Quadratwurzeln und reelle Zahlen

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Quadrat- und Kubikwurzeln

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine quadratische Fliese hat den Flächeninhalt 49 cm². Wie lang ist ihre Seite?

  1. 7 cm
  2. 24,5 cm

Die Grundidee

Die Quadratwurzel macht das Quadrieren rückgängig.

a\sqrt{a} ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat aa ist, für a≥0a \geq 0: die Seite eines Quadrats mit dem Flächeninhalt aa.

Ist aa keine Quadratzahl, liegt a\sqrt{a} zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. x2=ax^2 = a mit a>0a > 0 hat zwei Lösungen: a\sqrt{a} und −a-\sqrt{a}.

Beispiel

Schätze 30\sqrt{30} ein.

5<30<65 < \sqrt{30} < 6
25 < 30 < 36.

Du bist dran

Jetzt du: Löse x2=25x^2 = 25. Wie lautet die positive Lösung?

55
5 · 5 = 25.

Üben ★

  1. Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 225 Flächeneinheiten. Wie lang ist seine Seite?
  2. Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 144 Flächeneinheiten. Wie lang ist seine Seite?
  1. Ein Würfel hat das Volumen 343 Raumeinheiten. Wie lang ist jede Kante?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. 37\sqrt{ 37 } liegt zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. Wie lautet die kleinere?
  2. 17\sqrt{ 17 } liegt zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen. Wie lautet die kleinere?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 225 Flächeneinheiten. Wie lang ist seine Seite?
  2. Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 144 Flächeneinheiten. Wie lang ist seine Seite?
  3. Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 49 Flächeneinheiten. Wie lang ist seine Seite?

Merkkarte

Quadratwurzel

  • a\sqrt{a}: Seite eines Quadrats mit dem Flächeninhalt aa.
  • x2=ax^2 = a: zwei Lösungen für a>0a > 0.

Achtung: Eine Wurzel ist keine Hälfte.

2. Rationale und irrationale Zahlen; periodische Dezimalzahlen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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13=0,333…\tfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots geht unendlich weiter. Ist die Zahl rational?

  1. Ja
  2. Nein: Sie endet nie

Die Grundidee

Rationale Zahlen sind Brüche; ihre Dezimaldarstellung bricht ab oder ist periodisch.

Eine rationale Zahl lässt sich als ab\tfrac{a}{b} mit ganzen Zahlen aa, b≠0b \neq 0 schreiben; ihre Dezimaldarstellung bricht ab oder ist periodisch. Eine irrationale Zahl nicht: Ihre Dezimaldarstellung endet nie und wird nie periodisch. n\sqrt{n} ist irrational, außer nn ist eine Quadratzahl; auch π\pi ist irrational.

Beispiel

Schreibe 0,27‾0{,}\overline{27} als Bruch.

100x=27,2727…100x = 27{,}2727\ldots
Sei x = 0,2727…
99x=2799x = 27
x abziehen.
x=2799=311x = \tfrac{27}{99} = \tfrac{3}{11}
Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: Schreibe 0,5‾0{,}\overline{5} als Bruch.

59\tfrac{5}{9}
10x − x = 5.

Üben ★

  1. Welche Zahl ist irrational?
    1. 2\sqrt{ 2 }
    2. 4\sqrt{ 4 }
    3. 0,1‾0{,}\overline{ 1 }
  2. Welche Zahl ist irrational?
    1. 10\sqrt{ 10 }
    2. 16\sqrt{ 16 }
    3. 0,3‾0{,}\overline{ 3 }
  1. Schreibe 0,1‾0{,}\overline{ 1 } (die Ziffer 1 wiederholt sich unendlich oft) als Bruch.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Schreibe 0,48‾0{,}\overline{ 48 } (die Ziffern 48 wiederholen sich unendlich oft) als Bruch.
  2. Schreibe 0,70‾0{,}\overline{ 70 } (die Ziffern 70 wiederholen sich unendlich oft) als Bruch.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Schreibe 0,1‾0{,}\overline{ 1 } (die Ziffer 1 wiederholt sich unendlich oft) als Bruch.
  2. Schreibe 0,2‾0{,}\overline{ 2 } (die Ziffer 2 wiederholt sich unendlich oft) als Bruch.
  3. Schreibe 0,8‾0{,}\overline{ 8 } (die Ziffer 8 wiederholt sich unendlich oft) als Bruch.

Merkkarte

Rational und irrational

Abbrechend oder periodisch: rational. Weder noch: irrational.

Achtung: Eine periodische Dezimalzahl ist ein Bruch mit dem Nenner 9, 99, …

3. Heron-Verfahren

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ein Rechteck hat den Flächeninhalt 2 und die Seiten 1 und 2. Es soll ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt werden. Wie lang wählst du die eine Seite als Nächstes?

Nicht maßstabsgetreu
  1. dfrac21,5approx1,33\\dfrac{2}{1{,}5} \\approx 1{,}33. Die Seiten rücken zusammen, das Rechteck wird quadratischer." data-option="1">1,51{,}5, den Mittelwert von 1 und 2
  2. (1+2):2(1 + 2) : 2." data-option="2">33, die Summe von 1 und 2

Die Grundidee

Der Mittelwert von xx und ax\dfrac{a}{x} ist ein besserer Näherungswert für a\sqrt{a}.

Heron-Verfahren: Für a\sqrt{a} wählt man einen Startwert x0>0x_0 > 0 und rechnet xn+1=12(xn+axn)x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{a}{x_n}\right).

a\sqrt{a} liegt immer zwischen xnx_n und axn\dfrac{a}{x_n}. Schon wenige Schritte liefern viele richtige Stellen.

Beispiel

Bestimme eine Näherung für 2\sqrt{2} mit x0=1x_0 = 1.

x1=12(1+2)=1,5x_1 = \dfrac{1}{2}(1 + 2) = 1{,}5
Mittelwert von 1 und 2/1.
x2=12(1,5+43)=1712x_2 = \dfrac{1}{2}\left(1{,}5 + \dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{17}{12}
Mittelwert von 1,5 und 2/1,5.
x2≈1,41667x_2 \approx 1{,}41667
Vergleich mit √2 ≈ 1,41421.

Du bist dran

Jetzt du: Für 10\sqrt{10} ist x0=2x_0 = 2. Berechne x1x_1.

x1=12(2+5)x_1 = \dfrac{1}{2}(2 + 5)
10 : 2 = 5.
3,53{,}5
Mittelwert.

Üben ★

  1. Berechne mit dem Heron-Verfahren für 13\sqrt{ 13 } aus x0=4x_0 = 4 den nächsten Wert x1x_1.
  2. Berechne mit dem Heron-Verfahren für 13\sqrt{ 13 } aus x0=5x_0 = 5 den nächsten Wert x1x_1.
  3. Berechne mit dem Heron-Verfahren für 17\sqrt{ 17 } aus x0=6x_0 = 6 den nächsten Wert x1x_1.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Warum ist der Mittelwert von xx und 6x\dfrac{ 6 }{x} ein guter neuer Näherungswert für 6\sqrt{ 6 }?
    1. 6\sqrt{ 6 } liegt zwischen xx und 6x\dfrac{ 6 }{x}
    2. Weil xx immer zu groß ist
    3. Weil der Mittelwert genau 6\sqrt{ 6 } ist
  1. Abschlussaufgabe. Nähere 26\sqrt{ 26 } mit dem Startwert x0=5x_0 = 5 an.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Berechne mit dem Heron-Verfahren für 13\sqrt{ 13 } aus x0=4x_0 = 4 den nächsten Wert x1x_1.
  2. Berechne mit dem Heron-Verfahren für 13\sqrt{ 13 } aus x0=5x_0 = 5 den nächsten Wert x1x_1.
  3. Berechne mit dem Heron-Verfahren für 17\sqrt{ 17 } aus x0=6x_0 = 6 den nächsten Wert x1x_1.

Merkkarte

Heron-Verfahren

  • xn+1=12(xn+axn)x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{a}{x_n}\right).
  • a\sqrt{a} liegt zwischen xnx_n und axn\dfrac{a}{x_n}.
  • Geometrisch: Das Rechteck wird immer quadratischer.

Achtung: Den Mittelwert bilden, nicht die Summe.

4. Quadratwurzeln

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Gilt 9+16=9+16\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}?

  1. Nein: 5≠75 \neq 7
  2. Ja

Die Grundidee

Mit Produkten vertragen sich Wurzeln gut.

Für a,b≥0a, b \geq 0: a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} und ab=ab\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (b>0b > 0).

a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| für jede reelle Zahl aa.

Beispiel

Vereinfache 50\sqrt{50} durch teilweises Radizieren.

25⋅2\sqrt{25 \cdot 2}
50 = 25 · 2.
525\sqrt{2}
Trennen.

Du bist dran

Jetzt du: Wie groß ist (−3)2\sqrt{(-3)^2}?

33
|−3|.

Üben ★

  1. Schreibe 128\sqrt{ 128 } in der Form a2a\sqrt{ 2 }. Wie groß ist aa?
  2. Schreibe 243\sqrt{ 243 } in der Form a3a\sqrt{ 3 }. Wie groß ist aa?
  3. Schreibe 98\sqrt{ 98 } in der Form a2a\sqrt{ 2 }. Wie groß ist aa?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Berechne (−3)2\sqrt{(-3)^2}.
  2. Berechne (−9)2\sqrt{(-9)^2}.
  1. Berechne 9⋅9\sqrt{ 9 } \cdot \sqrt{ 9 }.
  1. Ist 9+16\sqrt{9 + 16} gleich 9+16\sqrt{9} + \sqrt{16}?
    1. Nein: 25=5\sqrt{25} = 5, aber 3+4=73 + 4 = 7
    2. Ja: Die Wurzel lässt sich verteilen
    3. Ja: Beide sind 7

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Schreibe 128\sqrt{ 128 } in der Form a2a\sqrt{ 2 }. Wie groß ist aa?
  2. Schreibe 243\sqrt{ 243 } in der Form a3a\sqrt{ 3 }. Wie groß ist aa?
  3. Schreibe 98\sqrt{ 98 } in der Form a2a\sqrt{ 2 }. Wie groß ist aa?

Merkkarte

Rechnen mit Wurzeln

  • a⋅b=a⋅b\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}.
  • a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|.

Achtung: Für Summen gibt es keine solche Regel.

5. Nenner rational machen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Wie schreibt man 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} ohne Wurzel im Nenner?

  1. sqrt2\\sqrt{2} erweitern: dfrac1cdotsqrt2sqrt2cdotsqrt2=dfracsqrt22\\dfrac{1 \\cdot \\sqrt{2}}{\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}." data-option="1">22\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. sqrt2\\sqrt{2} multipliziert, ändert den Wert. Der Zähler muss mit." data-option="2">12\dfrac{1}{2}

Die Grundidee

Erweitern ändert den Wert nicht und kann die Wurzel aus dem Nenner entfernen.

Einzelne Wurzel im Nenner: ab=a⋅bb⋅b=abb\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}.

Summe im Nenner: Mit der dritten binomischen Formel erweitern: ab+c=a(b−c)b−c2\dfrac{a}{\sqrt{b} + c} = \dfrac{a(\sqrt{b} - c)}{b - c^2}.

Beispiel

Mache den Nenner von 63\dfrac{6}{\sqrt{3}} rational.

633⋅3\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}
Mit √3 erweitern.
633\dfrac{6\sqrt{3}}{3}
√3 · √3 = 3.
232\sqrt{3}
Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: Es ist 105=c5\dfrac{10}{\sqrt{5}} = c\sqrt{5}. Wie groß ist cc?

1055\dfrac{10\sqrt{5}}{5}
Erweitern: 10√5 / 5.
22
Kürzen.

Üben ★

  1. Es ist 85=c5\dfrac{ 8 }{\sqrt{ 5 }} = c\sqrt{ 5 }. Wie groß ist cc?
  2. Es ist 54=c4\dfrac{ 5 }{\sqrt{ 4 }} = c\sqrt{ 4 }. Wie groß ist cc?
  1. Es ist 186=c6\dfrac{ 18 }{\sqrt{ 6 }} = c\sqrt{ 6 }. Wie groß ist cc?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Womit erweiterst du 17+1\dfrac{1}{\sqrt{ 7 } + 1}, um den Nenner rational zu machen?
    1. Mit 7−1\sqrt{ 7 } - 1
    2. Mit 7\sqrt{ 7 }
    3. Mit 7+1\sqrt{ 7 } + 1
  1. Abschlussaufgabe. Mache den Nenner von 85+1\dfrac{ 8 }{\sqrt{ 5 } + 1} rational.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Es ist 85=c5\dfrac{ 8 }{\sqrt{ 5 }} = c\sqrt{ 5 }. Wie groß ist cc?
  2. Es ist 54=c4\dfrac{ 5 }{\sqrt{ 4 }} = c\sqrt{ 4 }. Wie groß ist cc?
  3. Es ist 27=c7\dfrac{ 2 }{\sqrt{ 7 }} = c\sqrt{ 7 }. Wie groß ist cc?

Merkkarte

Nenner rational machen

  • ab=abb\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}.
  • Bei b+c\sqrt{b} + c mit b−c\sqrt{b} - c erweitern.
  • Der Wert bleibt gleich.

Achtung: Zähler und Nenner gleich erweitern.

Lösungen: Quadratwurzeln und reelle Zahlen

1. Quadrat- und Kubikwurzeln

A

  1. 1515
  2. 1212

B

  1. 77

C

  1. 66
  2. 44

D

  1. 1515
  2. 1212
  3. 77

2. Rationale und irrationale Zahlen; periodische Dezimalzahlen

A

  1. 2\sqrt{ 2 }
  2. 10\sqrt{ 10 }

B

  1. 19\frac{1}{9}

C

  1. 1633\frac{16}{33}
  2. 7099\frac{70}{99}

D

  1. 19\frac{1}{9}
  2. 29\frac{2}{9}
  3. 89\frac{8}{9}

3. Heron-Verfahren

A

  1. 298\frac{29}{8}
  2. 195\frac{19}{5}
  3. 5312\frac{53}{12}

B

  1. 6\sqrt{ 6 } liegt zwischen xx und 6x\dfrac{ 6 }{x}

C

  1. 1100\frac{1}{100}

D

  1. 298\frac{29}{8}
  2. 195\frac{19}{5}
  3. 5312\frac{53}{12}

4. Quadratwurzeln

A

  1. 88
  2. 99
  3. 77

B

  1. 33
  2. 99

C

  1. 99

D

  1. Nein: 25=5\sqrt{25} = 5, aber 3+4=73 + 4 = 7

E

  1. 88
  2. 99
  3. 77

5. Nenner rational machen

A

  1. 85\frac{8}{5}
  2. 54\frac{5}{4}

B

  1. 33

C

  1. Mit 7−1\sqrt{ 7 } - 1

D

  1. −2+25-2 + 2 \sqrt{5}

E

  1. 85\frac{8}{5}
  2. 54\frac{5}{4}
  3. 27\frac{2}{7}