangsstufe 9 › Quadratische Funktionen und Gleichungen

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Modellieren mit quadratischen Gleichungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 49 cm². Welche Gleichung liefert seine Seite s?

  1. s² = 49
  2. 4s = 49

Die Grundidee

Stelle die Gleichung aus der Situation auf, löse sie und prüfe am Sachverhalt.

Die Unbekannte benennen, den Text in eine Gleichung übersetzen (oft ein Produkt: Fläche = Länge · Breite, oder eine Formel wie h=−5t2+vth = -5t^2 + vt), lösen und nur die sinnvollen Lösungen behalten: Längen und Zeiten sind nicht negativ, und der Abwurfzeitpunkt ist nicht der Landezeitpunkt.

Beispiel

Ein Rechteck ist 3 m länger als breit und hat den Flächeninhalt 40 m².

w(w+3)=40w(w + 3) = 40
Gleichung.
w2+3w−40=0w^2 + 3w - 40 = 0, (w+8)(w−5)=0(w + 8)(w - 5) = 0
Lösen.
w=5w = 5 m (−8-8 entfällt)
Sachverhalt.

Du bist dran

Jetzt du: ein Quadrat mit 81 m². Wie lang ist seine Seite in Metern?

99
s² = 81, s > 0.

Üben ★

  1. Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 240. Welche Gleichung beschreibt das, wenn x die kleinere Zahl ist?
    1. x(x + 1) = 240
    2. x + (x + 1) = 240
    3. x² + 1 = 240
  2. Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 210. Welche Gleichung beschreibt das, wenn x die kleinere Zahl ist?
    1. x(x + 1) = 210
    2. x + (x + 1) = 210
    3. x² + 1 = 210
  1. Ein rechteckiger Garten ist 6 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 216 m². Stelle eine Gleichung für die Breite w auf und löse sie. Wie breit ist er in Metern?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Ball wird nach oben geschossen. Seine Höhe nach t Sekunden ist h = −5t² + 35t Meter. Nach wie vielen Sekunden landet er?
  2. Ein Ball wird nach oben geschossen. Seine Höhe nach t Sekunden ist h = −5t² + 30t Meter. Nach wie vielen Sekunden landet er?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Foto mit 22 cm mal 14 cm bekommt auf jeder Seite einen gleich breiten Rahmen von x cm. Das gerahmte Foto bedeckt 660 cm².

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein rechteckiger Garten ist 6 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 216 m². Stelle eine Gleichung für die Breite w auf und löse sie. Wie breit ist er in Metern?
  2. Ein rechteckiger Garten ist 3 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 88 m². Stelle eine Gleichung für die Breite w auf und löse sie. Wie breit ist er in Metern?
  3. Ein rechteckiger Garten ist 7 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 144 m². Stelle eine Gleichung für die Breite w auf und löse sie. Wie breit ist er in Metern?

Merkkarte

Modellieren mit quadratischen Gleichungen

Übersetzen, lösen, dann die Lösungen behalten, die zur Situation passen.

Achtung: Eine negative Länge oder der Startzeitpunkt ist nicht die Antwort.

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Lösungen: Modellieren mit quadratischen Gleichungen

A

  1. x(x + 1) = 240
  2. x(x + 1) = 210

B

  1. 1212

C

  1. 77
  2. 66

D

  1. 352352

E

  1. 1212
  2. 88
  3. 99

CC BY-SA 4.0