Funktionsterm aus drei Punkten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $(0|3)$ . Was folgt daraus?

$f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + c = c$ $f (0) = a c d o t 0^{2} + b c d o t 0 + c = c$ ." data-option="1"> $c = 3$
$x = 0$ $x = 0$ ein: Nur $c$ bleibt übrig." data-option="2"> $a = 3$

Die Grundidee

Jeder Punkt liefert eine Gleichung; drei Punkte legen die drei Parameter fest.

Durch drei Punkte mit verschiedenen $x$ -Werten, die nicht auf einer Geraden liegen, geht genau eine Parabel. Vorgehen: Punkte in $f(x) = ax^2 + bx + c$ einsetzen und das Gleichungssystem lösen.

Ist der Scheitel $S(d|e)$ bekannt, reicht ein weiterer Punkt: $f(x) = a(x - d)^2 + e$ ansetzen und $a$ bestimmen.

Beispiel

Parabel durch $(0|1)$ , $(1|4)$ und $(-1|2)$ .

c = 1

f(0) = 1.

a + b + 1 = 4

und

a - b + 1 = 2

f(1) = 4 und f(−1) = 2.

a = 2

,

b = 1

, also

f(x) = 2x^2 + x + 1

Addieren und subtrahieren.

Du bist dran

Jetzt du: Scheitel $S(1|2)$ , Punkt $(2|5)$ . Bestimme $a$ .

5 = a \cdot 1^2 + 2

Einsetzen in a(x − 1)² + 2.

3

a berechnen.

Üben ★

Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $(0|1)$ , $(1|1)$ und $(-1|3)$ . Wie groß ist $a$ ?
Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $(0|0)$ , $(1|1)$ und $(-1|1)$ . Wie groß ist $a$ ?

Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $(1|0)$ und $(-1|8)$ . Wie groß ist $b$ ?

Vorsicht!

Üben ★★

Eine Parabel geht durch den Punkt $(0|8)$ . Was bedeutet das für $f(x) = ax^2 + bx + c$ ?
1. Das Absolutglied ist $8$
2. $a = 8$
3. Die Parabel hat bei $x = 8$ eine Nullstelle

Eine Parabel hat den Scheitel $S(-4|2)$ und geht durch $(-3|6)$ . Wie groß ist $a$ in $f(x) = a(x - d)^2 + e$ ?

Abschlussaufgabe. Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $(0|4)$ , $(1|8)$ und $(-1|4)$ .

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $(0|1)$ , $(1|1)$ und $(-1|3)$ . Wie groß ist $a$ ?
Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $(0|0)$ , $(1|1)$ und $(-1|1)$ . Wie groß ist $a$ ?
Eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ geht durch $(0|3)$ , $(1|2)$ und $(-1|10)$ . Wie groß ist $a$ ?

Merkkarte

Funktionsterm aus Punkten

Jeder Punkt: eine Gleichung.
$(0|c)$ liefert sofort $c$ .
Scheitel bekannt: $a(x - d)^2 + e$ und ein Punkt.

Achtung: x in den Term, y auf die andere Seite.

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