Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse

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Alle Lektionen des Kapitels, bereit für Papier. Die Aufgabenserien heißen A, B, C… und die Lösungen stehen am Ende.

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1. Vierfeldertafeln: gemeinsame, Rand- und bedingte Anteile

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

In einer Klasse treiben 12 von 20 Mädchen und 9 von 15 Jungen Sport. Wer treibt eher Sport, ein Mädchen oder ein Junge?

  1. Gleich wahrscheinlich: je 60 %
  2. Ein Mädchen: 12 ist mehr als 9

Die Grundidee

Eine Vierfeldertafel zählt Fälle nach zwei Merkmalen.

Anteil an allen: Feld : Gesamtzahl. Randanteil: Zeilen- oder Spaltensumme : Gesamtzahl. Bedingter Anteil: Feld : Summe seiner Zeile (oder Spalte), also der Anteil innerhalb einer Gruppe.

Beispiel

Haustiere: 30 Katzenhalter (18 Erwachsene, 12 Kinder), 50 Hundehalter (35 Erwachsene, 15 Kinder).

Anteil an allen: Erwachsene mit Katze =1880= \tfrac{18}{80}
Feld : 80.
Randanteil: Erwachsene =5380= \tfrac{53}{80}
Spaltensumme : 80.
Bedingt: Erwachsene unter den Katzenhaltern =1830=0,6= \tfrac{18}{30} = 0{,}6
Innerhalb der Katzenhalter.

Du bist dran

Jetzt du: Kinder unter den Hundehaltern.

0,30{,}3
15 von 50.

Üben ★

  1. 145 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 22 ja, 43 nein. Ab 30: 27 ja, 53 nein. Welcher Anteil der unter 30-Jährigen treibt jede Woche Sport?
  2. 121 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 59 ja, 12 nein. Ab 30: 23 ja, 27 nein. Welcher Anteil der unter 30-Jährigen treibt jede Woche Sport?
  3. 150 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 41 ja, 40 nein. Ab 30: 19 ja, 50 nein. Welcher Anteil der unter 30-Jährigen treibt jede Woche Sport?

Vorsicht!

Üben ★★

  1. 124 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 21 ja, 50 nein. Ab 30: 31 ja, 22 nein. Welcher Anteil aller Personen treibt jede Woche Sport?
  1. 140 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 47 ja, 17 nein. Ab 30: 37 ja, 39 nein. Welcher Anteil aller Personen ist unter 30 und treibt jede Woche Sport?
  2. 135 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 44 ja, 25 nein. Ab 30: 10 ja, 56 nein. Welcher Anteil aller Personen ist unter 30 und treibt jede Woche Sport?

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. 145 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 22 ja, 43 nein. Ab 30: 27 ja, 53 nein. Welcher Anteil der unter 30-Jährigen treibt jede Woche Sport?
  2. 121 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 59 ja, 12 nein. Ab 30: 23 ja, 27 nein. Welcher Anteil der unter 30-Jährigen treibt jede Woche Sport?
  3. 150 Personen wurden gefragt, ob sie jede Woche Sport treiben. Unter 30: 41 ja, 40 nein. Ab 30: 19 ja, 50 nein. Welcher Anteil der unter 30-Jährigen treibt jede Woche Sport?

Merkkarte

Vierfeldertafeln

  • Anteil an allen: Feld / Gesamtzahl. Randanteil: Randsumme / Gesamtzahl.
  • Bedingt: Feld / Summe seiner Gruppe.

Achtung: Die Gruppe benennen, auf die sich der Anteil bezieht.

2. Vereinigung, Schnitt und Gegenereignis

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

Entdecken

Man zieht eine Karte: AA „Herz“, BB „König“. Was bedeutet A∩BA \cap B?

  1. „Der Herzkönig“
  2. „Ein Herz oder ein König“

Die Grundidee

Zwei Ereignisse können sich überschneiden.

Nicht maßstabsgetreu

Additionssatz: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Sind AA und BB unvereinbar, ist P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0.

Beispiel

Kartenspiel mit 32 Karten: Herz oder König.

832+432−132\dfrac{8}{32} + \dfrac{4}{32} - \dfrac{1}{32}
Wahrscheinlichkeiten.
1132\dfrac{11}{32}
Ausrechnen.

Du bist dran

Jetzt du: P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3, P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).

0,70{,}7
0,5 + 0,3 − 0,1.

Üben ★

  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=410P(B) = \dfrac{ 4 }{10} und P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).
  2. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} und P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).
  3. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} und P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. AA und BB sind unvereinbar, P(A)=210P(A) = \dfrac{ 2 }{10} und P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).
  2. AA und BB sind unvereinbar, P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10} und P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).
  1. Abschlussaufgabe. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10}, P(B)=210P(B) = \dfrac{ 2 }{10} und P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}.
  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} und P(A∪B)=710P(A \cup B) = \dfrac{ 7 }{10}. Berechne P(A∩B)P(A \cap B).
  1. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}. Berechne P(Aˉ)P(\bar{A}).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=410P(B) = \dfrac{ 4 }{10} und P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).
  2. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} und P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).
  3. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} und P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Berechne P(A∪B)P(A \cup B).

Merkkarte

Vereinigung

  • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
  • Unvereinbar: leere Schnittmenge.

Achtung: Das Abziehen nicht vergessen.

3. Additionssatz und unvereinbare Ereignisse

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Drei schnelle Fragen zu früheren Lektionen.

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In einem Spiel mit 52 Karten sind 13 Herz und 4 Könige. Wie viele Karten sind Herz oder König?

  1. 16
  2. 17

Die Grundidee

Addieren, dann die Überschneidung abziehen.

Additionssatz: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Sind AA und BB unvereinbar (können nicht beide eintreten), ist P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0 und P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A \cup B) = P(A) + P(B).

Beispiel

P(Herz oder König).

1352+452−152\tfrac{13}{52} + \tfrac{4}{52} - \tfrac{1}{52}
Jeder Teil.
=1652=413= \tfrac{16}{52} = \tfrac{4}{13}
Kürzen.

Du bist dran

Jetzt du: P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A ∩ B) = 0,2. Bestimme P(A ∪ B).

0,70{,}7
0,5 + 0,4 − 0,2.

Üben ★

  1. In einer Klasse mit 35 Kindern sind 12 Mädchen, 12 spielen Fußball, und 2 Mädchen spielen Fußball. Ein Kind wird zufällig ausgewählt. Bestimme P(Mädchen oder Fußball).
  2. In einer Klasse mit 34 Kindern sind 16 Mädchen, 10 spielen Fußball, und 4 Mädchen spielen Fußball. Ein Kind wird zufällig ausgewählt. Bestimme P(Mädchen oder Fußball).
  3. In einer Klasse mit 35 Kindern sind 19 Mädchen, 8 spielen Fußball, und 4 Mädchen spielen Fußball. Ein Kind wird zufällig ausgewählt. Bestimme P(Mädchen oder Fußball).

Vorsicht!

Üben ★★

  1. Die Ereignisse A und B sind unvereinbar, mit P(A) = 0,31 und P(B) = 0,24. Bestimme P(A ∩ B).
  1. Ein Glücksrad bleibt mit der Wahrscheinlichkeit 0,21 auf Rot und mit 0,32 auf Blau stehen. Bestimme P(Rot oder Blau).

Abschlusscheck

Drei Fragen zum Abschluss: Sitzt es?

  1. In einer Klasse mit 35 Kindern sind 12 Mädchen, 12 spielen Fußball, und 2 Mädchen spielen Fußball. Ein Kind wird zufällig ausgewählt. Bestimme P(Mädchen oder Fußball).
  2. In einer Klasse mit 34 Kindern sind 16 Mädchen, 10 spielen Fußball, und 4 Mädchen spielen Fußball. Ein Kind wird zufällig ausgewählt. Bestimme P(Mädchen oder Fußball).
  3. In einer Klasse mit 35 Kindern sind 19 Mädchen, 8 spielen Fußball, und 4 Mädchen spielen Fußball. Ein Kind wird zufällig ausgewählt. Bestimme P(Mädchen oder Fußball).

Merkkarte

Additionssatz

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B); bei unvereinbaren Ereignissen ist der letzte Summand 0.

Achtung: Unvereinbar ist nicht dasselbe wie unabhängig.

Lösungen: Wahrscheinlichkeit verknüpfter Ereignisse

1. Vierfeldertafeln: gemeinsame, Rand- und bedingte Anteile

A

  1. 2265\frac{22}{65}
  2. 5971\frac{59}{71}
  3. 4181\frac{41}{81}

B

  1. 1331\frac{13}{31}

C

  1. 47140\frac{47}{140}
  2. 44135\frac{44}{135}

D

  1. 2265\frac{22}{65}
  2. 5971\frac{59}{71}
  3. 4181\frac{41}{81}

2. Vereinigung, Schnitt und Gegenereignis

A

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 12\frac{1}{2}

B

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 35\frac{3}{5}

C

  1. 35\frac{3}{5}

D

  1. 110\frac{1}{10}

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 12\frac{1}{2}

3. Additionssatz und unvereinbare Ereignisse

A

  1. 2235\frac{22}{35}
  2. 1117\frac{11}{17}
  3. 2335\frac{23}{35}

B

  1. 00

C

  1. 53100\frac{53}{100}

D

  1. 2235\frac{22}{35}
  2. 1117\frac{11}{17}
  3. 2335\frac{23}{35}