Quadratische Funktionen und Gleichungen

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Quadratische Funktionen: Scheitelpunkt und Extremwert

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Ein Ball hat nach tt Sekunden die Höhe h(t)=−5t2+20th(t) = -5t^2 + 20t in Metern. Sein Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel. Wann erreicht der Ball seinen höchsten Punkt?

  1. Nach 2 Sekunden
  2. Nach 4 Sekunden

Die Grundidee

Jede quadratische Funktion f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c hat einen Scheitel, ihren höchsten oder tiefsten Punkt.

Der Scheitel liegt bei x=−b2ax = -\dfrac{b}{2a}. Seine Höhe f(−b2a)f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) ist für a>0a > 0 der kleinste, für a<0a < 0 der größte Wert von ff.

Quadratisches Ergänzen ergibt die Scheitelform f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x - d)^2 + e mit dem Scheitel S(d∣e)S(d|e).

Beispiel

Bestimme den Scheitel von f(x)=2x2−12x+5f(x) = 2x^2 - 12x + 5.

x=−−122⋅2=3x = -\dfrac{-12}{2 \cdot 2} = 3
a = 2, b = −12.
f(3)=18−36+5=−13f(3) = 18 - 36 + 5 = -13
f am Scheitel berechnen.
Scheitel S(3∣−13)S(3|-13), kleinster Wert −13-13
a = 2 > 0, also der tiefste Punkt.

Du bist dran

Jetzt du: f(x)=x2+6x+11f(x) = x^2 + 6x + 11.

x=−62=−3x = -\dfrac{6}{2} = -3
a = 1, b = 6.
Kleinster Wert: f(−3)=2f(-3) = 2
f(−3) = 9 − 18 + 11.

Üben ★

  1. f(x)=5x2−10x+20f(x) = 5x^2 - 10x + 20. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels?
  2. f(x)=5x2−40x+10f(x) = 5x^2 - 40x + 10. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels?
  3. f(x)=2x2−20x+19f(x) = 2x^2 - 20x + 19. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels?
  4. f(x)=5x2−30x+5f(x) = 5x^2 - 30x + 5. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. f(x)=x2+10x+21f(x) = x^2 + 10x + 21. Wie groß ist der kleinste Wert von f(x)f(x)?
  2. f(x)=x2+4x+22f(x) = x^2 + 4x + 22. Wie groß ist der kleinste Wert von f(x)f(x)?
  3. f(x)=x2+10x+19f(x) = x^2 + 10x + 19. Wie groß ist der kleinste Wert von f(x)f(x)?
  1. Zeichne den Graphen von y=−(x−h)2+6y = -(x - h)^2 + 6 für h=0h = 0: Setze den Scheitel und einen weiteren Punkt.
  2. Zeichne den Graphen von y=−(x−h)2+2y = -(x - h)^2 + 2 für h=2h = 2: Setze den Scheitel und einen weiteren Punkt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. f(x)=x2+10x+21f(x) = x^2 + 10x + 21. Wie groß ist der kleinste Wert von f(x)f(x)?
  2. f(x)=x2+4x+22f(x) = x^2 + 4x + 22. Wie groß ist der kleinste Wert von f(x)f(x)?
  3. f(x)=x2+10x+19f(x) = x^2 + 10x + 19. Wie groß ist der kleinste Wert von f(x)f(x)?

Merkkarte

Quadratische Funktionen

  1. Scheitel bei x=−b2ax = -\dfrac{b}{2a}.
  2. Seine Höhe f(−b2a)f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) ist das Minimum (a>0a > 0) oder Maximum (a<0a < 0).
  3. Scheitelform: a(x−d)2+ea(x - d)^2 + e, Scheitel S(d∣e)S(d|e).

Achtung: Das konstante Glied cc ist f(0)f(0), nicht der Extremwert.

2. Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

y=(x−4)2+1y = (x - 4)^2 + 1. Ein Quadrat ist nie negativ. Wie groß ist der kleinste Wert von yy, und für welches xx?

  1. y=1y = 1 für x=4x = 4
  2. y=1y = 1 für x=−4x = -4

Die Grundidee

Die Scheitelform zeigt den Scheitel der Parabel.

y=a(x−d)2+ey = a(x - d)^2 + e hat den Scheitel S(d∣e)S(d|e). Achte auf das Vorzeichen: (x+3)2(x + 3)^2 bedeutet d=−3d = -3.

Beispiel

y=2(x+3)2−5y = 2(x + 3)^2 - 5.

d=−3d = -3
x + 3 = x − (−3).
e=−5e = -5
Die Konstante.
Scheitel S(−3∣−5)S(-3|-5), ein Tiefpunkt
a = 2 > 0.

Du bist dran

Jetzt du: Wie lautet die y-Koordinate des Scheitels von y=−(x−2)2+9y = -(x - 2)^2 + 9?

99
e = 9.

Üben ★

  1. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels von y=3(x+1)2+4y = 3(x + 1)^2 + 4?
  2. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels von y=5(x+9)2+6y = 5(x + 9)^2 + 6?
  1. Wie groß ist der kleinste Wert von y=(x−9)2−3y = (x - 9)^2 - 3?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Schreibe in Scheitelform: eine quadratische Funktion mit dem Scheitel (8∣1)(8|1) und dem Leitkoeffizienten 2.
  2. Schreibe in Scheitelform: eine quadratische Funktion mit dem Scheitel (4∣1)(4|1) und dem Leitkoeffizienten 4.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels von y=3(x+1)2+4y = 3(x + 1)^2 + 4?
  2. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels von y=5(x+9)2+6y = 5(x + 9)^2 + 6?
  3. Wie lautet die x-Koordinate des Scheitels von y=8(x+5)2+9y = 8(x + 5)^2 + 9?

Merkkarte

Scheitelform

  • y=a(x−d)2+ey = a(x - d)^2 + e: Scheitel S(d∣e)S(d|e).

Achtung: (x+h)(x + h) legt den Scheitel nach −h-h.

3. Quadratische Ergänzung

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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x2+6x+9=(x+3)2x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2. Woher kommt die 9?

Nicht maßstabsgetreu
  1. Schritt 1x² + 6x: ein Quadrat und ein Streifen.
  2. Schritt 2Teile den Streifen in zwei Streifen 3x und lege sie an zwei Seiten an.
  3. Schritt 3Die Ecke fehlt: (6 : 2)² = 9 addieren ergibt (x + 3)².
  1. (6:2)2(6 : 2)^2
  2. 6+36 + 3

Die Grundidee

Quadratisch ergänzen.

x2+bx+(b2)2=(x+b2)2x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2. So löst du x2+bx=kx^2 + bx = k: (b2)2\left(\tfrac{b}{2}\right)^2 auf beiden Seiten addieren, links als Quadrat schreiben, dann ±\pm Wurzel ziehen. Derselbe Schritt macht aus x2+bx+cx^2 + bx + c die Scheitelform.

Beispiel

Löse x2+4x=1x^2 + 4x = 1.

x2+4x+4=5x^2 + 4x + 4 = 5
(4/2)² = 4 auf beiden Seiten addieren.
(x+2)2=5(x + 2)^2 = 5
Quadrat.
x=−2±5x = -2 \pm \sqrt{5}
±√5, dann 2 abziehen.

Du bist dran

Jetzt du: die Zahl, die x2+10x+  ?x^2 + 10x + \;? ergänzt.

2525
(10/2)².

Üben ★

  1. Welche Zahl macht x2+10x+  ?x^2 + 10x + \;? zu einem vollständigen Quadrat?
  2. Welche Zahl macht x2+18x+  ?x^2 + 18x + \;? zu einem vollständigen Quadrat?
  1. x2+12x+22=(x+6)2+  ?x^2 + 12x + 22 = (x + 6)^2 + \;?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse x2+6x=8x^2 + 6x = 8 durch quadratisches Ergänzen. Gib alle Lösungen an (verwende sqrt).
  2. Löse x2+2x=9x^2 + 2x = 9 durch quadratisches Ergänzen. Gib alle Lösungen an (verwende sqrt).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Welche Zahl macht x2+10x+  ?x^2 + 10x + \;? zu einem vollständigen Quadrat?
  2. Welche Zahl macht x2+18x+  ?x^2 + 18x + \;? zu einem vollständigen Quadrat?
  3. Welche Zahl macht x2+4x+  ?x^2 + 4x + \;? zu einem vollständigen Quadrat?

Merkkarte

Quadratisches Ergänzen

(b/2)2(b/2)^2 auf beiden Seiten addieren, dann Wurzel ziehen.

Achtung: Halbieren, dann quadrieren; und auf beiden Seiten.

4. Die Lösungsformel und die Diskriminante

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0. Die Scheitelform liefert (x+1)2=−4(x + 1)^2 = -4. Wie viele reelle Lösungen gibt es?

  1. Keine
  2. Zwei

Die Grundidee

Die Scheitelform führt zu einer allgemeinen Formel.

Für ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 berechnet man die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac.

Ist D>0D > 0: zwei Lösungen x=−b±D2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. Ist D=0D = 0: eine Lösung −b2a-\dfrac{b}{2a}. Ist D<0D < 0: keine reelle Lösung.

Beispiel

Löse 2x2+3x−2=02x^2 + 3x - 2 = 0.

D=9+16=25D = 9 + 16 = 25
a = 2, b = 3, c = −2.
x=−3±54x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}
Lösungsformel.
x=12x = \dfrac{1}{2} oder x=−2x = -2
Zwei Lösungen.

Du bist dran

Jetzt du: Berechne die Diskriminante von x2+5x+6=0x^2 + 5x + 6 = 0.

11
25 − 24.

Üben ★

  1. Berechne die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac von 1x2+12x+2=01x^2 + 12x + 2 = 0.
  2. Berechne die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac von 1x2+11x+9=01x^2 + 11x + 9 = 0.
  1. Wie viele reelle Lösungen hat x2+7x+49=0x^2 + 7x + 49 = 0?
    1. Keine
    2. Zwei
    3. Eine

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse 2x2+5x−1=02x^2 + 5x - 1 = 0. Gib alle Lösungen an (verwende sqrt).
  2. Löse 2x2+7x−6=02x^2 + 7x - 6 = 0. Gib alle Lösungen an (verwende sqrt).
  1. Abschlussaufgabe. Ein rechteckiger Garten ist 7 m länger als breit, sein Flächeninhalt ist 294 m². Es sei ww die Breite in Metern.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac von 1x2+12x+2=01x^2 + 12x + 2 = 0.
  2. Berechne die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac von 1x2+11x+9=01x^2 + 11x + 9 = 0.
  3. Berechne die Diskriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac von 2x2+8x+5=02x^2 + 8x + 5 = 0.

Merkkarte

Diskriminante

  • D=b2−4acD = b^2 - 4ac bestimmt die Anzahl der Lösungen.
  • x=−b±D2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.

Achtung: 2a2a teilt den ganzen Zähler.

5. Der Satz vom Nullprodukt

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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a⋅b=0a \cdot b = 0. Was folgt daraus?

  1. a=0a = 0 oder b=0b = 0
  2. a=0a = 0 und b=0b = 0

Die Grundidee

Eine Produktgleichung löst man Faktor für Faktor.

Aus A⋅B=0A \cdot B = 0 folgt A=0A = 0 oder B=0B = 0. Diese Regel gilt nur, wenn eine Seite 0 ist.

Beispiel

Löse (3x−6)(x+4)=0(3x - 6)(x + 4) = 0.

3x−6=03x - 6 = 0, also x=2x = 2
Erster Faktor.
x+4=0x + 4 = 0, also x=−4x = -4
Zweiter Faktor.

Du bist dran

Jetzt du: Wie lautet die von 0 verschiedene Lösung von x(x−9)=0x(x - 9) = 0?

99
x − 9 = 0.

Üben ★

  1. Löse x(x−3)=0x(x - 3) = 0. Gib alle Lösungen an.
  2. Löse x(x−2)=0x(x - 2) = 0. Gib alle Lösungen an.
  1. Löse (4x−6)(x+8)=0(4x - 6)(x + 8) = 0. Gib alle Lösungen an.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Um (x−3)(x+7)=4(x - 3)(x + 7) = 4 zu lösen, schreibt Ana „x−3=4x - 3 = 4 oder x+7=4x + 7 = 4“. Hat sie recht?
    1. Nein: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist
    2. Ja: Man setzt jeden Faktor gleich 4
    3. Nur der erste Faktor kann 4 sein
  2. Um (x−7)(x+6)=17(x - 7)(x + 6) = 17 zu lösen, schreibt Ana „x−7=17x - 7 = 17 oder x+6=17x + 6 = 17“. Hat sie recht?
    1. Nein: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist
    2. Ja: Man setzt jeden Faktor gleich 17
    3. Nur der erste Faktor kann 17 sein

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse (4x−6)(x+8)=0(4x - 6)(x + 8) = 0. Gib alle Lösungen an.
  2. Löse (2x−5)(x+9)=0(2x - 5)(x + 9) = 0. Gib alle Lösungen an.
  3. Löse (5x−3)(x+8)=0(5x - 3)(x + 8) = 0. Gib alle Lösungen an.

Merkkarte

Satz vom Nullprodukt

  • Produkt null: jeden Faktor null setzen.
  • Die andere Seite muss 0 sein.

Achtung: Nie durch xx teilen: Du verlierst x=0x = 0.

6. Normalform und faktorisierte Form einer quadratischen Funktion

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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y=(x−3)(x+5)y = (x - 3)(x + 5). Wo schneidet der Graph die xx-Achse?

  1. Bei x=3x = 3 und x=−5x = -5
  2. Bei x=−3x = -3 und x=5x = 5

Die Grundidee

Zwei Formen derselben quadratischen Funktion.

Die allgemeine Form ax2+bx+cax^2 + bx + c zeigt den y-Achsenabschnitt cc. Die Nullstellenform a(x−p)(x−q)a(x - p)(x - q) zeigt die Nullstellen pp und qq. Durch Ausmultiplizieren (jeder Summand mit jedem) kommt man von der Nullstellenform zur allgemeinen Form.

Beispiel

(x+4)(x−2)(x + 4)(x - 2).

x2−2x+4x−8x^2 - 2x + 4x - 8
x · x, x · (−2), 4 · x, 4 · (−2).
x2+2x−8x^2 + 2x - 8
Zusammenfassen.
Nullstellen −4-4 und 22
Aus den Faktoren.

Du bist dran

Jetzt du: Multipliziere (x+3)(x+5)(x + 3)(x + 5) aus.

x2+8x+15x^2 + 8x + 15
x² + 5x + 3x + 15.

Üben ★

  1. Bestimme die Nullstellen von y=(x−6)(x+2)y = (x - 6)(x + 2).
  2. Bestimme die Nullstellen von y=(x−7)(x+1)y = (x - 7)(x + 1).
  1. Schreibe (x+2)(x−3)(x + 2)(x - 3) in der allgemeinen Form ax2+bx+cax^2 + bx + c.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine quadratische Funktion mit dem Leitkoeffizienten 1 hat die Nullstellen x=9x = 9 und x=−4x = -4. Schreibe sie in der Nullstellenform.
  2. Eine quadratische Funktion mit dem Leitkoeffizienten 1 hat die Nullstellen x=7x = 7 und x=−6x = -6. Schreibe sie in der Nullstellenform.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme die Nullstellen von y=(x−6)(x+2)y = (x - 6)(x + 2).
  2. Bestimme die Nullstellen von y=(x−7)(x+1)y = (x - 7)(x + 1).
  3. Bestimme die Nullstellen von y=(x−3)(x+5)y = (x - 3)(x + 5).

Merkkarte

Allgemeine Form und Nullstellenform

Die Nullstellenform liefert die Nullstellen, die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt.

Achtung: Der Faktor x+5x + 5 gehört zur Nullstelle −5-5.

7. Funktionsterm aus drei Punkten

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Eine Parabel f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch (0∣3)(0|3). Was folgt daraus?

  1. f(0)=acdot02+bcdot0+c=cf(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + c = c." data-option="1">c=3c = 3
  2. x=0x = 0 ein: Nur cc bleibt übrig." data-option="2">a=3a = 3

Die Grundidee

Jeder Punkt liefert eine Gleichung; drei Punkte legen die drei Parameter fest.

Durch drei Punkte mit verschiedenen xx-Werten, die nicht auf einer Geraden liegen, geht genau eine Parabel. Vorgehen: Punkte in f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c einsetzen und das Gleichungssystem lösen.

Ist der Scheitel S(d∣e)S(d|e) bekannt, reicht ein weiterer Punkt: f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x - d)^2 + e ansetzen und aa bestimmen.

Beispiel

Parabel durch (0∣1)(0|1), (1∣4)(1|4) und (−1∣2)(-1|2).

c=1c = 1
f(0) = 1.
a+b+1=4a + b + 1 = 4 und a−b+1=2a - b + 1 = 2
f(1) = 4 und f(−1) = 2.
a=2a = 2, b=1b = 1, also f(x)=2x2+x+1f(x) = 2x^2 + x + 1
Addieren und subtrahieren.

Du bist dran

Jetzt du: Scheitel S(1∣2)S(1|2), Punkt (2∣5)(2|5). Bestimme aa.

5=a⋅12+25 = a \cdot 1^2 + 2
Einsetzen in a(x − 1)² + 2.
33
a berechnen.

Üben ★

  1. Eine Parabel f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch (0∣1)(0|1), (1∣1)(1|1) und (−1∣3)(-1|3). Wie groß ist aa?
  2. Eine Parabel f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch (0∣0)(0|0), (1∣1)(1|1) und (−1∣1)(-1|1). Wie groß ist aa?
  1. Eine Parabel f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch (1∣0)(1|0) und (−1∣8)(-1|8). Wie groß ist bb?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Eine Parabel geht durch den Punkt (0∣8)(0|8). Was bedeutet das für f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c?
    1. Das Absolutglied ist 88
    2. a=8a = 8
    3. Die Parabel hat bei x=8x = 8 eine Nullstelle
  1. Eine Parabel hat den Scheitel S(−4∣2)S(-4|2) und geht durch (−3∣6)(-3|6). Wie groß ist aa in f(x)=a(x−d)2+ef(x) = a(x - d)^2 + e?
  1. Abschlussaufgabe. Eine Parabel f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch (0∣4)(0|4), (1∣8)(1|8) und (−1∣4)(-1|4).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Eine Parabel f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch (0∣1)(0|1), (1∣1)(1|1) und (−1∣3)(-1|3). Wie groß ist aa?
  2. Eine Parabel f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch (0∣0)(0|0), (1∣1)(1|1) und (−1∣1)(-1|1). Wie groß ist aa?
  3. Eine Parabel f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c geht durch (0∣3)(0|3), (1∣2)(1|2) und (−1∣10)(-1|10). Wie groß ist aa?

Merkkarte

Funktionsterm aus Punkten

  • Jeder Punkt: eine Gleichung.
  • (0∣c)(0|c) liefert sofort cc.
  • Scheitel bekannt: a(x−d)2+ea(x - d)^2 + e und ein Punkt.

Achtung: x in den Term, y auf die andere Seite.

8. Bruchgleichungen lösen

Aufwärmen

Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Löse 6x=2\dfrac{6}{x} = 2. Welcher Wert passt?

  1. x=3x = 3
  2. x=12x = 12

Die Grundidee

Nenner beseitigen, lösen, dann prüfen.

Beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizieren, die entstehende Gleichung lösen und jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung prüfen: Ein Wert, der einen Nenner 0 macht, liegt nicht in der Definitionsmenge und entfällt.

Beispiel

xx−2=2x−2+1\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{2}{x - 2} + 1.

x=2+(x−2)x = 2 + (x - 2), also x=xx = x
Mit x − 2 multiplizieren.
… außer dort, wo der Nenner 0 ist
Für jedes x wahr.
Lösungen: jedes x≠2x \neq 2
x = 2 ist ausgeschlossen.

Du bist dran

Jetzt du: xx+1=23\dfrac{x}{x + 1} = \dfrac{2}{3}.

x=2x = 2
3x = 2x + 2.

Üben ★

  1. Löse xx+2=27\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 2 }{ 7 }.
  2. Löse xx+2=46\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 4 }{ 6 }.
  3. Löse xx+6=58\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{ 5 }{ 8 }.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Löse 1x+111=15\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{ 11 } = \dfrac{1}{ 5 }.
  2. Löse 1x+112=12\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{ 12 } = \dfrac{1}{ 2 }.
  1. Löse x2−4x−2=4\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 4.
    1. Keine Lösung: Kürzen ergibt x = 2, aber x = 2 macht den Nenner 0
    2. x = 2
    3. Jedes x außer 2

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Löse xx+2=27\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 2 }{ 7 }.
  2. Löse xx+2=46\dfrac{x}{x + 2} = \dfrac{ 4 }{ 6 }.
  3. Löse xx+6=58\dfrac{x}{x + 6} = \dfrac{ 5 }{ 8 }.

Merkkarte

Bruchgleichungen

Nenner beseitigen → lösen → in der ursprünglichen Gleichung prüfen.

Achtung: Werte, die einen Nenner 0 machen, entfallen.

9. Modellieren mit quadratischen Gleichungen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 49 cm². Welche Gleichung liefert seine Seite s?

  1. s² = 49
  2. 4s = 49

Die Grundidee

Stelle die Gleichung aus der Situation auf, löse sie und prüfe am Sachverhalt.

Die Unbekannte benennen, den Text in eine Gleichung übersetzen (oft ein Produkt: Fläche = Länge · Breite, oder eine Formel wie h=−5t2+vth = -5t^2 + vt), lösen und nur die sinnvollen Lösungen behalten: Längen und Zeiten sind nicht negativ, und der Abwurfzeitpunkt ist nicht der Landezeitpunkt.

Beispiel

Ein Rechteck ist 3 m länger als breit und hat den Flächeninhalt 40 m².

w(w+3)=40w(w + 3) = 40
Gleichung.
w2+3w−40=0w^2 + 3w - 40 = 0, (w+8)(w−5)=0(w + 8)(w - 5) = 0
Lösen.
w=5w = 5 m (−8-8 entfällt)
Sachverhalt.

Du bist dran

Jetzt du: ein Quadrat mit 81 m². Wie lang ist seine Seite in Metern?

99
s² = 81, s > 0.

Üben ★

  1. Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 240. Welche Gleichung beschreibt das, wenn x die kleinere Zahl ist?
    1. x(x + 1) = 240
    2. x + (x + 1) = 240
    3. x² + 1 = 240
  2. Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 210. Welche Gleichung beschreibt das, wenn x die kleinere Zahl ist?
    1. x(x + 1) = 210
    2. x + (x + 1) = 210
    3. x² + 1 = 210
  1. Ein rechteckiger Garten ist 6 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 216 m². Stelle eine Gleichung für die Breite w auf und löse sie. Wie breit ist er in Metern?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Ball wird nach oben geschossen. Seine Höhe nach t Sekunden ist h = −5t² + 35t Meter. Nach wie vielen Sekunden landet er?
  2. Ein Ball wird nach oben geschossen. Seine Höhe nach t Sekunden ist h = −5t² + 30t Meter. Nach wie vielen Sekunden landet er?
  1. Abschlussaufgabe. Ein Foto mit 22 cm mal 14 cm bekommt auf jeder Seite einen gleich breiten Rahmen von x cm. Das gerahmte Foto bedeckt 660 cm².

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein rechteckiger Garten ist 6 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 216 m². Stelle eine Gleichung für die Breite w auf und löse sie. Wie breit ist er in Metern?
  2. Ein rechteckiger Garten ist 3 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 88 m². Stelle eine Gleichung für die Breite w auf und löse sie. Wie breit ist er in Metern?
  3. Ein rechteckiger Garten ist 7 m länger als breit. Sein Flächeninhalt ist 144 m². Stelle eine Gleichung für die Breite w auf und löse sie. Wie breit ist er in Metern?

Merkkarte

Modellieren mit quadratischen Gleichungen

Übersetzen, lösen, dann die Lösungen behalten, die zur Situation passen.

Achtung: Eine negative Länge oder der Startzeitpunkt ist nicht die Antwort.

Lösungen: Quadratische Funktionen und Gleichungen

1. Quadratische Funktionen: Scheitelpunkt und Extremwert

A

  1. 11
  2. 44
  3. 55
  4. 33

B

  1. −4-4
  2. 1818
  3. −6-6

C

  1. y=6−x2y = 6 - x^{2}
  2. y=2−(x−2)2y = 2 - \left(x - 2\right)^{2}

D

  1. −4-4
  2. 1818
  3. −6-6

2. Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

A

  1. −1-1
  2. −9-9

B

  1. −3-3

C

  1. 2(x−8)2+12 \left(x - 8\right)^{2} + 1
  2. 4(x−4)2+14 \left(x - 4\right)^{2} + 1

D

  1. −1-1
  2. −9-9
  3. −5-5

3. Quadratische Ergänzung

A

  1. 2525
  2. 8181

B

  1. −14-14

C

  1. −3+17, −17−3-3 + \sqrt{17},\ - \sqrt{17} - 3
  2. −1+10, −10−1-1 + \sqrt{10},\ - \sqrt{10} - 1

D

  1. 2525
  2. 8181
  3. 44

4. Die Lösungsformel und die Diskriminante

A

  1. 136136
  2. 8585

B

  1. Keine

C

  1. −54+334, −334−54- \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4},\ - \frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{5}{4}
  2. −74+974, −974−74- \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{97}}{4},\ - \frac{\sqrt{97}}{4} - \frac{7}{4}

D

  1. 2121

E

  1. 136136
  2. 8585
  3. 2424

5. Der Satz vom Nullprodukt

A

  1. 0, 30,\ 3
  2. 0, 20,\ 2

B

  1. 32, −8\frac{3}{2},\ -8

C

  1. Nein: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist
  2. Nein: Der Satz vom Nullprodukt gilt nur, wenn das Produkt 0 ist

D

  1. 32, −8\frac{3}{2},\ -8
  2. 52, −9\frac{5}{2},\ -9
  3. 35, −8\frac{3}{5},\ -8

6. Normalform und faktorisierte Form einer quadratischen Funktion

A

  1. 6, −26,\ -2
  2. 7, −17,\ -1

B

  1. x2−x−6x^{2} - x - 6

C

  1. (x−9)(x+4)\left(x - 9\right) \left(x + 4\right)
  2. (x−7)(x+6)\left(x - 7\right) \left(x + 6\right)

D

  1. 6, −26,\ -2
  2. 7, −17,\ -1
  3. 3, −53,\ -5

7. Funktionsterm aus drei Punkten

A

  1. 11
  2. 11

B

  1. −4-4

C

  1. Das Absolutglied ist 88

D

  1. 44

E

  1. 22

F

  1. 11
  2. 11
  3. 33

8. Bruchgleichungen lösen

A

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 44
  3. 1010

B

  1. 556\frac{55}{6}
  2. 125\frac{12}{5}

C

  1. Keine Lösung: Kürzen ergibt x = 2, aber x = 2 macht den Nenner 0

D

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 44
  3. 1010

9. Modellieren mit quadratischen Gleichungen

A

  1. x(x + 1) = 240
  2. x(x + 1) = 210

B

  1. 1212

C

  1. 77
  2. 66

D

  1. 352352

E

  1. 1212
  2. 88
  3. 99