Trigonometrie

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Zwei verschieden große rechtwinklige Dreiecke haben je einen Winkel von 35°35°. Ist der Quotient Gegenkathete durch Hypotenuse gleich?

  1. Ja
  2. Nein, das größere Dreieck hat einen größeren Quotienten

Die Grundidee

Quotienten, die nur vom Winkel abhängen.

Für einen spitzen Winkel α\alpha im rechtwinkligen Dreieck: sin⁡α=GegenkatheteHypotenuse\sin\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}, cos⁡α=AnkatheteHypotenuse\cos\alpha = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}, tan⁡α=GegenkatheteAnkathete\tan\alpha = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.

Beispiel

Gegenkathete von α\alpha: 8; Ankathete: 15; Hypotenuse: 17.

sin⁡α=817\sin\alpha = \dfrac{8}{17}
Gegenkathete / Hypotenuse.
cos⁡α=1517\cos\alpha = \dfrac{15}{17}
Ankathete / Hypotenuse.
tan⁡α=815\tan\alpha = \dfrac{8}{15}
Gegenkathete / Ankathete.

Du bist dran

Jetzt du: Gegenkathete 7, Ankathete 24, Hypotenuse 25. Wie groß ist cos⁡α\cos\alpha?

2425\dfrac{24}{25}
Ankathete / Hypotenuse.

Üben ★

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 12 und 16 und die Hypotenuse 20. Der Winkel α\alpha liegt der Seite 12 gegenüber. Berechne sin⁡α\sin\alpha.
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 und 8 und die Hypotenuse 10. Der Winkel α\alpha liegt der Seite 6 gegenüber. Berechne sin⁡α\sin\alpha.
  1. Welcher Quotient ist in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem spitzen Winkel 21°21° gleich cos⁡21°\cos 21°?
    1. Ankathete : Hypotenuse
    2. Gegenkathete : Hypotenuse
    3. Gegenkathete : Ankathete

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Dieselbe Art Dreieck: Katheten 15 und 36, Hypotenuse 39. Der Winkel β\beta liegt der Seite 36 gegenüber. Berechne tan⁡β\tan\beta.
  2. Dieselbe Art Dreieck: Katheten 20 und 48, Hypotenuse 52. Der Winkel β\beta liegt der Seite 48 gegenüber. Berechne tan⁡β\tan\beta.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 12 und 16 und die Hypotenuse 20. Der Winkel α\alpha liegt der Seite 12 gegenüber. Berechne sin⁡α\sin\alpha.
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 und 8 und die Hypotenuse 10. Der Winkel α\alpha liegt der Seite 6 gegenüber. Berechne sin⁡α\sin\alpha.
  3. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 27 und 36 und die Hypotenuse 45. Der Winkel α\alpha liegt der Seite 27 gegenüber. Berechne sin⁡α\sin\alpha.

Merkkarte

Trigonometrie

  • Sinus, Kosinus, Tangens für einen spitzen Winkel.
  • Gegenkathete und Ankathete hängen vom gewählten Winkel ab.

Achtung: Zuerst die Hypotenuse finden.

2. Seiten mit Trigonometrie berechnen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Eine 30 m lange Drachenschnur bildet mit dem Boden einen Winkel von 40°40°. Welcher Quotient liefert die Höhe des Drachens?

  1. sin⁡40°=Ho¨he30\sin 40° = \dfrac{\text{Höhe}}{30}
  2. cos⁡40°=Ho¨he30\cos 40° = \dfrac{\text{Höhe}}{30}

Die Grundidee

Wähle den Quotienten, der das Bekannte mit dem Gesuchten verbindet.

Bezeichne die Seiten vom gegebenen Winkel aus, wähle Sinus, Kosinus oder Tangens, stelle die Gleichung auf und löse sie: Steht die Unbekannte im Zähler, multipliziert man; steht sie im Nenner, teilt man. Taschenrechner auf Grad (DEG) stellen.

Beispiel

Drachen: Höhe =30⋅sin⁡40°= 30 \cdot \sin 40°.

30⋅0,64330 \cdot 0{,}643
sin 40° ≈ 0,643.
Höhe ≈19,28\approx 19{,}28 m
Runden.

Du bist dran

Jetzt du: Hypotenuse 10, Winkel 30°30°. Berechne die Gegenkathete.

55
10 · sin 30° = 10 · 1/2.

Üben ★

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 14 und einen spitzen Winkel von 43°43°. Berechne die Gegenkathete dieses Winkels (auf zwei Nachkommastellen).
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 19 und einen spitzen Winkel von 22°22°. Berechne die Gegenkathete dieses Winkels (auf zwei Nachkommastellen).
  1. Eine Rampe steigt mit 55°55° über eine waagrechte Strecke von 15 m. Wie hoch steigt sie? (auf zwei Nachkommastellen)

Vorsicht!

Üben ★★

  1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete eines Winkels von 40°40° 4 lang. Berechne die Hypotenuse (auf zwei Nachkommastellen).
  2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete eines Winkels von 40°40° 9 lang. Berechne die Hypotenuse (auf zwei Nachkommastellen).
  1. Abschlussaufgabe. Eine 8 m lange Leiter lehnt an einer Wand und bildet mit dem Boden einen Winkel von 55°55°. Antworte auf zwei Nachkommastellen.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 14 und einen spitzen Winkel von 43°43°. Berechne die Gegenkathete dieses Winkels (auf zwei Nachkommastellen).
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 19 und einen spitzen Winkel von 22°22°. Berechne die Gegenkathete dieses Winkels (auf zwei Nachkommastellen).
  3. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 18 und einen spitzen Winkel von 58°58°. Berechne die Gegenkathete dieses Winkels (auf zwei Nachkommastellen).

Merkkarte

Eine Länge berechnen

  • Bezeichnen → Quotient wählen → lösen.
  • Je nach Platz der Unbekannten multiplizieren oder teilen.

Achtung: Die Hypotenuse ist die längste Seite: Prüfe dein Ergebnis.

3. Winkel mit Umkehrfunktionen berechnen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In einem rechtwinkligen Dreieck ist tan⁡α=1\tan\alpha = 1. Wie groß ist α\alpha?

  1. 45°45°
  2. 1°1°

Die Grundidee

Der Taschenrechner bestimmt den Winkel aus dem Quotienten.

Ist sin⁡α=r\sin\alpha = r, erhält man α\alpha mit der Taste sin⁻¹; ebenso cos⁻¹ und tan⁻¹. Diese Tasten liefern einen Winkel, keinen Kehrwert. Taschenrechner auf Grad (DEG) stellen.

Beispiel

Katheten 5 (Gegenkathete) und 8 (Ankathete).

tan⁡α=58=0,625\tan\alpha = \dfrac{5}{8} = 0{,}625
Gegenkathete / Ankathete.
α≈32,0°\alpha \approx 32{,}0°
Taste tan⁻¹.

Du bist dran

Jetzt du: sin⁡α=12\sin\alpha = \dfrac{1}{2}. Bestimme α\alpha in Grad.

30°30°
Besonderer Winkel.

Üben ★

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 10 und die Ankathete 12 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 8 und die Ankathete 9 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  1. Was bedeutet sin⁡−1(0,7)\sin^{-1}(0{,}7) auf dem Taschenrechner?
    1. Den Winkel, dessen Sinus 0,70{,}7 ist
    2. 1sin⁡0,7\dfrac{1}{\sin 0{,}7}
    3. −sin⁡(0,7)-\sin(0{,}7)

Vorsicht!

Üben ★★

  1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete von α\alpha 5 lang und die Hypotenuse 15. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  2. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete von α\alpha 6 lang und die Hypotenuse 10. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 10 und die Ankathete 12 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  2. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 8 und die Ankathete 9 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).
  3. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 12 und die Ankathete 9 zum Winkel α\alpha. Berechne α\alpha in Grad (auf eine Nachkommastelle).

Merkkarte

Einen Winkel berechnen

  • sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ des Quotienten.
  • Taschenrechner auf Grad.

Achtung: Das ist kein Kehrwert.

4. Sinus und Kosinus von Komplementwinkeln

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Im rechtwinkligen Dreieck mit den spitzen Winkeln α\alpha und β\beta ist die Gegenkathete von α\alpha die Ankathete von β\beta. Also ist sin⁡α\sin\alpha gleich …

  1. cos⁡β\cos\beta
  2. sin⁡β\sin\beta

Die Grundidee

Sinus und Kosinus von Winkeln, die sich zu 90° ergänzen.

Die spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ergeben zusammen 90∘90^\circ, und es gilt sin⁡α=cos⁡(90∘−α)\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha), cos⁡α=sin⁡(90∘−α)\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha).

Beispiel

sin⁡25∘=cos⁡  ?\sin 25^\circ = \cos\;?

90−25=6590 - 25 = 65
Ergänzung zu 90°.
sin⁡25∘=cos⁡65∘\sin 25^\circ = \cos 65^\circ
Sinus und Kosinus tauschen.

Du bist dran

Jetzt du: cos⁡72∘=sin⁡y∘\cos 72^\circ = \sin y^\circ mit spitzem Winkel yy.

y=18y = 18
90 − 72.

Üben ★

  1. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡21∘=cos⁡y∘\sin 21^\circ = \cos y^\circ (in Grad).
  2. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡69∘=cos⁡y∘\sin 69^\circ = \cos y^\circ (in Grad).
  1. In einem rechtwinkligen Dreieck ist sin⁡α=310\sin\alpha = \dfrac{ 3 }{ 10 }. Bestimme cos⁡β\cos\beta, wobei β\beta der andere spitze Winkel ist.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Warum gilt sin⁡65∘=cos⁡25∘\sin 65^\circ = \cos 25^\circ?
    1. Im selben rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete des Winkels 65∘65^\circ die Ankathete des anderen spitzen Winkels
    2. Weil Sinus und Kosinus zusammen immer 1 ergeben
    3. Weil Sinus und Kosinus dieselbe Funktion sind

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡21∘=cos⁡y∘\sin 21^\circ = \cos y^\circ (in Grad).
  2. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡69∘=cos⁡y∘\sin 69^\circ = \cos y^\circ (in Grad).
  3. Bestimme den Winkel yy zwischen 0∘0^\circ und 90∘90^\circ mit sin⁡80∘=cos⁡y∘\sin 80^\circ = \cos y^\circ (in Grad).

Merkkarte

Ergänzung zu 90°

sin⁡α=cos⁡(90∘−α)\sin\alpha = \cos(90^\circ - \alpha).

Achtung: Gleiche Werte brauchen Winkel, die sich zu 90° ergänzen, nicht denselben Winkel.

5. Der trigonometrische Pythagoras und Vereinfachen

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Der Punkt (cos⁡x∣sin⁡x)(\cos x|\sin x) liegt auf dem Einheitskreis mit der Gleichung X2+Y2=1X^2 + Y^2 = 1. Was folgt daraus?

  1. (cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1
  2. cos⁡x+sin⁡x=1\cos x + \sin x = 1

Die Grundidee

Eine Identität ist eine Gleichung, die für jeden Wert der Variablen gilt.

(sin⁡x)2+(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1, also (cos⁡x)2=1−(sin⁡x)2(\cos x)^2 = 1 - (\sin x)^2 und (sin⁡x)2=1−(cos⁡x)2(\sin x)^2 = 1 - (\cos x)^2. Außerdem tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. Damit berechnet man aus einem Wert den anderen (der Quadrant liefert das Vorzeichen) und vereinfacht Terme.

Beispiel

cos⁡α=−35\cos\alpha = -\dfrac{3}{5}, und α\alpha liegt im III. Quadranten. Bestimme sin⁡α\sin\alpha.

(sin⁡α)2=1−925=1625(\sin\alpha)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}
Die Pythagoras-Identität.
sin⁡α=±45\sin\alpha = \pm\dfrac{4}{5}
Zwei Wurzeln sind möglich.
sin⁡α=−45\sin\alpha = -\dfrac{4}{5}
Der Sinus ist im III. Quadranten negativ.

Du bist dran

Jetzt du: sin⁡α=513\sin\alpha = \dfrac{5}{13}, und α\alpha liegt im I. Quadranten.

(cos⁡α)2=144169(\cos\alpha)^2 = \dfrac{144}{169}
1 − 25/169.
cos⁡α=1213\cos\alpha = \dfrac{12}{13}
Positiv im I. Quadranten.

Üben ★

  1. sin⁡α=15\sin\alpha = \frac{1}{5}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  2. sin⁡α=38\sin\alpha = \frac{3}{8}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  3. sin⁡α=16\sin\alpha = \frac{1}{6}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  4. sin⁡α=13\sin\alpha = \frac{1}{3}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welcher Term ist gleich 1−(cos⁡x)2sin⁡x\dfrac{1 - (\cos x)^2}{\sin x} (mit sin⁡x≠0\sin x \neq 0)?
    1. sin⁡x\sin x
    2. cos⁡x\cos x
    3. 1−cos⁡x1 - \cos x
  1. Welche Gleichung gilt für jedes xx?
    1. (sin⁡x)2+(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1
    2. sin⁡x+cos⁡x=1\sin x + \cos x = 1
    3. (sin⁡x)2−(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 - (\cos x)^2 = 1
    4. tan⁡x=cos⁡xsin⁡x\tan x = \dfrac{\cos x}{\sin x}

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. sin⁡α=15\sin\alpha = \frac{1}{5}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  2. sin⁡α=38\sin\alpha = \frac{3}{8}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.
  3. sin⁡α=16\sin\alpha = \frac{1}{6}, und α\alpha liegt im II. Quadranten. Bestimme den exakten Wert von cos⁡α\cos\alpha.

Merkkarte

Die Pythagoras-Identität

  • (sin⁡x)2+(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1 für jedes xx.
  • Aus einem Wert: quadrieren, von 1 abziehen, Wurzel ziehen, Vorzeichen nach dem Quadranten wählen.

Achtung: Die Identität braucht die Quadrate.

6. Sinus und Kosinus von 0° bis 360°

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Am Einheitskreis gehört zum Winkel α\alpha der Punkt (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha). Der Punkt zu 150°150° ist das Spiegelbild des Punkts zu 30°30° an der y-Achse. Wie groß ist sin⁡150°\sin 150°?

  1. sin⁡30°=0,5\sin 30° = 0{,}5
  2. −0,5-0{,}5

Die Grundidee

Am Einheitskreis gelten Sinus und Kosinus für Winkel bis 360°.

Für 0°≤α≤360°0° \leq \alpha \leq 360° ist cos⁡α\cos\alpha die x-Koordinate und sin⁡α\sin\alpha die y-Koordinate des Punkts zum Winkel α\alpha.

sin⁡(180°−α)=sin⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha und cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha; sin⁡(180°+α)=−sin⁡α\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha und cos⁡(180°+α)=−cos⁡α\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha. Im II. Quadranten ist nur der Sinus positiv, im III. keiner von beiden, im IV. nur der Kosinus.

Beispiel

Es ist cos⁡40°≈0,77\cos 40° \approx 0{,}77. Bestimme cos⁡140°\cos 140° und cos⁡220°\cos 220°.

cos⁡140°=−cos⁡40°≈−0,77\cos 140° = -\cos 40° \approx -0{,}77
140° = 180° − 40°.
cos⁡220°=−cos⁡40°≈−0,77\cos 220° = -\cos 40° \approx -0{,}77
220° = 180° + 40°.
Beide Werte sind negativ.
Beide Punkte liegen links der y-Achse.

Du bist dran

Jetzt du: Es ist sin⁡25°≈0,42\sin 25° \approx 0{,}42. Wie groß ist ungefähr sin⁡155°\sin 155°?

sin⁡155°=sin⁡25°\sin 155° = \sin 25°
155° = 180° − 25°.
0,420{,}42
Wert.

Üben ★

  1. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡42°\sin\beta = \sin 42°? Gib β\beta in Grad an.
  2. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡47°\sin\beta = \sin 47°? Gib β\beta in Grad an.
  1. Es sei cos⁡44°=0,6\cos 44° = 0{,}6 (gerundeter Beispielwert). Wie groß wäre dann cos⁡136°\cos 136°?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Welche Vorzeichen haben sin⁡124°\sin 124° und cos⁡124°\cos 124°?
    1. sin⁡124°>0\sin 124° > 0 und cos⁡124°<0\cos 124° < 0
    2. Beide positiv
    3. sin⁡124°<0\sin 124° < 0 und cos⁡124°>0\cos 124° > 0
  1. Abschlussaufgabe. Für einen spitzen Winkel α\alpha gilt sin⁡α=0,6\sin\alpha = 0{,}6 und cos⁡α=0,8\cos\alpha = 0{,}8.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡42°\sin\beta = \sin 42°? Gib β\beta in Grad an.
  2. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡47°\sin\beta = \sin 47°? Gib β\beta in Grad an.
  3. Für welchen Winkel β\beta zwischen 90°90° und 180°180° gilt sin⁡β=sin⁡64°\sin\beta = \sin 64°? Gib β\beta in Grad an.

Merkkarte

Sinus und Kosinus bis 360°

  • Punkt (cos⁡α∣sin⁡α)(\cos\alpha|\sin\alpha).
  • sin⁡(180°−α)=sin⁡α\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha.
  • cos⁡(180°−α)=−cos⁡α\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha.

Achtung: 180° − α ist nicht 90° − α.

7. Der Sinussatz

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Welcher Seite liegt in einem Dreieck der größte Winkel gegenüber?

  1. Der längsten Seite
  2. Der kürzesten Seite

Die Grundidee

Die Seiten verhalten sich wie die Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.

Sinussatz: In jedem Dreieck gilt asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ\dfrac{a}{\sin\alpha} = \dfrac{b}{\sin\beta} = \dfrac{c}{\sin\gamma}. Verwende ihn, wenn du eine Seite und ihren Gegenwinkel und ein weiteres Stück kennst: zwei Winkel und eine Seite oder zwei Seiten und einen Winkel, der nicht dazwischen liegt (prüfe, ob es ein zweites Dreieck gibt).

Beispiel

α\alpha = 30°, β\beta = 45°, a = 6.

bsin⁡45°=6sin⁡30°\dfrac{b}{\sin 45°} = \dfrac{6}{\sin 30°}
Ansatz.
b=6⋅2/21/2=62b = 6 \cdot \dfrac{\sqrt2/2}{1/2} = 6\sqrt2
Auflösen.

Du bist dran

Jetzt du: α\alpha = 30°, a = 5. Wie groß ist a : sin α\alpha?

1010
5 : ½.

Üben ★

  1. Du kennst einige Stücke eines Dreiecks ohne rechten Winkel. Wann ist der Sinussatz das richtige Werkzeug?
    1. Wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst, zum Beispiel α = 40°, β = 65° und a = 7
    2. Wenn du die drei Seiten kennst
    3. Wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst
  2. Du kennst einige Stücke eines Dreiecks ohne rechten Winkel. Wann ist der Sinussatz das richtige Werkzeug?
    1. Wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst, zum Beispiel α = 40°, β = 65° und a = 3
    2. Wenn du die drei Seiten kennst
    3. Wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst
  1. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 2 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Im Dreieck ABC sind α = 30°, a = 7 und b = 11. Bestimme mit dem Sinussatz sin β.
  2. Im Dreieck ABC sind α = 30°, a = 11 und b = 10. Bestimme mit dem Sinussatz sin β.
  1. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 2 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 2 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.
  2. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 6 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.
  3. Im Dreieck ABC sind α = 30°, β = 45° und die Seite a = 4 (gegenüber von A). Bestimme mit dem Sinussatz die Seite b (gegenüber von B) exakt.

Merkkarte

Sinussatz

a / sin α = b / sin β = c / sin γ.

Achtung: Jede Seite mit ihrem Gegenwinkel paaren.

8. Der Kosinussatz

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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Ist der Winkel zwischen den Seiten 3 und 4 ein rechter, ist die dritte Seite 5. Ist der Winkel größer als 90°, dann ist die dritte Seite …

  1. Länger als 5
  2. Immer noch 5

√(5² + 8²) ≈ 9,43. Stelle γ auf über 90° ein. Wie lang ist c?

  1. Länger als 9,43
  2. Immer noch 9,43

Die Grundidee

Der Kosinussatz korrigiert den Satz des Pythagoras.

Kosinussatz: In jedem Dreieck gilt c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma, wobei γ\gamma der Gegenwinkel von cc ist. Verwende ihn bei zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (für die dritte Seite) oder drei Seiten (für einen Winkel: cos⁡γ=a2+b2−c22ab\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}). Für γ=90°\gamma = 90° ist es der Satz des Pythagoras; bei stumpfem γ\gamma ist cos⁡γ<0\cos\gamma < 0 und cc wird länger.

Beispiel

a = 5, b = 8, γ\gamma = 60°.

c2=25+64−2⋅5⋅8⋅12c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \tfrac12
Formel.
c2=49c^2 = 49, c=7c = 7
Ergebnis.

Du bist dran

Jetzt du: a = 3, b = 5, γ\gamma = 120°. Wie groß ist c²?

4949
9 + 25 + 15.

Üben ★

  1. Im Dreieck ABC sind a = 12, b = 8 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
  2. Im Dreieck ABC sind a = 3, b = 3 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
  1. Im Dreieck ABC sind a = 12, b = 5 und γ = 120°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Ein Dreieck hat die Seiten a = 5, b = 6 und c = 8. Bestimme cos γ, den Kosinus des Gegenwinkels von c.
  2. Ein Dreieck hat die Seiten a = 4, b = 8 und c = 6. Bestimme cos γ, den Kosinus des Gegenwinkels von c.
  1. Abschlussaufgabe. Zwei Wanderer verlassen das Lager auf geraden Wegen, die einen Winkel von 60° bilden. Der eine geht 6 km, die andere 8 km.

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. Im Dreieck ABC sind a = 12, b = 8 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
  2. Im Dreieck ABC sind a = 3, b = 3 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².
  3. Im Dreieck ABC sind a = 8, b = 7 und der Winkel dazwischen γ = 60°. Bestimme mit dem Kosinussatz c².

Merkkarte

Kosinussatz

c² = a² + b² − 2ab cos γ.

Achtung: Pythagoras allein gilt nur für einen rechten Winkel.

Lösungen: Trigonometrie

1. Trigonometrische Verhältnisse im rechtwinkligen Dreieck

A

  1. 35\frac{3}{5}
  2. 35\frac{3}{5}

B

  1. Ankathete : Hypotenuse

C

  1. 125\frac{12}{5}
  2. 125\frac{12}{5}

D

  1. 35\frac{3}{5}
  2. 35\frac{3}{5}
  3. 35\frac{3}{5}

2. Seiten mit Trigonometrie berechnen

A

  1. 14sin⁡(43π180)14 \sin{\left(\frac{43 \pi}{180} \right)}
  2. 19sin⁡(11π90)19 \sin{\left(\frac{11 \pi}{90} \right)}

B

  1. 15tan⁡(11π36)15 \tan{\left(\frac{11 \pi}{36} \right)}

C

  1. 4sin⁡(2π9)\frac{4}{\sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}
  2. 9sin⁡(2π9)\frac{9}{\sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}

D

  1. 3535

E

  1. 14sin⁡(43π180)14 \sin{\left(\frac{43 \pi}{180} \right)}
  2. 19sin⁡(11π90)19 \sin{\left(\frac{11 \pi}{90} \right)}
  3. 18sin⁡(29π90)18 \sin{\left(\frac{29 \pi}{90} \right)}

3. Winkel mit Umkehrfunktionen berechnen

A

  1. 180tan⁡−1(56)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{5}{6} \right)}}{\pi}
  2. 180tan⁡−1(89)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{8}{9} \right)}}{\pi}

B

  1. Den Winkel, dessen Sinus 0,70{,}7 ist

C

  1. 180sin⁡−1(13)π\frac{180 \sin^{-1}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{\pi}
  2. 180sin⁡−1(35)π\frac{180 \sin^{-1}{\left(\frac{3}{5} \right)}}{\pi}

D

  1. 180tan⁡−1(56)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{5}{6} \right)}}{\pi}
  2. 180tan⁡−1(89)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{8}{9} \right)}}{\pi}
  3. 180tan⁡−1(43)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{\pi}

4. Sinus und Kosinus von Komplementwinkeln

A

  1. 6969
  2. 2121

B

  1. 310\frac{3}{10}

C

  1. Im selben rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete des Winkels 65∘65^\circ die Ankathete des anderen spitzen Winkels

D

  1. 6969
  2. 2121
  3. 1010

5. Der trigonometrische Pythagoras und Vereinfachen

A

  1. −265- \frac{2 \sqrt{6}}{5}
  2. −558- \frac{\sqrt{55}}{8}
  3. −356- \frac{\sqrt{35}}{6}
  4. −223- \frac{2 \sqrt{2}}{3}

B

  1. sin⁡x\sin x

C

  1. (sin⁡x)2+(cos⁡x)2=1(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1

D

  1. −265- \frac{2 \sqrt{6}}{5}
  2. −558- \frac{\sqrt{55}}{8}
  3. −356- \frac{\sqrt{35}}{6}

6. Sinus und Kosinus von 0° bis 360°

A

  1. 138138
  2. 133133

B

  1. −35- \frac{3}{5}

C

  1. sin⁡124°>0\sin 124° > 0 und cos⁡124°<0\cos 124° < 0

D

  1. −35- \frac{3}{5}

E

  1. 138138
  2. 133133
  3. 116116

7. Der Sinussatz

A

  1. Wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst, zum Beispiel α = 40°, β = 65° und a = 7
  2. Wenn du zwei Winkel und eine Seite kennst, zum Beispiel α = 40°, β = 65° und a = 3

B

  1. 222 \sqrt{2}

C

  1. 1114\frac{11}{14}
  2. 511\frac{5}{11}

D

  1. 222 \sqrt{2}

E

  1. 222 \sqrt{2}
  2. 626 \sqrt{2}
  3. 424 \sqrt{2}

8. Der Kosinussatz

A

  1. 112112
  2. 99

B

  1. 229229

C

  1. −120- \frac{1}{20}
  2. 1116\frac{11}{16}

D

  1. 12312 \sqrt{3}

E

  1. 112112
  2. 99
  3. 5757