Meine Lernkarten

Exponentielle Änderung: bei jedem Schritt derselbe Faktor

• Anfangswert $a$, Faktor $b$ pro Schritt: nach $n$ Schritten $a \cdot b^n$.
• Zuwachs $p\,\%$: Faktor $1 + \frac{p}{100}$. Abnahme $p\,\%$: Faktor $1 - \frac{p}{100}$.

Achtung: Bei jedem Schritt denselben Betrag addieren ist linear, nicht exponentiell.

Linear oder exponentiell?

Gleiche Differenzen: linear. Gleiche Faktoren: exponentiell.

Achtung: Exponentielles Wachstum gewinnt am Ende.

Asymptoten nach Verschiebungen

• $y = a \cdot b^{x} + k$: waagrechte Asymptote $y = k$.
• $y = \log_b(x - h) + k$: senkrechte Asymptote $x = h$, Definitionsmenge $x > h$.

Logarithmen sind Exponenten

• $\log_b x = y$ bedeutet $b^y = x$.
• $\log x$ bedeutet $\log_{10} x$.
• Die Lösung von $b^x = c$ ist $x = \log_b c$.

Achtung: $\log_b x$ ist nie $x : b$.

Rechenregeln für Logarithmen ($M, N > 0$)

• Produkt: $\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N$.
• Quotient: $\log_b \frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N$.
• Potenz: $\log_b(M^p) = p \cdot \log_b M$.

Achtung: Für $\log_b(M + N)$ gibt es keine Regel.

$a \cdot b^x = c$ lösen

1. Potenz freistellen: $b^x = \dfrac{c}{a}$.
2. Logarithmieren: $x \ln b = \ln \dfrac{c}{a}$.
3. Teilen: $x = \dfrac{\ln(c/a)}{\ln b}$.

Achtung: $a$ nie in die Basis hineinmultiplizieren.

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

• Halbwertszeit $h$: $A_0 \cdot \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{t}{h}}$. Verdopplungszeit $d$: $P_0 \cdot 2^{\frac{t}{d}}$.
• $\frac{t}{h}$ = Anzahl der Halbwertszeiten.

Achtung: $n$ Halbwertszeiten teilen durch $2^n$, nicht durch $2n$.

Baumdiagramme

• Entlang eines Pfads multiplizieren.
• Die Pfade zum selben Ereignis addieren.

Achtung: Keinen Pfad doppelt zählen, keinen vergessen.

Auf lange Sicht

• Wahrscheinlichkeit = relative Häufigkeit auf lange Sicht.
• Mit Zufallszahlen simulieren.

Achtung: kein Gedächtnis, keine „fälligen“ Ergebnisse.

Monte-Carlo-Methode

• Zufallspunkte in einer Vergleichsfläche $A$.
• Fläche $\approx \dfrac{k}{n} \cdot A$.
• Mehr Punkte: im Allgemeinen genauer.

Achtung: Das Ergebnis ist eine Schätzung.

Bogenmaß

• $180°$ entspricht $\pi$.
• $x$ und $x + 2\pi$: derselbe Punkt.

Achtung: Den Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) stellen.

Bogenmaß

• $180^\circ$ entspricht $\pi$.
• Grad → Bogenmaß: $\cdot \dfrac{\pi}{180}$. Bogenmaß → Grad: $\cdot \dfrac{180}{\pi}$.
• Bogenlänge: $b = r \cdot x$, $x$ im Bogenmaß.

Achtung: Nie Grad in $b = r \cdot x$ einsetzen.

Der Einheitskreis

• Der Punkt zum Winkel $\alpha$ ist $(\cos\alpha|\sin\alpha)$.
• $\dfrac{\pi}{6}$: $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\middle|\dfrac{1}{2}\right)$; $\dfrac{\pi}{4}$: $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$; $\dfrac{\pi}{3}$: $\left(\dfrac{1}{2}\middle|\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Achtung: Kosinus ist $x$, Sinus ist $y$.

Kosinus und Sinus

• $P(x) = (\cos x|\sin x)$.
• $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$.

Achtung: Den Punkt immer am Kreis einzeichnen.

Bezugswinkel

1. Den Quadranten bestimmen.
2. Bezugswinkel: spitzer Winkel zur $x$-Achse ($180^\circ - \alpha$, $\alpha - 180^\circ$ oder $360^\circ - \alpha$).
3. Wert des Bezugswinkels mit dem Vorzeichen des Quadranten.

Achtung: Der Kosinus ist links negativ (II, III), der Sinus unten (III, IV).

Sinus und Kosinus

• Periode $2\pi$.
• Kosinus achsensymmetrisch, Sinus punktsymmetrisch.
• Werte zwischen $-1$ und $1$.

Achtung: Symmetrie betrifft $-x$, Periodizität betrifft $x + 2\pi$.

Sinuskurven $y = a\sin(bx) + d$

• Amplitude $|a|$, Mittellinie $y = d$.
• Periode $\dfrac{2\pi}{b}$.
• Maximum $d + |a|$, Minimum $d - |a|$.

Achtung: Ein größeres $b$ bedeutet eine kürzere Periode.

Phasenverschiebung und Modelle

• $a\sin\big(b(x - c)\big) + d$: um $c$ nach rechts.
• $\sin(bx - e)$: Verschiebung $\dfrac{e}{b}$, nach dem Ausklammern von $b$.
• Modell: $a$ = halbe Schwankungsbreite, $d$ = Mittelwert, $b = \dfrac{2\pi}{\text{Periode}}$.

Achtung: Erst $b$ ausklammern, dann die Verschiebung ablesen.

Nullstellen und Vielfachheit

• $(x - r)$ ergibt die Nullstelle $r$; $(x + q)$ ergibt die Nullstelle $-q$.
• Ungerade Vielfachheit: Der Graph schneidet. Gerade: Er berührt und kehrt um.

Achtung: Auf das Vorzeichen achten: $x + 3 = 0$ bedeutet $x = -3$.

Randverhalten und Substitution

• Die höchste Potenz bestimmt das Verhalten am Rand.
• Grad und Vorzeichen von $a_n$ ablesen.
• Biquadratisch: $u = x^2$.

Achtung: Zurücksubstituieren; negatives $u$ liefert keine Lösung.

Symmetrie

• Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$.
• Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$.

Achtung: Viele Graphen haben keine dieser Symmetrien.

Oberflächeninhalt

Die Flächeninhalte aller Flächen addieren (Flächeneinheiten).

Achtung: Bedecken ist Fläche, Füllen ist Volumen.

Pyramiden und Kegel

• $V = \dfrac{1}{3} G h$.
• Kegel: $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$.

Achtung: Das Drittel nicht vergessen.

Kugel

• $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
• Dichte = Masse : Volumen.

Achtung: $r^3$ beim Volumen, $r^2$ bei der Oberfläche.

Rotationskörper und Cavalieri

• Rechteck → Zylinder, Dreieck → Kegel, Halbkreis → Kugel.
• Die Seite auf der Achse ist die Höhe.
• Gleiche Querschnitte, gleiche Höhe: gleiches Volumen.

Achtung: Schief ändert das Volumen nicht.

Funktionenklassen

Basis oder Exponent, Nenner, Logarithmus, periodisch: Jede Klasse hat ihr Kennzeichen.

Achtung: x im Exponenten bedeutet exponentiell, nicht ganzrational.

Abschnittsweise definierte Funktionen

1. Den Abschnitt suchen, dessen Bedingung die Eingabe erfüllt.
2. Den Term dieses Abschnitts verwenden.
3. $|x| = x$ für $x \geq 0$ und $-x$ für $x < 0$.

Achtung: An einer Grenze $<$ und $\geq$ genau lesen.

Verschieben und Spiegeln

• $f(x - h)$: um $h$ nach rechts. $f(x) + k$: um $k$ nach oben.
• $-f(x)$: Spiegelung an der $x$-Achse. $f(-x)$: Spiegelung an der $y$-Achse.
• Innerhalb von $f(\dots)$ wirkt auf $x$, außerhalb auf $y$.

Achtung: $f(x + 3)$ verschiebt den Graphen nach links.

Strecken und Symmetrie

• $a \cdot f(x)$: Streckung in $y$-Richtung mit $a$. $f(bx)$: Stauchung in $x$-Richtung.
• Achsensymmetrisch zur y-Achse: $f(-x) = f(x)$.
• Punktsymmetrisch zum Ursprung: $f(-x) = -f(x)$.

Achtung: $f(-x)$ ausrechnen; die Vorzeichen der Koeffizienten entscheiden nicht.

Grenzwerte im Unendlichen

• Die höchste Potenz ausklammern.
• Zählergrad kleiner: 0. Gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Größer: $\pm\infty$.
• Ein endlicher Grenzwert $a$ liefert die Asymptote $y = a$.

Achtung: Für $x \to \infty$ entscheiden nicht die Konstanten.

Einseitige Grenzwerte

• $x \to a^-$: von links; $x \to a^+$: von rechts.
• Der Grenzwert existiert nur, wenn beide Seiten übereinstimmen.

Achtung: Eine Seite allein ist noch nicht der Grenzwert.

Stetigkeit an der Stelle $a$

1. $f(a)$ existiert.
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existiert.
3. Beide sind gleich.

Achtung: Dass der Grenzwert existiert, reicht nicht; $f(a)$ muss gleich sein.

Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen

• Senkrecht: Nullstellen des Nenners.
• Waagrecht: Grade vergleichen. Zählergrad kleiner: $y = 0$. Gleich: Quotient der Leitkoeffizienten. Größer: keine.

Achtung: die Leitkoeffizienten verwenden, nicht die Konstanten.

Nullstellen und Lücken

1. Gemeinsame Faktoren kürzen: Jeder hinterlässt ein Loch.
2. Höhe des Lochs: der gekürzte Term an diesem $x$.
3. Nullstellen: verbleibende Nullstellen des Zählers; y-Achsenabschnitt: $f(0)$.

Achtung: Nullstellen des Nenners ergeben Asymptoten, keine Nullstellen.

Unendliche Grenzwerte

• Nenner → 0, Zähler nicht 0: $\pm\infty$, senkrechte Asymptote.
• Für das Vorzeichen einen Wert knapp neben $a$ einsetzen.

Achtung: Links und rechts der Asymptote können die Vorzeichen verschieden sein.

Schräge Asymptoten

• Zählergrad = Nennergrad + 1.
• Polynomdivision: $f(x) = mx + c + \text{Restbruch}$.
• Asymptote: $y = mx + c$.

Achtung: Den Restbruch weglassen, nicht addieren.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P_B(A) = P(A \cap B) : P(B)$.

Achtung: $P_B(A)$ und $P_A(B)$ sind verschieden.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

• $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
• Baumdiagramm: entlang eines Pfads multiplizieren, Pfade addieren.

Achtung: $P_A(B)$ ist nicht $P(A \cap B)$.

Unabhängigkeit

• Unabhängig: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• Allgemein: $P(A) \cdot P_A(B)$.

Achtung: Ohne Zurücklegen die zweite Wahrscheinlichkeit anpassen.

Unabhängigkeit

• $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
• $P_A(B) = P(B)$.

Achtung: nicht mit „unvereinbar“ verwechseln.

Studien

• Beobachtungsstudie: erfassen. Experiment: zuteilen.
• Störgrößen verdecken in Beobachtungsdaten die Ursache.

Achtung: Zusammenhang ist nicht Ursache.

Mittlere Änderungsrate

• Auf $[a; b]$: $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, Änderung von $f$ durch Änderung von $x$.
• Steigend: Der Graph steigt von links nach rechts.
• Monotonieintervalle mit $x$-Werten angeben.

Achtung: Änderung von $f(x)$ oben, Änderung von $x$ unten.

Ableitung an einer Stelle

• $f(a + h) - f(a)$ aufstellen und vereinfachen.
• Durch $h$ teilen, dann $h$ gegen 0 gehen lassen.

Achtung: $f'(a)$ ist eine Steigung, nicht der Funktionswert $f(a)$.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

• Differenzierbar $\Rightarrow$ stetig; die Umkehrung ist falsch.
• Keine Ableitung: Knick, senkrechte Tangente, Lücke oder Sprung.

Achtung: Ein Graph ohne Lücke hat nicht immer eine Tangente.

Tangente

• Punkt $(a|f(a))$, Steigung $f'(a)$.
• $y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)$.

Achtung: $y = f'(a) \cdot x$ verfehlt meist den Punkt.

Ableitungsfunktion

• $f'(x)$ ist die Steigung der Tangente bei $x$.
• $f$ steigt: $f' \geq 0$. $f$ fällt: $f' \leq 0$.

Achtung: $f' = 0$ (waagrechte Tangente) ist nicht $f = 0$ (auf der Achse).

Ableitungsregeln

• $(x^n)' = nx^{n - 1}$; Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen schreiben.
• Konstante Faktoren bleiben stehen; Summen werden summandenweise abgeleitet.

Achtung: Bei negativem Exponenten ist $-2 - 1 = -3$.

Eine Ableitung deuten

• Einheit: Ausgabeeinheit pro Eingabeeinheit.
• $f'(a) = r$: Bei $x = a$ ändert sich $f$ um etwa $r$ pro zusätzlicher Einheit von $x$.

Achtung: $f'(a)$ ist eine momentane Rate, kein Funktionswert und keine Gesamtänderung.

Monotonie

• $f' \geq 0$: $f$ steigt. $f' \leq 0$: $f$ fällt.
• Man fasst es in einer Monotonietabelle zusammen.

Achtung: Vorzeichen von $f'$ und Vorzeichen von $f$ nicht verwechseln.

Vorzeichenwechselkriterium

1. Nullstellen von $f'$ bestimmen.
2. Vorzeichentabelle von $f'$.
3. $+ \to -$: Maximum; $- \to +$: Minimum; kein Wechsel: keins von beiden.

Achtung: $f'(c) = 0$ allein ergibt noch kein Extremum.

Zweite Ableitung

• $f'' \geq 0$: $f'$ steigt, linksgekrümmt. $f'' \leq 0$: $f'$ fällt, rechtsgekrümmt.
• Die Beschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit.

Achtung: $f'$ sagt, ob der Graph steigt oder fällt; $f''$ sagt, wie er gekrümmt ist.

Wendepunkt

• Der Graph durchsetzt dort seine Tangente, die Krümmung wechselt.
• $f''$ wird null mit Vorzeichenwechsel.

Achtung: Bei $x^4$ ist $f''(0) = 0$, aber es gibt keinen Wendepunkt.

Kriterium mit der zweiten Ableitung

• $f' = 0$, $f'' > 0$: Minimum. $f' = 0$, $f'' < 0$: Maximum. $f'' = 0$: keine Aussage.
• Wendepunkt: $f''$ wechselt das Vorzeichen.

Achtung: $f''(c) = 0$ reicht für einen Wendepunkt nicht.

Kurvendiskussion

1. $f'(x)$, faktorisiert.
2. Vorzeichen von $f'$.
3. Grenzwerte.
4. Monotonietabelle.

Achtung: $\mathrm{e}^{u}$ ist immer positiv und ändert das Vorzeichen nicht.

Newton-Verfahren

• $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.
• Geometrisch: Nullstelle der Tangente.
• Versagt bei $f'(x_n) = 0$.

Achtung: Den Bruch abziehen; $f$ oben, $f'$ unten.

Stammfunktionen

• $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$; $\cos \to \sin$; $\sin \to -\cos$.
• Ein gegebener Funktionswert legt $C$ fest.

Achtung: Mach immer die Probe durch Ableiten.

Produktregel

$(fg)' = f'g + fg'$: einen Faktor ableiten, den anderen stehen lassen, dann umgekehrt.

Achtung: $(fg)' \neq f'g'$.

Kettenregel

$\big(v(u(x))\big)' = v'(u(x)) \cdot u'(x)$: äußere Ableitung (innere Funktion stehen lassen) mal innere Ableitung.

Achtung: Vergiss den Faktor $u'(x)$ nicht.

Die Eulersche Zahl $\mathrm{e}$

• $\mathrm{e} \approx 2{,}718$, der Grenzwert von $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$.
• Stetiges Wachstum mit der Rate $r$: $A(t) = A_0 \cdot \mathrm{e}^{rt}$.
• In $a \cdot \mathrm{e}^{kt}$ ist der Faktor pro Einheit von $t$ gleich $\mathrm{e}^{k}$.

Achtung: „stetig mit r“ ist nicht „einmal pro Jahr mit 1 + r“.

Exponentialfunktion

• $\exp' = \exp$, $\exp(0) = 1$.
• $\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x \cdot \mathrm{e}^y$.

Achtung: $\mathrm{e}^{x + y}$ ist nicht $\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^y$.

Exponentialfunktionen

• $(\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x$.
• $(b^x)' = b^x \ln b$.

Achtung: $x^n$ (variable Basis) und $b^x$ (variabler Exponent) haben verschiedene Regeln.

Ableitungen von sin und cos

• $\sin' = \cos$.
• $\cos' = -\sin$.

Achtung: Das Minuszeichen gehört zur Ableitung des Kosinus; die Regeln gelten für $x$ im Bogenmaß.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

• Werte und Wahrscheinlichkeiten.
• Summe = 1.

Achtung: Prüfe immer die Summe.

Erwartungswert und Varianz

• $E(X) = \sum x_i \cdot p_i$.
• $\sigma(X) = \sqrt{Var(X)}$.

Achtung: Mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten.

Erwartungswert und Standardabweichung

$E(X) = \sum x \cdot P(X = x)$; $\sigma = \sqrt{\sum (x - \mu)^2 \cdot P(X = x)}$.

Achtung: Mit den Wahrscheinlichkeiten gewichten; Verluste mitzählen.

Kombinationen

• $\dbinom{n}{k}$: Anzahl der Teilmengen mit $k$ Elementen einer Menge mit $n$ Elementen.
• $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$.

Achtung: Wenn die Reihenfolge zählt, ist es keine Kombination.

Binomialverteilung

$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$ für $X$ nach $B(n; p)$.

Achtung: Mit der Anzahl der Pfade multiplizieren.

Erwartungswert und Standardabweichung

$E(X) = n \cdot p$ und $\sigma(X) = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$.

Achtung: Die Standardabweichung ist die Wurzel aus $n \cdot p \cdot (1 - p)$.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten

• $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$.
• „Mindestens einmal“: über das Gegenereignis.

Achtung: auf das $a - 1$ achten.

Einseitiger Signifikanztest

• $H_1$ ist die Vermutung, die man zeigen will.
• Rechtsseitig: kleinstes $k$ mit $P(X \geq k) \leq \alpha$.
• Linksseitig: größtes $k$ mit $P(X \leq k) \leq \alpha$.

Achtung: Die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs unter $H_0$ darf $\alpha$ nicht übersteigen.

Fehler beim Testen

• Erster Art: $H_0$ wahr, abgelehnt; Wahrscheinlichkeit $P_{p_0}(X \in K)$.
• Zweiter Art: $H_0$ falsch, beibehalten; $\beta = 1 - P_{p_1}(X \in K)$.
• Kleineres $\alpha$ bedeutet größeres $\beta$.

Achtung: Die beiden Fehler nicht verwechseln.

Quotientenregel

$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$: „Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, durch unten zum Quadrat“.

Achtung: Die Reihenfolge im Zähler zählt.

Ableitungsregeln

• $(uv)' = u'v + uv'$.
• $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Achtung: Niemals $(uv)' = u'v'$.

Natürlicher Logarithmus

• $\ln$ ist auf $]0; +\infty[$ definiert.
• $\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ (mit $a > 0$).
• $\ln 1 = 0$ und $\ln \mathrm{e} = 1$.

Achtung: Den Logarithmus einer negativen Zahl oder von 0 gibt es nicht.

Rechenregeln für ln ($a, b > 0$)

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
• $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$.
• $\ln(a^n) = n\ln a$.

Achtung: Für $\ln(a + b)$ gibt es keine Regel.

Gleichungen und Ungleichungen

1. Die Definitionsmenge angeben.
2. Mit der Monotonie von $\ln$ oder $\exp$ lösen.
3. Nur Lösungen aus der Definitionsmenge behalten.

Achtung: Eine Lösung der umgeformten Gleichung ist nicht immer eine Lösung der Ausgangsgleichung.

Die Funktion ln

• $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ und $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
• Streng monoton steigend auf $]0; +\infty[$.
• Grenzwerte: $-\infty$ bei 0, $+\infty$ für $x \to +\infty$.

Achtung: $\ln$ wächst sehr langsam gegen $+\infty$, aber es wächst unbegrenzt.

Umkehrfunktionen

1. $y = f(x)$ schreiben.
2. Nach $x$ auflösen; die letzte Rechenoperation zuerst rückgängig machen.
3. Umbenennen: $f^{-1}(x)$. Probe: $f(f^{-1}(x)) = x$.

Achtung: $f^{-1}(x)$ ist nicht $\dfrac{1}{f(x)}$.

Vektoren im Raum

• Vektorkette und Parallelogrammregel gelten weiter.
• Linearkombination: $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Achtung: Im Raum gibt es drei Koordinaten.

Basis und Koordinatensystem

• Basis: drei nicht komplanare Vektoren.
• $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A|y_B - y_A|z_B - z_A)$.

Achtung: Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren bilden nicht immer eine Basis.

Im kartesischen Koordinatensystem

• $\vec{u} \circ \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
• $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• $\overline{AB} = |\overrightarrow{AB}|$.

Achtung: Wurzel und dritte Koordinate nicht vergessen.

Skalarprodukt

• $\vec{u} \circ \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos\theta$.
• Orthogonal $\iff \vec{u} \circ \vec{v} = 0$.
• $\vec{u} \circ (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \circ \vec{v} + b\,\vec{u} \circ \vec{w}$.

Achtung: Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.

Vektorprodukt

• $\vec{u} \times \vec{v}$ steht senkrecht auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$.
• $|\vec{u} \times \vec{v}|$: Fläche des Parallelogramms.
• Dreieck: die Hälfte.

Achtung: Das Vektorprodukt ist ein Vektor, das Skalarprodukt eine Zahl.

Bestimmtes Integral

• Flächenbilanz: Unterhalb der x-Achse zählt die Fläche negativ.
• Vertauschte Grenzen ändern das Vorzeichen. Benachbarte Intervalle werden addiert.
• $\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$.

Achtung: Eine Konstante wird über die ganze Intervalllänge integriert.

Integralfunktion

• $I_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ ist eine Stammfunktion von $f$ mit $I_a(a) = 0$.
• $I_a$ steigt, wo $f > 0$ ist, und fällt, wo $f < 0$ ist.

Achtung: Die Ableitung liefert $f$, nicht eine Stammfunktion von $f$.

Integral berechnen

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$, mit $F' = f$.

Achtung: obere Grenze minus untere Grenze; prüfe die Vorzeichen der Stammfunktion.

Verkettete Funktionen integrieren

• $u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.
• Fehlt ein konstanter Faktor, gleicht man ihn aus.

Achtung: Ein Faktor $x$ lässt sich nicht ausgleichen, nur ein konstanter Faktor.

Nützliche Muster

• $\dfrac{g'}{g} \to \ln|g|$.
• $e^{kx} \to \dfrac{e^{kx}}{k}$.
• $\tan x \to -\ln|\cos x|$.

Achtung: das Minuszeichen aus $du$.

Fläche zwischen zwei Graphen

1. Schnittpunkte bestimmen.
2. Feststellen, welcher Graph oben liegt.
3. „Oben minus unten“ integrieren.

Achtung: Ein negatives Ergebnis heißt, dass die Reihenfolge vertauscht ist.

Uneigentliche Integrale

1. $\infty$ durch $b$ ersetzen.
2. Integrieren.
3. $\lim_{b \to \infty}$ bilden: Eine Zahl heißt Konvergenz.

Achtung: $f \to 0$ garantiert keine Konvergenz.

Integral als Gesamtänderung

$F(b) = F(a) + \displaystyle\int_a^b F'(t)\,dt$: Anfangsbestand + Gesamtänderung.

Achtung: Eine momentane Rate ist kein Bestand.

Rotationskörper

$V = \pi\displaystyle\int_a^b (\text{Radius})^2\,dx$.

Achtung: Radius quadrieren und $\pi$ nicht vergessen.

Stetige Zufallsgrößen

• Wahrscheinlichkeit = Fläche unter der Dichtefunktion.
• $P(X = a) = 0$.

Achtung: Die Dichte ist keine Wahrscheinlichkeit.

Normalverteilung und Sigma-Regeln

• $z = (x - \mu)/\sigma$; $x = \mu + z\sigma$.
• 68 %, 95 %, 99,7 % innerhalb von 1σ, 2σ, 3σ.

Achtung: Die Prozentsätze gelten für beide Seiten zusammen.

Normalverteilung mit Φ

• $P(X \leq x) = \Phi(z)$ mit $z = (x - \mu)/\sigma$.
• $P(X \geq x) = 1 - \Phi(z)$ und $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$.
• Symmetrisch: $2\,\Phi(c/\sigma) - 1$.

Achtung: Φ gibt die Fläche links an.

Parameterform einer Geraden

• $x = x_A + at$, $y = y_A + bt$, $z = z_A + ct$.
• Konstanten: ein Aufpunkt. Koeffizienten von $t$: ein Richtungsvektor.

Achtung: Bei der Punktprobe muss dasselbe $t$ alle drei Gleichungen erfüllen.

Lagebeziehungen

• Zwei Geraden: schneidend, parallel oder windschief.
• Gerade und Ebene: schneidend oder parallel.
• Zwei Ebenen: schneiden sich in einer Geraden oder sind parallel.

Achtung: Im Raum heißt „nicht parallel“ nicht „schneidend“.

Koordinatenform einer Ebene

• Normalenvektor $\vec{n} = (a|b|c)$: $ax + by + cz + d = 0$.
• $d$ bestimmt man mit einem Punkt der Ebene.

Achtung: $d$ nicht vergessen, sonst ginge die Ebene durch den Ursprung.

Normalenvektor

• $\vec{n}$ Normalenvektor von $E$: senkrecht auf zwei nicht parallelen Vektoren von $E$.
• Ebenen senkrecht: Normalenvektoren orthogonal.
• Ebenen parallel: Normalenvektoren parallel.

Achtung: Ein Normalenvektor ist kein Richtungsvektor der Ebene.

Schnittpunkt und Lotfußpunkt

• Gerade und Ebene: einsetzen, nach $t$ auflösen, Punkt berechnen.
• Lotfußpunkt von $M$ auf $E$: Die Lotgerade durch $M$ mit Richtung $\vec{n}$ schneidet $E$ in $F$.

Achtung: Der Abstand von $M$ zu $E$ ist $MF$, mit dem Lotfußpunkt $F$.

Schnittwinkel

• Gerade–Gerade und Ebene–Ebene: Kosinus.
• Gerade–Ebene: Sinus, mit $\vec{u}$ und $\vec{n}$.
• Immer den Betrag des Skalarprodukts.

Achtung: Gerade und Ebene: Sinus, nicht Kosinus.

Abstände

• Hessesche Normalform: Koordinatenform durch $|\vec{n}|$ teilen.
• $d(P, E) = \dfrac{|ap_1 + bp_2 + cp_3 - d|}{|\vec{n}|}$.
• Parallele Ebenen: Abstand eines beliebigen Punkts.

Achtung: Durch $|\vec{n}|$ teilen.

Kugeln

• $(x - m_1)^2 + (y - m_2)^2 + (z - m_3)^2 = r^2$.
• Lage eines Punkts: Abstand zu $M$ mit $r$ vergleichen.
• Ausmultiplizierte Form: quadratisch ergänzen.

Achtung: Rechts steht $r^2$, nicht $r$.

Funktionenscharen

• $a$ ist eine feste Zahl; abgeleitet wird nach $x$.
• Ortskurve: $x(a)$ nach $a$ auflösen und einsetzen.
• Gemeinsame Punkte: $f_a(x) = f_b(x)$.

Achtung: Nicht nach $a$ ableiten.

Optimieren

• Nullstellen von $f'$ bestimmen.
• Vorzeichenwechsel prüfen.

Achtung: $f'(a) = 0$ reicht nicht.

Extremwertaufgaben

1. Zielgröße und Nebenbedingung.
2. Funktion einer Variablen und ihre Definitionsmenge.
3. Extremstellen und Randwerte vergleichen.
4. Die Frage beantworten: Wert oder Stelle, mit Einheit.

Achtung: Nicht jede Nullstelle von $f'$ ist das Optimum.

Stellenwert

• Jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die rechts daneben.
• Römisch: addieren, außer ein kleineres Zeichen steht davor.
• Lange Zahlen in Dreiergruppen gliedern.

Achtung: Die Ziffer ist nicht ihr Wert.

Zahlenstrahl und Runden

• Die Stelle rechts daneben entscheidet.
• 0 bis 4 ab, 5 bis 9 auf.
• Rechts davon stehen Nullen.

Achtung: Nur die eine Stelle zählt.

Schriftlich rechnen

• Stellen untereinander.
• Von rechts beginnen.
• Überträge nicht vergessen.

Achtung: Mit einer Probe kontrollieren.

Ganze Zahlen vergleichen

• Weiter rechts: größer.
• $|a|$: Abstand zu 0.

Achtung: −8 ist kleiner als −3.

Addieren und Subtrahieren

• Auf der Zahlengeraden bewegen.
• Subtrahieren = Gegenzahl addieren.

Achtung: Minus eine negative Zahl ergibt plus.

Einfache Gleichungen

• Umkehrrechnung auf beiden Seiten.
• Eine Division macht man durch Multiplizieren rückgängig.

Achtung: Prüfe durch Einsetzen.

Rechengesetze

• Vertauschen und Zusammenfassen bei $+$ und $\cdot$.
• Distributivgesetz: $a(b + c) = ab + ac$.
• Klammer, Potenz, Punkt, Strich.

Achtung: Bei $-$ und $:$ nicht vertauschen.

Koordinatensystem

• $(x|y)$: x-Wert, dann y-Wert.
• Abstand über eine Achse: addieren.

Achtung: Der x-Wert kommt zuerst.

Kreis

• Radius, Durchmesser, Sehne.
• Kreis: Abstand $r$. Kreisfläche: höchstens $r$.

Achtung: Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius.

Lagebeziehungen

• Parallel: kein Schnittpunkt.
• Senkrecht: rechter Winkel.
• Abstand: Länge des Lots.

Achtung: Tangente: berührt den Kreis in einem Punkt.

Winkel

• Spitz, recht, stumpf, gestreckt.
• Scheitelwinkel: gleich groß.

Achtung: Beim Geodreieck die richtige Skala ablesen.

Besondere Vierecke

• Quadrat ⊂ Rechteck, Raute.
• Rechteck, Raute ⊂ Parallelogramm.
• Parallelogramm ⊂ Trapez.

Achtung: Ein besonderes Viereck gehört auch zur allgemeineren Art.

Schriftlich multiplizieren und dividieren

• Multiplizieren: Zeilen stellengerecht einrücken.
• Dividieren: von links, Rest mitnehmen.
• Null im Quotienten nicht vergessen.

Achtung: Probe durch die Umkehrrechnung.

Teilbarkeit und Primfaktoren

• Regeln mit letzter Ziffer oder Quersumme.
• Primzahl: genau zwei Teiler.
• 1 ist keine Primzahl.

Achtung: Ungerade heißt nicht prim.

Teiler und Vielfache

• ggT: der größte gemeinsame Teiler.
• kgV: das kleinste gemeinsame Vielfache.

Achtung: Nicht verwechseln.

Addieren oder multiplizieren?

• Dies und das (nacheinander): multiplizieren.
• Dies oder das (getrennte Fälle): addieren.

Achtung: Bei jedem Schritt des Zählens neu fragen.

Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren

• Gleiches Vorzeichen: positiv.
• Verschiedene Vorzeichen: negativ.

Achtung: Minus mal minus ergibt plus.

Potenzen

• $a^n$: $n$ Faktoren $a$.
• Quadratzahlen auswendig.
• $10^n$: $n$ Nullen.

Achtung: Nicht Basis mal Exponent.

Größen umrechnen

• Kleinere Einheit: multiplizieren.
• Größere Einheit: teilen.
• Umrechnungszahlen kennen.

Achtung: Prüfe, ob das Ergebnis sinnvoll ist.

Zeitspannen

• 60 Minuten in einer Stunde.
• Über die volle Stunde rechnen.

Achtung: Die Zeit ist nicht dezimal.

Schlussrechnung

• Menge für eine Einheit.
• Durch die Anzahl der Einheiten teilen.

Achtung: Frag dich „pro was?“.

Maßstab

Plan → Wirklichkeit: mit dem Maßstab multiplizieren; Wirklichkeit → Plan: teilen.

Achtung: Am Ende die Einheit umrechnen.

Flächen

• $a \cdot b$.
• Umrechnungszahl 100.

Achtung: Nicht 10.

Zusammengesetzte Figuren

• Zerlegen und addieren.
• Ergänzen und abziehen.
• Umfang: nur der äußere Rand.

Achtung: Innenlinien zählen nicht.

Bruchteil einer Zahl

• Durch den Nenner teilen.
• Mit dem Zähler multiplizieren.

Achtung: Beides verwenden.

Bruch als Quotient

• $b \cdot \dfrac{a}{b} = a$.
• $\dfrac{a}{b} = a : b$.

Achtung: Der Zähler wird durch den Nenner geteilt.

Gleichwertige Brüche

• Oben und unten dieselbe Multiplikation.
• Mit gleichem Nenner vergleichen.

Achtung: Dieselbe Zahl addieren geht nicht.

Prozente

• $p\,\% = \dfrac{p}{100}$.
• Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert · 100.

Achtung: Prozentwert durch Grundwert teilen, nicht umgekehrt.

Brüche

• Zuerst gleicher Nenner.
• Nur die Zähler addieren.

Achtung: Nie die Nenner addieren.

Rechnen mit Brüchen

• Gleicher Nenner: Zähler addieren.
• $n \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{n \cdot a}{b}$.

Achtung: Der Nenner wird nicht addiert.

Stellenwerte

• Zehntel, Hundertstel, Tausendstel.
• Verschiedene Schreibweisen derselben Zahl.

Achtung: Die Null zählt als Stelle.

Vergleichen

• Stelle für Stelle.
• Runden: auf die nächste Ziffer schauen.

Achtung: Mehr Ziffern heißt nicht größer.

Periodische Dezimalbrüche

• Endlich: bricht ab.
• Periodisch: Ziffernfolge wiederholt sich; Strich über der Periode.
• Nenner nur mit 2 und 5: endlich.

Achtung: $0{,}\overline{3}$ ist genau $\dfrac{1}{3}$, nicht gerundet.

Rechnen mit Dezimalbrüchen

• Stellen untereinander.
• $\cdot\, 0{,}1$: durch 10 teilen.

Achtung: Mit einer Zahl kleiner als 1 multiplizieren verkleinert.

Produkt und Kehrwert

• $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$.
• Der Kehrwert von $\dfrac{a}{b}$ ist $\dfrac{b}{a}$.

Achtung: Kehrwert und Gegenzahl sind verschieden.

Brüche dividieren

• Mit dem Kehrwert des Teilers multiplizieren.
• Durch weniger als 1 teilen vergrößert.

Achtung: Den zweiten Bruch umkehren, nicht den ersten.

Produkt

• Ohne Komma multiplizieren.
• Komma durch Zählen setzen.

Achtung: Mit einem Überschlag kontrollieren.

Divisionen

• $a = b \cdot q + r$, $r < b$.
• Man kann nach dem Komma weiterrechnen.

Achtung: Der Rest ist immer kleiner als der Teiler.

Exponent null und negative Exponenten

• $a^0 = 1$.
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

Achtung: Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ.

Rechenreihenfolge

• Klammern, Potenzen, Punkt, Strich.
• In $kx^2$ wird nur $x$ quadriert.

Achtung: $x^2$ ist nicht $2x$.

Flächeninhalt des Parallelogramms

• $A = g \cdot h$.
• Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.

Achtung: Die schräge Seite ist nicht die Höhe.

Flächeninhalt des Dreiecks

• $A = \dfrac{1}{2} g h$.
• Höhe: senkrecht zur Grundseite.

Achtung: Die Hälfte nicht vergessen.

Flächeninhalt des Trapezes

• $A = \dfrac{a + c}{2} \cdot h$.
• Parallele Seiten mitteln.
• Die Höhe steht senkrecht auf ihnen.

Achtung: Die schräge Seite ist nicht die Höhe.

Volumen

• $a \cdot b \cdot c$.
• Einheit: cm³.

Achtung: Fläche und Volumen nicht verwechseln.

Änderungen

• Endwert = Anfangswert · Faktor.
• Prozentsatz = Änderung : Anfangswert.

Achtung: Der Grundwert ist der Anfangswert.

Prozent und Prozentpunkte

• Prozentpunkte: Differenz der Sätze.
• Prozentuale Änderung: Differenz : Anfangswert.
• Beides sind verschiedene Zahlen.

Achtung: Nicht verwechseln.

Tabellen

• Zeile und Spalte.
• Filter: nach einer Bedingung auswählen.

Achtung: Prüfe die Überschriften.

Kreisdiagramme

Anzahl = Prozentsatz · Gesamtzahl; Winkel = Prozentsatz · 360°.

Achtung: Ein Prozentsatz ist keine Anzahl.

Relative Häufigkeiten

• Absolute Häufigkeit : Gesamtzahl.
• Mittel: Summe : Anzahl.

Achtung: Ein Sektor bezieht sich auf 360°.

Irreführende Diagramme

• Achsenanfang prüfen.
• Gleichmäßige Abstände prüfen.
• Flächen mit den Werten vergleichen.

Achtung: Immer die Zahlen lesen, nicht nur den Eindruck.

Algebraisches Denken

• Lücke: Umkehrrechnung.
• Muster: erkennen, was dazukommt.

Achtung: Prüfe an den ersten Schritten.

Potenzregeln

• Produkt: addieren. Quotient: subtrahieren.
• Potenz einer Potenz: multiplizieren.

Achtung: Im Zweifel die Faktoren zählen.

Terme umformen

• Jeden Summanden ausmultiplizieren.
• Gleichartige Summanden mit ihren Vorzeichen zusammenfassen.

Achtung: Ein Minus vor der Klammer ändert alle Vorzeichen.

Rechnen mit Termen

• Addieren: gleichartige Summanden zusammenfassen.
• Multiplizieren: jeder mit jedem; die Grade addieren sich.

Achtung: Summanden mit $x$ addieren sich; Zahlen multiplizieren sich.

Ausklammern

• $ab + ac = a(b + c)$.
• Größten gemeinsamen Faktor suchen.
• Probe durch Ausmultiplizieren.

Achtung: Die 1 in der Klammer nicht vergessen.

Binomische Formeln

• $(a + b)^2$, $(a - b)^2$, $(a + b)(a - b)$.
• Brüche: gemeinsamer Nenner.

Achtung: Das doppelte Produkt nicht vergessen.

Achsenspiegelung

• $g$ ist die Mittelsenkrechte von $[AA']$.
• Längen und Winkel bleiben erhalten.

Achtung: Die Gerade $AA'$ steht senkrecht zur Achse.

Punktspiegelung

• $Z$ ist der Mittelpunkt von $[AA']$.
• Längen und Winkel bleiben erhalten.

Achtung: Nicht mit der Achsenspiegelung verwechseln.

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

• Mittelsenkrechte: gleicher Abstand von den Endpunkten.
• Winkelhalbierende: zwei gleich große Winkel.

Achtung: Ein Punkt der Mittelsenkrechten ist nicht immer der Mittelpunkt.

Konstruktionen

Zirkel für gleiche Abstände, Lineal für Geraden; Begründung mit kongruenten Dreiecken.

Achtung: Die Zirkelöffnung zwischen den beiden Bögen nicht ändern.

Symmetrie

Regelmäßiges $n$-Eck: $n$ Achsen; Drehungen um $360^\circ/n$.

Achtung: Die Diagonalen eines Rechtecks sind keine Symmetrieachsen.

Winkel

• Komplementwinkel: 90°. Nebenwinkel: 180°.
• Scheitelwinkel: gleich groß.

Achtung: Komplementwinkel 90°, Nebenwinkel 180°.

Winkel

• Gleiche Wechselwinkel: parallele Geraden.
• Summe im Dreieck: 180°.

Achtung: Die Größe ändert daran nichts.

Winkel im Vieleck

Innenwinkelsumme $(n - 2) \cdot 180°$; Außenwinkelsumme 360°.

Achtung: $n - 2$ Dreiecke, nicht $n$.

Größen festlegen

Jede Größe mit Einheit und Zeitraum benennen; mit Raten vergleichen.

Achtung: Eine ungenaue Variable („x = Geld“) führt zu einem falschen Modell.

Gleichungen

• Auf beiden Seiten dasselbe tun.
• Fertig, wenn $x$ allein steht.

Achtung: Alle Summanden ausmultiplizieren.

Aufeinanderfolgende Änderungen

• Faktoren multiplizieren.
• Zurück: durch den Faktor teilen.

Achtung: Prozentsätze addieren sich nicht.

Lagemaße

• Gewichtetes arithmetisches Mittel.
• Median, $Q_1$, $Q_3$ an der sortierten Liste.

Achtung: Zuerst sortieren.

Boxplot

• Minimum, $Q_1$, Median, $Q_3$, Maximum.
• Quartilsabstand: $Q_3 - Q_1$.

Achtung: Die Antenne ist nicht das Mittel.

Entsprechende Stücke

Die Reihenfolge der Buchstaben gibt die Zuordnung an.

Achtung: Nach der Stelle zuordnen, nicht nach dem Aussehen.

Kongruenzsätze

SSS, SWS, WSW, SWW, SsW. Nicht WWW.

Achtung: Bei SWS liegt der Winkel zwischen den Seiten.

Gleichschenklige Dreiecke und Mittelsenkrechte

Basiswinkel gleich; Mittelsenkrechte = Punkte mit gleichem Abstand von den Enden.

Achtung: 180° minus Spitze halbieren für jeden Basiswinkel.

Satz und Kehrsatz

• Satz: Wenn $A$, dann $B$.
• Kehrsatz: Wenn $B$, dann $A$.
• Ein Gegenbeispiel widerlegt.

Achtung: Der Kehrsatz gilt nicht automatisch.

Besondere Linien

• Mittelsenkrechte, Seitenhalbierende, Höhe, Winkelhalbierende.
• Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse = Durchmesser.

Achtung: Seitenhalbierende und Höhe sind im Allgemeinen verschieden.

Tangenten

Tangente ⊥ Radius; Tangentenabschnitte von einem Punkt sind gleich lang.

Achtung: ein rechtwinkliges Dreieck, keine Subtraktion.

Satz des Thales

• Durchmesser $[AB]$, $C$ auf dem Kreis: $\angle ACB = 90°$.
• Kehrsatz: Rechter Winkel bei $C$: $C$ liegt auf dem Thaleskreis.
• Die Hypotenuse ist der Durchmesser.

Achtung: Nur beim Durchmesser, nicht bei jeder Sehne.

Funktionen

• Genau ein Funktionswert für jeden x-Wert.
• Derselbe Funktionswert darf mehrfach vorkommen.

Achtung: Zwei Funktionswerte zu einem x-Wert: keine Funktion.

Funktionswert

• $f(a)$ ist der Funktionswert an der Stelle $a$.
• $x$ durch $(a)$ ersetzen, mit Klammern.

Achtung: $f(a + b)$ ist nicht $f(a) + f(b)$.

Definitionsmenge

• Kein Nenner 0, nichts Negatives unter einer Wurzel.
• $[a; +\infty[$ enthält $a$; $]a; +\infty[$ nicht.

Achtung: Die Wertemenge liest man an der y-Achse ab.

Direkte Proportionalität

• $f(x) = kx$, $k = y : x$.
• Die Gerade geht durch den Ursprung.

Achtung: Multiplizieren, nicht addieren.

Direkte Proportionalität

• Konstanter Quotient.
• Gerade durch den Ursprung.

Achtung: Eine konstante Differenz ist kein konstanter Quotient.

Steigung

Senkrecht durch waagrecht, für jedes Steigungsdreieck an der Geraden gleich.

Achtung: Von links nach rechts fallend heißt negativ.

Lineare Funktionen

• $f(x) = mx + t$.
• $m$: die Rate. $t$: der Anfangswert.

Achtung: Die Rate wird mit $x$ multipliziert; der Anfangswert steht allein.

Geradengleichung

• $y = mx + t$.
• $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

Achtung: $\Delta y$ steht im Zähler.

Lage zweier Geraden

• Gleiche Steigung: parallel.
• Sonst $mx + t = m'x + t'$ lösen.

Achtung: Mit der anderen Gleichung prüfen.

Ungleichungen

• Wie eine Gleichung.
• Das Zeichen dreht sich beim Multiplizieren oder Teilen mit einer negativen Zahl um.

Achtung: Mit einer Zahl aus deiner Lösung prüfen.

Funktionen $\dfrac{a}{x + b} + c$

• Definitionsmenge: $\mathbb{R} \setminus \{-b\}$.
• Senkrechte Asymptote $x = -b$.
• Waagrechte Asymptote $y = c$.

Achtung: Das Vorzeichen von $b$ dreht sich um.

Indirekte Proportionalität

• $x \cdot y = k$ ist konstant.
• $y = \dfrac{k}{x}$; der Graph ist ein Hyperbelast.
• Doppeltes $x$, halbes $y$.

Achtung: Fallend allein reicht nicht.

Bruchterme multiplizieren und dividieren

Faktorisieren, gemeinsame Faktoren kürzen, multiplizieren; dividieren heißt mit dem Kehrwert multiplizieren.

Achtung: Faktoren kürzen, nie Summanden.

Bruchterme addieren

Hauptnenner, dann die Zähler addieren.

Achtung: Nie die Nenner addieren.

Bruchgleichungen

Nenner beseitigen → lösen → in der ursprünglichen Gleichung prüfen.

Achtung: Werte, die einen Nenner 0 machen, entfallen.

Formeln umstellen

• Dieselben Umformungen wie mit Zahlen.
• Die anderen Buchstaben sind unbekannte Zahlen.

Achtung: Alle Summanden teilen.

Wahrscheinlichkeiten

• Ergebnis, Ereignis.
• Laplace: günstige : alle.

Achtung: Eine Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1.

Wahrscheinlichkeiten

• Laplace: günstige : alle.
• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$; „mindestens einmal“ über das Gegenereignis.

Achtung: Prüfe, ob die Ergebnisse wirklich gleich wahrscheinlich sind.

Zählprinzip und Laplace

• Möglichkeiten der Schritte multiplizieren.
• Baumdiagramm: jeder Pfad ein Ergebnis.
• $P(E)$ = günstige : alle.

Achtung: Nur gleich wahrscheinliche Ergebnisse zählen.

Geraden aus Gleichungen

Achsenschnittpunkte: die andere Variable 0 setzen. Steigung: nach $y$ auflösen.

Achtung: Die Steigung von $ax + by = c$ ist $-a/b$.

Einsetzungsverfahren

Eine Variable durch ihren Term ersetzen, lösen, dann zurück einsetzen.

Achtung: Gib die gefragte Variable an.

Additionsverfahren

Gleiche Faktoren: subtrahieren. Entgegengesetzte Faktoren: addieren.

Achtung: Zuerst multiplizieren, wenn keine Faktoren passen.

Wie viele Lösungen?

Verschiedene Steigungen: eine. Parallel: keine. Dieselbe Gerade: unendlich viele.

Achtung: Gleiche Steigung allein reicht nicht; prüfe die y-Achsenabschnitte.

Kreisumfang

$U = \pi d = 2\pi r$.

Achtung: Radius oder Durchmesser? Prüfe das, bevor du π verwendest.

Flächeninhalt des Kreises

$A = \pi r^2$; außen herum $U = 2\pi r$.

Achtung: Den Radius quadrieren, nicht den Durchmesser.

Prisma und Zylinder

• $V = G \cdot h$.
• Zylinder: $V = \pi r^2h$.

Achtung: Die Grundfläche, nicht ihr Umfang.

Quadratwurzel

• $\sqrt{a}$: Seite eines Quadrats mit dem Flächeninhalt $a$.
• $x^2 = a$: zwei Lösungen für $a > 0$.

Achtung: Eine Wurzel ist keine Hälfte.

Rational und irrational

Abbrechend oder periodisch: rational. Weder noch: irrational.

Achtung: Eine periodische Dezimalzahl ist ein Bruch mit dem Nenner 9, 99, …

Heron-Verfahren

• $x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_n + \dfrac{a}{x_n}\right)$.
• $\sqrt{a}$ liegt zwischen $x_n$ und $\dfrac{a}{x_n}$.
• Geometrisch: Das Rechteck wird immer quadratischer.

Achtung: Den Mittelwert bilden, nicht die Summe.

Rechnen mit Wurzeln

• $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
• $\sqrt{a^2} = |a|$.

Achtung: Für Summen gibt es keine solche Regel.