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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.
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Ist der Winkel zwischen den Seiten 3 und 4 ein rechter, ist die dritte Seite 5. Ist der Winkel größer als 90°, dann ist die dritte Seite …
- Länger als 5
- Immer noch 5
√(5² + 8²) ≈ 9,43. Stelle γ auf über 90° ein. Wie lang ist c?
- Länger als 9,43
- Immer noch 9,43
Die Grundidee
Der Kosinussatz korrigiert den Satz des Pythagoras.
Kosinussatz: In jedem Dreieck gilt , wobei der Gegenwinkel von ist. Verwende ihn bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (für die dritte Seite) oder drei Seiten (für einen Winkel: ). Für ist es der Satz des Pythagoras; bei stumpfem ist und wird länger.
Beispiel
a = 5, b = 8, = 60°.
Formel.
,
Ergebnis.
Du bist dran
Jetzt du: a = 3, b = 5, = 120°. Wie groß ist c²?
9 + 25 + 15.
Üben ★
- Im Dreieck ABC sind a = 12, b = 8 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
- Im Dreieck ABC sind a = 3, b = 3 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
- Im Dreieck ABC sind a = 12, b = 5 und γ = 120°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
Vorsicht!
Üben ★★
- Ein Dreieck hat die Seiten a = 5, b = 6 und c = 8. Bestimme cos γ, den Kosinus des Gegenwinkels von c.
- Ein Dreieck hat die Seiten a = 4, b = 8 und c = 6. Bestimme cos γ, den Kosinus des Gegenwinkels von c.
- Abschlussaufgabe. Zwei Wanderer verlassen das Lager auf geraden Wegen, die einen Winkel von 60° bilden. Der eine geht 6 km, die andere 8 km.
Abschlusscheck
Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?
- Im Dreieck ABC sind a = 12, b = 8 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
- Im Dreieck ABC sind a = 3, b = 3 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
- Im Dreieck ABC sind a = 8, b = 7 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
Merkkarte
Kosinussatz
c² = a² + b² − 2ab cos γ.
Achtung: Pythagoras allein gilt nur für einen rechten Winkel.