Mes fiches de révision

Numération

• Dixièmes, centièmes, millièmes.
• Plusieurs écritures d'un même nombre.

Attention : le zéro compte pour le rang.

Comparer

• Rang par rang.
• Arrondir : regarde le chiffre suivant.

Attention : plus de chiffres ne veut pas dire plus grand.

Opérations

• Aligne les rangs.
• $\times 0{,}1$ : divise par 10.

Attention : multiplier par moins de 1 réduit.

Produit

• Multiplie sans virgule.
• Replace la virgule en comptant.

Attention : contrôle avec un ordre de grandeur.

Divisions

• $a = bq + r$, $r < b$.
• On peut continuer après la virgule.

Attention : le reste est toujours plus petit que le diviseur.

Fraction-quotient

• $b \times \dfrac{a}{b} = a$.
• $\dfrac{a}{b} = a \div b$.

Attention : le numérateur est divisé par le dénominateur.

Fraction d'un nombre

• Divise par le dénominateur.
• Multiplie par le numérateur.

Attention : utilise les deux.

Fractions égales

• Même multiplication en haut et en bas.
• Compare au même dénominateur.

Attention : ajouter le même nombre ne convient pas.

Opérations sur les fractions

• Même dénominateur : on additionne les numérateurs.
• $n \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{na}{b}$.

Attention : le dénominateur ne s'ajoute pas.

Pourcentages

• $t\,\% = \dfrac{t}{100}$.
• Pourcentage = partie ÷ tout × 100.

Attention : divise la partie par le tout, pas l'inverse.

Périmètre du disque

• $P = \pi d = 2\pi r$.
• Figure composée : on ajoute les morceaux.

Attention : attention : rayon ou diamètre.

Aires

• $L \times \ell$.
• Conversions de 100 en 100.

Attention : pas de 10 en 10.

Volumes

• $L \times \ell \times h$.
• Unité : cm³.

Attention : ne confonds pas aire et volume.

Durées

• 60 minutes dans une heure.
• On passe par l'heure ronde.

Attention : le temps n'est pas décimal.

Pensée algébrique

• Trou : opération inverse.
• Motif : repère ce qui s'ajoute.

Attention : vérifie sur les premières étapes.

Cercle

• Rayon, diamètre, corde.
• Cercle : à la distance $r$. Disque : au plus $r$.

Attention : le diamètre est le double du rayon.

Médiatrice et bissectrice

• Médiatrice : équidistance.
• Bissectrice : deux angles égaux.

Attention : un point de la médiatrice n'est pas toujours le milieu.

Angles

• Aigu, droit, obtus, plat.
• Opposés par le sommet : égaux.

Attention : vérifie la lecture du rapporteur.

Angles

• Alternes-internes égaux : droites parallèles.
• Somme dans un triangle : 180°.

Attention : la taille n'y change rien.

Symétrie axiale

• $d$ est la médiatrice de $[AA']$.
• Longueurs et angles conservés.

Attention : la droite $(AA')$ est perpendiculaire à l'axe.

Tableaux

• Ligne et colonne.
• Filtre : garder selon un critère.

Attention : vérifie les titres.

Probabilités

• Issue, événement.
• Équiprobabilité : favorables ÷ total.

Attention : une probabilité est entre 0 et 1.

Algorithmes

• Ordre des instructions.
• Boucle : répétition.

Attention : suis les étapes.

Règles des puissances

• Produit : on additionne. Quotient : on soustrait.
• Puissance d'une puissance : on multiplie.

Attention : en cas de doute, compte les facteurs.

Exposants nuls et négatifs

• $a^0 = 1$.
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.

Attention : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.

Notation scientifique

• $a \times 10^n$, avec $1 \leq a < 10$.
• Compte les rangs, pas les chiffres.

Attention : un exposant négatif donne un nombre petit, pas négatif.

Racine carrée

• $\sqrt{a}$ : côté d'un carré d'aire $a$.
• $x^2 = a$ : deux solutions si $a > 0$.

Attention : une racine n'est pas une moitié.

Diviseurs et multiples

• PGCD : le plus grand diviseur commun.
• PPCM : le plus petit multiple commun.

Attention : ne les confonds pas.

Entiers

• $a = kb$.
• Pair : $2k$. Impair : $2k + 1$.

Attention : multiple et diviseur vont dans deux sens différents.

Identités

• $(a + b)^2$, $(a - b)^2$, $(a + b)(a - b)$.
• Fractions : même dénominateur.

Attention : n'oublie pas le double produit.

Équations

• On fait la même chose aux deux membres.
• On s'arrête quand $x$ est seul.

Attention : développe tous les termes.

Inéquations

• Comme une équation.
• Le sens change si on multiplie ou divise par un négatif.

Attention : vérifie avec un nombre de ta solution.

Produit nul

• Produit nul : on annule chaque facteur.
• L'autre membre doit être 0.

Attention : ne divise jamais par $x$ : tu perdrais $x = 0$.

Thalès

• $(DE) \parallel (BC)$ : $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$.
• La réciproque prouve un parallélisme.

Attention : garde le même ordre dans les rapports.

Trigonométrie

• sinus, cosinus, tangente pour un angle aigu.
• Opposé et adjacent dépendent de l'angle choisi.

Attention : repère l'hypoténuse d'abord.

Calculer une longueur

• Repère → choisis le quotient → résous.
• Multiplie ou divise selon la place de l'inconnue.

Attention : l'hypoténuse est le plus long côté : vérifie ta réponse.

Calculer un angle

• Arcsin, Arccos, Arctan du quotient.
• Mode degrés.

Attention : ce n'est pas un inverse.

Vecteurs

• Égaux : même direction, sens, longueur.
• Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.

Attention : même longueur ne suffit pas.

Boule

• $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
• Masse volumique = masse ÷ volume.

Attention : $r^3$ pour un volume, $r^2$ pour une aire.

Indicateurs

• Moyenne pondérée.
• Médiane, $Q_1$, $Q_3$ sur une série triée.

Attention : trie d'abord.

Boîte à moustaches

• Min, $Q_1$, médiane, $Q_3$, max.
• Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$.

Attention : la moustache n'est pas la moyenne.

Réunion

• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Incompatibles : intersection vide.

Attention : n'oublie pas la soustraction.

Fluctuation

• Fréquence proche de $p$, mais variable.
• $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ : amplitude typique.

Attention : plus $n$ est grand, moins ça fluctue.

Évolutions

• Valeur finale = valeur de départ × coefficient.
• Taux = variation ÷ départ.

Attention : la base est la valeur de départ.

Fonctions

• Une seule image pour chaque valeur.
• Plusieurs antécédents possibles.

Attention : deux images pour une valeur : ce n'est pas une fonction.

Image et antécédent

• $f(a)$ est l'image de $a$.
• Remplace $x$ par $(a)$, avec des parenthèses.

Attention : $f(a + b)$ n'est pas $f(a) + f(b)$.

Fonctions linéaires

• $f(x) = ax$, $a = y \div x$.
• La droite passe par l'origine.

Attention : on multiplie, on n'ajoute pas.

Fonctions affines

• $f(x) = mx + p$.
• $m$ : le taux. $p$ : le départ.

Attention : le taux multiplie $x$ ; le montant de départ reste seul.

Fonctions de référence

• Carré, inverse, racine, cube, valeur absolue.
• Connaître variations et courbes.

Attention : l'inverse décroît sur chaque intervalle.

Affectation

• a ← b : $a$ prend la valeur de $b$.
• Les instructions se font dans l'ordre.

Attention : ce n'est pas une égalité.

Boucles

• Pour : nombre de tours connu.
• Tant que : on s'arrête quand la condition devient fausse.

Attention : compte bien les tours.

Fonctions

• def définit, return renvoie.
• random() simule le hasard.

Attention : appelle la fonction avec le bon nombre d'arguments.

Multiplier et diviser des relatifs

• Même signe : positif.
• Signes contraires : négatif.

Attention : négatif fois négatif donne positif.

Produit et inverse

• $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$.
• L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$.

Attention : inverse et opposé sont différents.

Diviser des fractions

• On multiplie par l'inverse du diviseur.
• Diviser par moins de 1 agrandit.

Attention : on inverse la seconde fraction, pas la première.

Calcul littéral

• Développe chaque terme.
• Réduis les termes semblables avec leurs signes.

Attention : un moins devant une parenthèse change tous les signes.

Pythagore

• $a^2 + b^2 = c^2$, avec $c$ l'hypoténuse.
• Pour un autre côté, on soustrait.

Attention : repère d'abord l'hypoténuse.

Réciproque de Pythagore

• $a^2 + b^2 = c^2$ : angle droit.
• Contraposée : égalité fausse, pas rectangle.

Attention : teste toujours avec le plus long côté comme $c$.

Droite des milieux

• $(IJ) \parallel (BC)$.
• $IJ = \dfrac{BC}{2}$.

Attention : c'est la moitié, pas le côté entier.

Droites remarquables

• Médiatrice, médiane, hauteur, bissectrice.
• Triangle rectangle : hypoténuse = diamètre.

Attention : médiane et hauteur sont en général différentes.

Pyramides et cônes

• $V = \dfrac{1}{3}Bh$.
• Cône : $\dfrac{1}{3}\pi r^2h$.

Attention : n'oublie pas le tiers.

Translations

• $(x ; y) \to (x + a ; y + b)$.
• Longueurs et angles sont conservés.

Attention : gauche et bas sont négatifs.

Probabilités

• Équiprobabilité : favorables ÷ total.
• $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ; « au moins un » passe par le contraire.

Attention : vérifie que les issues sont vraiment équiprobables.

Grandeurs quotients

• Quantité pour une unité.
• On divise par le nombre d'unités.

Attention : demande-toi « par quoi ».

Priorités

• Parenthèses, puissances, × ÷, + −.
• Dans $kx^2$, seul $x$ est au carré.

Attention : $x^2$ n'est pas $2x$.

Comparer des relatifs

• Plus à droite : plus grand.
• $|a|$ : distance à 0.

Attention : −8 est plus petit que −3.

Additionner et soustraire

• On se déplace sur la droite graduée.
• Soustraire = ajouter l'opposé.

Attention : moins un négatif donne plus.

Fractions

• Même dénominateur d'abord.
• On ajoute seulement les numérateurs.

Attention : jamais de somme des dénominateurs.

Équations simples

• Opération inverse des deux côtés.
• Une division se défait en multipliant.

Attention : vérifie en remplaçant.

Repérage

• $(x ; y)$ : abscisse puis ordonnée.
• Distance à travers un axe : on ajoute.

Attention : l'abscisse vient d'abord.

Prismes et cylindres

• $V = Bh$.
• Cylindre : $V = \pi r^2h$.

Attention : c'est l'aire de la base, pas son périmètre.

Angles

• Complémentaires : 90°. Supplémentaires : 180°.
• Opposés par le sommet : égaux.

Attention : complémentaire 90, supplémentaire 180.

Demi-tour

• $O$ est le milieu de $[AA']$.
• Longueurs et angles sont conservés.

Attention : ne confonds pas avec la symétrie axiale.

Aire du triangle

• $A = \dfrac{1}{2} b h$.
• Hauteur : perpendiculaire à la base.

Attention : n'oublie pas la moitié.

Parallélogrammes

• Côtés et angles opposés égaux.
• Diagonales : même milieu.

Attention : opposés égaux, consécutifs supplémentaires.

Aire du parallélogramme

• $A = b \times h$.
• La hauteur est perpendiculaire à la base.

Attention : le côté oblique n'est pas la hauteur.

Fréquences

• Effectif ÷ total.
• Moyenne : somme ÷ nombre.

Attention : un secteur se calcule sur 360°.

Proportionnalité

• Quotient constant.
• Droite passant par l'origine.

Attention : un écart constant n'est pas un quotient constant.

Forme factorisée

• Racines : valeurs qui annulent chaque facteur.
• Signe de $a$ à l'extérieur des racines.

Attention : ne te trompe pas de signe : $(x + 3)$ donne $-3$.

Somme et produit

• $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$.
• $x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$.

Attention : attention au signe moins de la somme.

Forme canonique

• $y = a(x - \alpha)^2 + \beta$ : sommet $S(\alpha ; \beta)$.

Attention : attention : $(x + h)$ place le sommet en $-h$.

Discriminant

• $\Delta = b^2 - 4ac$ donne le nombre de racines.
• $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

Attention : $2a$ divise tout le numérateur.

Signe du trinôme

• Signe de $a$, sauf entre les racines.
• $\Delta < 0$ : signe de $a$ partout.

Attention : regarde bien le signe de $a$.

Suites

• Formule explicite : $u_n$ directement à partir de $n$.
• Récurrence : premier terme et passage de $u_n$ à $u_{n + 1}$.

Attention : vérifie ta formule pour le premier rang.

Suites arithmétiques

• On ajoute $r$ : $u_n = u_1 + (n - 1)r$.
• $r = \dfrac{u_q - u_p}{q - p}$.

Attention : il y a $n - 1$ pas de $u_1$ à $u_n$.

Suites géométriques

• On multiplie par $q$ : $u_n = u_1q^{n - 1}$.
• $q$ est un terme divisé par le précédent.

Attention : l'exposant est $n - 1$ pour un premier terme $u_1$.

Sens de variation

• Signe de $u_{n + 1} - u_n$.
• Vrai pour tout $n$.

Attention : quelques termes ne suffisent pas.

Sommes

• $\dfrac{n(n + 1)}{2}$.
• $\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$.

Attention : l'exposant de la formule est $n + 1$.

Nombre dérivé

• Écris et simplifie $f(a + h) - f(a)$.
• Divise par $h$, puis fais tendre $h$ vers 0.

Attention : $f'(a)$ est un coefficient directeur, pas la valeur $f(a)$.

Tangente

• Point $(a ; f(a))$, coefficient $f'(a)$.
• $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

Attention : $y = f'(a)x$ manque en général le point.

Approximation

• $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$.
• $|x|$ n'est pas dérivable en 0.

Attention : $h$ doit être petit.

Fonction dérivée

• $f'(x)$ est le coefficient directeur de la tangente en $x$.
• $f$ croît : $f' \geq 0$. $f$ décroît : $f' \leq 0$.

Attention : $f' = 0$ (tangente horizontale) n'est pas $f = 0$ (sur l'axe).

Dérivées usuelles

• $(x^n)' = nx^{n - 1}$ ; écris d'abord racines et fractions comme il faut.
• Les constantes multiplicatives restent ; les sommes se séparent.

Attention : avec un exposant négatif, $-2 - 1 = -3$.

Opérations

• $(uv)' = u'v + uv'$.
• $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Attention : jamais $(uv)' = u'v'$.

Parité

• Paire : $f(-x) = f(x)$.
• Impaire : $f(-x) = -f(x)$.

Attention : beaucoup de fonctions ne sont ni l'une ni l'autre.

Variations

• $f' \geq 0$ : $f$ croît. $f' \leq 0$ : $f$ décroît.
• On résume dans un tableau de variations.

Attention : ne confonds pas signe de $f'$ et signe de $f$.

Optimisation

• Annule $f'$.
• Vérifie un changement de signe.

Attention : $f'(a) = 0$ ne suffit pas.

Exponentielle

• $\exp' = \exp$, $\exp(0) = 1$.
• $\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x\mathrm{e}^y$.

Attention : $\mathrm{e}^{x + y}$ n'est pas $\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^y$.

Variations de exp

• Strictement positive et croissante.
• $(\mathrm{e}^{at})' = a\mathrm{e}^{at}$.

Attention : n'oublie pas le facteur $a$.

Radian

• $180° = \pi$ rad.
• $x$ et $x + 2\pi$ : même point.

Attention : la calculatrice doit être en radians.

Cosinus et sinus

• $M(x) = (\cos x ; \sin x)$.
• $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Attention : place toujours le point sur le cercle.

Produit scalaire

• $\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$.
• Nul si orthogonaux.

Attention : c'est un nombre, il peut être négatif.

Coordonnées

• $xx' + yy'$.
• Orthogonaux : produit nul.

Attention : c'est un nombre, pas un vecteur.

Al-Kashi

• $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \times AC\cos\widehat{A}$.
• Généralise Pythagore.

Attention : attention au signe si l'angle est obtus.

$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}$

• $= MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}$.
• Nul : cercle de diamètre $[AB]$.

Attention : le rayon est la moitié de $AB$.

Vecteur normal

• $ax + by + c = 0$ : $\vec{n}(a ; b)$.
• Pour $c$ : remplace un point.

Attention : normal n'est pas directeur.

Projeté orthogonal

• $H \in d$ et $(AH) \perp d$.
• Intersection de $d$ et de la perpendiculaire.

Attention : vérifie que $H$ est sur $d$.

Cercle

• $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
• Centre $(a ; b)$, rayon $r$.

Attention : attention au signe et au carré.

Conditionnelle

• $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$.
• Arbre : produit le long d'un chemin, somme des chemins.

Attention : $P_A(B)$ n'est pas $P(A \cap B)$.

Indépendance

• $P(A \cap B) = P(A)P(B)$.
• $P_A(B) = P(B)$.

Attention : à ne pas confondre avec incompatibles.

Loi de probabilité

• Valeurs et probabilités.
• Somme = 1.

Attention : vérifie toujours la somme.

Espérance et variance

• $E(X) = \sum x_ip_i$.
• $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$.

Attention : pondère par les probabilités.

Intervalles

• $[a ; b]$ inclut les bornes.
• $|x - a| \leq r \iff x \in [a - r ; a + r]$.

Attention : l'infini est toujours ouvert.

Ensembles de nombres

• $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
• $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont irrationnels.

Attention : illimité ne veut pas dire irrationnel.

Racines carrées

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$.
• $\sqrt{a^2} = |a|$.

Attention : pas de règle pour une somme.

Isoler une variable

• Mêmes opérations qu'avec des nombres.
• Les autres lettres sont des nombres inconnus.

Attention : divise tous les termes.

Inégalités

• Le sens change en multipliant par un négatif.
• On compare par différence ou par quotient.

Attention : deux inégalités ne se soustraient pas.

Équations particulières

• Écarte les valeurs interdites.
• $x^2 = a$ : deux solutions si $a > 0$.

Attention : pense à la solution négative.

Colinéarité

• $\vec{v} = k\vec{u}$.
• Alignement : $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$.

Attention : colinéaires ne veut pas dire égaux.

Coordonnées

• $\overrightarrow{AB}$ : $B - A$.
• Norme : $\sqrt{x^2 + y^2}$.

Attention : arrivée moins départ.

Déterminant

• $xy' - yx'$.
• Nul : colinéaires.

Attention : respecte l'ordre $x$, $y'$.

Équation cartésienne

• $ax + by + c = 0$.
• Directeur : $(-b ; a)$.

Attention : on vérifie un point en le remplaçant.

Équation réduite

• $y = mx + p$.
• $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

Attention : $\Delta y$ est au numérateur.

Position de deux droites

• Même pente : parallèles.
• Sinon, résoudre $mx + p = m'x + p'$.

Attention : vérifie avec l'autre équation.

Ensemble de définition

• Pas de dénominateur nul, pas de négatif sous une racine.
• $[a ; +\infty[$ inclut $a$ ; $]a ; +\infty[$ non.

Attention : les valeurs prises se lisent sur l'axe des ordonnées.

Équations et inéquations

• Antécédents sur le graphique.
• $f(x) < k$ : sous la droite.

Attention : pense aux deux solutions d'un carré.

Tableau de signes

• Annule chaque facteur.
• Règle des signes.

Attention : le dénominateur donne une valeur interdite.

Variations

• Tableau de variations.
• Maximum : plus grande valeur.

Attention : valeur et abscisse sont différentes.

Évolutions successives

• On multiplie les coefficients.
• Réciproque : on divise.

Attention : les taux ne s'additionnent pas.

Écart type

• $V$ : moyenne des carrés des écarts.
• $\sigma = \sqrt{V}$.

Attention : n'oublie pas la racine.

Limite d'une suite

• Convergente : les termes se rapprochent d'un réel $\ell$.
• Limite $+\infty$ : les termes dépassent tout nombre $A$, et restent au-dessus.

Attention : croissante ne veut pas dire « tend vers $+\infty$ ».

Limite de $q^n$

• $q > 1$ : $+\infty$.
• $-1 < q < 1$ : $0$.
• $q \leq -1$ : pas de limite.

Attention : pour un $q$ négatif, regarde le signe alterné.

Somme géométrique

• $\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$.
• Si $0 \leq q < 1$ : la limite est $\dfrac{1}{1 - q}$.

Attention : vérifie que $q < 1$ avant de passer à la limite.

Arithmético-géométrique

• Solution constante $\ell$.
• $v_n = u_n - \ell$ est géométrique.

Attention : $u_n$ n'est pas géométrique elle-même.

Suites $u_{n+1} = f(u_n)$

• Si elle converge et si $f$ est continue : $\ell = f(\ell)$.
• On résout, puis on choisit la solution compatible avec la suite.

Attention : il faut d'abord savoir que la suite converge.

Limites en l'infini

• On factorise par le terme de plus haut degré.
• Degré du haut plus petit : 0. Égaux : quotient des coefficients dominants. Plus grand : $\pm\infty$.
• Une limite finie $\ell$ donne l'asymptote $y = \ell$.

Attention : ce ne sont pas les constantes qui décident de la limite en l'infini.

Limites infinies

• Dénominateur → 0, numérateur non nul : $\pm\infty$, asymptote verticale.
• On teste une valeur juste à côté de $a$ pour le signe.

Attention : à gauche et à droite de l'asymptote, les signes peuvent différer.

Continuité en $a$

1. $f(a)$ existe.
2. $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)$ existe.
3. Elles sont égales.

Attention : que la limite existe ne suffit pas, $f(a)$ doit lui être égale.

Théorème des valeurs intermédiaires

1. Vérifier que $f$ est continue sur $[a ; b]$.
2. Comparer $f(a)$ et $f(b)$ à $k$ (souvent 0).
3. Conclure à l'existence d'une solution ; à son unicité si $f$ est strictement monotone.

Attention : sans continuité, pas de conclusion.

Réciproque

• $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$.
• Symétrie par rapport à $y = x$.

Attention : $f^{-1}$ n'est pas $\dfrac{1}{f}$.

Logarithme népérien

• $\ln$ est défini sur $]0 ; +\infty[$.
• $\mathrm{e}^x = a \iff x = \ln a$ (avec $a > 0$).
• $\ln 1 = 0$ et $\ln \mathrm{e} = 1$.

Attention : $\ln$ d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

Propriétés de ln ($a, b > 0$)

• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
• $\ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$.
• $\ln(a^n) = n\ln a$.

Attention : il n'y a pas de formule pour $\ln(a + b)$.

Fonction ln

• $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ et $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$.
• Strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$.
• Limites : $-\infty$ en 0, $+\infty$ en $+\infty$.

Attention : $\ln$ tend vers $+\infty$ très lentement, mais il y tend.

Équations et inéquations

1. Écrire la condition d'existence.
2. Résoudre en utilisant la croissance de $\ln$ ou de $\exp$.
3. Garder les solutions qui respectent la condition.

Attention : une solution de l'équation transformée n'est pas toujours une solution de départ.

Croissance comparée

• $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ en $+\infty$.
• $x^n\ln x \to 0$ en 0.

Attention : en cas de forme indéterminée, c'est la puissance de $x$ qui gagne sur $\ln x$.

Dérivée d'une composée

$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ : dérivée de l'extérieur (intérieur gardé) fois dérivée de l'intérieur.

Attention : ne pas oublier le facteur $u'(x)$.

Primitives

• $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ; $\dfrac{1}{x} \to \ln x$ ; $\mathrm{e}^x \to \mathrm{e}^x$ ; $\cos \to \sin$ ; $\sin \to -\cos$.
• Une valeur donnée permet de trouver $C$.

Attention : vérifie toujours en dérivant.

Formes composées

• $u'\mathrm{e}^u \to \mathrm{e}^u$ ; $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$ ; $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$.
• S'il manque un facteur constant, on l'ajuste.

Attention : un facteur $x$ ne s'ajuste pas ; seul un facteur constant le peut.

Équations différentielles

• Vérifier une solution : dériver, remplacer, comparer.
• Solution constante : on résout $y' = 0$.

Attention : une solution constante vérifie $y' = 0$, pas $y = 0$.

$y' = ay$

• Solutions : $C\mathrm{e}^{ax}$.
• La condition initiale donne $C$.

Attention : $C$ multiplie l'exponentielle, il ne s'y ajoute pas.

$y' = ay + b$

1. Solution constante : $-\dfrac{b}{a}$.
2. Solutions : $C\mathrm{e}^{ax} - \dfrac{b}{a}$.
3. Une condition initiale donne $C$.

Attention : pour trouver $C$, utilise la solution complète, avec la constante.

Dérivée seconde

• $f'' \geq 0$ : $f'$ est croissante. $f'' \leq 0$ : $f'$ est décroissante.
• L'accélération est la dérivée de la vitesse.

Attention : $f'$ dit si la courbe monte ou descend ; $f''$ dit comment elle se courbe.

Convexité

• Convexe : courbe sous ses sécantes, au-dessus de ses tangentes, $f'' \geq 0$.
• Concave : courbe au-dessus de ses sécantes, sous ses tangentes, $f'' \leq 0$.

Attention : le sens de variation ne dit rien de la convexité.

Point d'inflexion

• La courbe y traverse sa tangente, la convexité change.
• $f''$ s'annule en changeant de signe.

Attention : pour $x^4$, $f''(0) = 0$ mais il n'y a pas d'inflexion.

Étude de fonction

1. $f'(x)$, factorisée.
2. Signe de $f'$.
3. Limites.
4. Tableau de variations.

Attention : $\mathrm{e}^{u}$ est toujours positif, il ne change pas le signe.

Intégrale

• Aire algébrique : sous l'axe, elle est négative.
• Bornes échangées : le signe change. Intervalles voisins : on additionne (Chasles).
• $\displaystyle\int_a^b c\,\mathrm{d}x = c(b - a)$.

Attention : une constante s'intègre sur toute la longueur.

Méthode des rectangles

• $\Delta x = \dfrac{b - a}{n}$.
• Somme des $f(x_i)\Delta x$.

Attention : multiplie par la largeur.

Valeur moyenne

$\mu = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$.

Attention : on divise par la longueur ; on ne fait pas la moyenne des valeurs aux extrémités.

Fonction intégrale

• $F_a(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
• $F_a$ croît là où $f > 0$ et décroît là où $f < 0$.

Attention : la dérivée redonne $f$, pas une primitive de $f$.

Calcul d'une intégrale

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a)$, avec $F' = f$.

Attention : borne du haut moins borne du bas ; vérifie les signes de la primitive.

Aire entre deux courbes

1. Chercher les points d'intersection.
2. Voir quelle courbe est au-dessus.
3. Intégrer « haut moins bas ».

Attention : un résultat négatif signifie que l'ordre est inversé.

Lois de base

• Uniforme : $E = \dfrac{n + 1}{2}$.
• Bernoulli : $E = p$ et $\sigma = \sqrt{p(1 - p)}$.

Attention : l'écart type a une racine carrée.

Arbres

• On multiplie le long d'un chemin.
• On additionne les chemins menant au même événement.

Attention : ne compte aucun chemin deux fois, n'en oublie aucun.

Loi binomiale

$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$ pour $X$ suivant $\mathcal{B}(n ; p)$.

Attention : multiplie par le nombre de chemins.

Espérance et écart type

$E(X) = np$ et $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)}$.

Attention : l'écart type est la racine carrée de $np(1 - p)$.

Seuil et intervalles

• $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a - 1)$.
• « Au moins un » : on passe par le contraire.

Attention : au $a - 1$.

Loi géométrique

$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}p$ et $E(X) = \dfrac{1}{p}$.

Attention : il y a $k - 1$ échecs avant le premier succès.

Bayes

• $P_B(A) = \dfrac{P_A(B)P(A)}{P(B)}$.
• $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont différentes.

Attention : pour un événement rare, beaucoup de positifs sont faux.

Lois à densité

• Probabilité = aire sous la densité.
• $P(X = a) = 0$.

Attention : la densité n'est pas une probabilité.

Uniforme

• $f = \dfrac{1}{b - a}$.
• $E = \dfrac{a + b}{2}$.

Attention : une probabilité est un rapport de longueurs.

Loi exponentielle

• $P(X > t) = \mathrm{e}^{-\lambda t}$.
• $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.

Attention : pas de mémoire : l'attente passée ne compte pas.

Nuage de points

• $G(\bar{x} ; \bar{y})$.
• Ajustement affine : droite proche du nuage.

Attention : corrélation ne veut pas dire causalité.

Moindres carrés

• $a = \dfrac{\mathrm{cov}(x ; y)}{V(x)}$.
• Passe par $G$.

Attention : la covariance est au numérateur.

Forme algébrique

• $z = a + ib$, avec $a$ et $b$ réels.
• $i^2 = -1$.

Attention : la partie imaginaire de $a + ib$ est $b$, pas $ib$.

Conjugué

• $\bar{z} = a - ib$.
• $z\bar{z} = a^2 + b^2$, un réel positif.

Attention : le conjugué ne change pas la partie réelle.

Équations dans $\mathbb{C}$

• $az = b$ : on divise par $a$.
• Avec $\bar{z}$ : on pose $z = x + iy$, puis on identifie.

Attention : identifie séparément parties réelle et imaginaire.

Binôme dans $\mathbb{C}$

• Mêmes coefficients que dans $\mathbb{R}$.
• Puissances de $i$ : $i, -1, -i, 1$.

Attention : n'oublie pas les termes du milieu.

Module

• $|a + ib| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• $|zz'| = |z| \times |z'|$.

Attention : le module est un réel positif, sans $i$.

Forme trigonométrique

• $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$.
• $r = |z|$.

Attention : vérifie cosinus et sinus pour choisir le quadrant.

Formules

• $\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.
• $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$.

Attention : au signe moins du cosinus.

Forme exponentielle

• $z = r\mathrm{e}^{i\theta}$.
• Produit : on multiplie les modules, on additionne les arguments.

Attention : ne confonds pas produit et somme de complexes.

Euler et Moivre

• $\cos\theta = \dfrac{\mathrm{e}^{i\theta} + \mathrm{e}^{-i\theta}}{2}$.
• $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$.

Attention : au facteur $2i$ dans le sinus.

Second degré dans $\mathbb{C}$

• $\Delta < 0$ : deux solutions conjuguées.
• $z = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Attention : n'oublie pas la racine conjuguée.

Racines et facteurs

• $P(a) = 0 \iff P(z) = (z - a)Q(z)$.
• Degré $n$ : au plus $n$ racines.

Attention : le facteur associé à la racine $a$ est $z - a$.

Géométrie

• Module de $\dfrac{c - a}{b - a}$ : rapport $\dfrac{AC}{AB}$.
• Argument : angle $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$.

Attention : réel : alignés ; imaginaire pur : perpendiculaires.

Racines de l'unité

• $\mathbb{U}_n = \{\mathrm{e}^{2ik\pi/n}, 0 \leq k \leq n - 1\}$.
• Polygone régulier à $n$ sommets.

Attention : il y en a exactement $n$.

Division euclidienne

• $a = bq + r$, avec $0 \leq r < b$.
• $a \mid b$ signifie $b = ka$.

Attention : le reste n'est jamais négatif.

Congruences

• $a \equiv b\ [n] \iff n \mid a - b$.
• On additionne, on multiplie, on élève à une puissance.

Attention : on ne divise pas dans une congruence.

Nombres premiers

• Exactement deux diviseurs positifs.
• Décomposition unique.

Attention : 1 n'est pas premier.

Fermat

• $a^{p - 1} \equiv 1\ [p]$, pour $p$ premier ne divisant pas $a$.
• $a^p \equiv a\ [p]$.

Attention : vérifie que $p$ est premier.

PGCD

• $\mathrm{PGCD}(a ; b) = \mathrm{PGCD}(b ; r)$.
• Dernier reste non nul.

Attention : ne confonds pas avec le dernier quotient.

Bézout

• $au + bv = 1 \iff \mathrm{PGCD}(a ; b) = 1$.
• On remonte l'algorithme d'Euclide.

Attention : le couple $(u ; v)$ n'est pas unique.

Gauss

• Si $a \mid bc$ et $\mathrm{PGCD}(a ; b) = 1$, alors $a \mid c$.
• Base des équations diophantiennes.

Attention : vérifie toujours « premiers entre eux ».

Inverse modulo $n$

• Il existe si $\mathrm{PGCD}(a ; n) = 1$.
• $ax \equiv b \iff x \equiv a'b\ [n]$.

Attention : on multiplie, on ne divise pas.

Équations diophantiennes

• Existence : $\mathrm{PGCD}(a ; b) \mid c$.
• Solution particulière, puis Gauss.

Attention : il y a une infinité de solutions.

Graphes

• Ordre : nombre de sommets.
• Somme des degrés = 2 × nombre d'arêtes.

Attention : une chaîne se mesure en arêtes.

Produit de matrices

• Ligne par colonne.
• $AB \neq BA$ en général.

Attention : les colonnes de $A$ doivent correspondre aux lignes de $B$.

Inverse et puissances

• $A^{-1}$ existe si $ad - bc \neq 0$.
• $A^n = PD^nP^{-1}$.

Attention : une puissance se calcule par produit de matrices, pas terme à terme.

Chemins

• Coefficient $(i ; j)$ de $A^n$ : chemins de longueur $n$ de $i$ à $j$.
• Graphe non orienté : $A$ est symétrique.

Attention : la puissance est la longueur.

Systèmes

• $AX = B \iff X = A^{-1}B$.
• $X' = AX$ code une transformation.

Attention : $A^{-1}$ se place à gauche.

Suites de matrices

• $U_n = A^nU_0$.
• Avec $C$ : on passe par le point fixe $S$.

Attention : c'est une puissance, pas un multiple.

Chaînes de Markov

• $\pi_n = \pi_0P^n$.
• Lignes de $P$ : somme 1.

Attention : lis $p_{ij}$ de $i$ vers $j$.

Distribution invariante

• $\pi P = \pi$.
• Somme des coefficients : 1.

Attention : n'oublie pas la condition de somme.

Additionner ou multiplier ?

• Ceci et cela (choix successifs) : on multiplie.
• Ceci ou cela (cas disjoints) : on additionne.

Attention : pose-toi la question à chaque étape du dénombrement.

k-uplets et parties

• $k$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments : $n^k$.
• Parties d'un ensemble à $n$ éléments : $2^n$.

Attention : c'est $n^k$, et non $k^n$. Lis bien qui est le nombre de choix.

Éléments distincts

• $k$-uplets distincts : $n(n-1)\cdots(n-k+1)$.
• Permutations de $n$ éléments : $n!$, et $0! = 1$.

Attention : avec répétitions, c'est $n^k$. Sans répétitions, le nombre de choix baisse.

Combinaisons

• $\dbinom{n}{k}$ : nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.
• $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$.

Attention : si l'ordre compte, ce n'est pas une combinaison.

Triangle de Pascal

• $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$.
• $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$.

Attention : le coefficient de la ligne $n+1$ vient des deux termes juste au-dessus de lui.

Vecteurs de l'espace

• Chasles et la règle du parallélogramme restent vrais.
• Combinaison linéaire : $a\vec{u} + b\vec{v} + c\vec{w}$.

Attention : dans l'espace, il y a trois coordonnées.

Positions relatives

• Deux droites : sécantes, parallèles ou non coplanaires.
• Droite et plan : sécants ou parallèles.
• Deux plans : sécants selon une droite, ou parallèles.

Attention : dans l'espace, non parallèles ne veut pas dire sécantes.

Bases et repères

• Base : trois vecteurs non coplanaires.
• $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.

Attention : trois vecteurs non nuls ne font pas toujours une base.

Produit scalaire

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = \lVert\vec{u}\rVert \lVert\vec{v}\rVert \cos\theta$.
• Orthogonaux $\iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• $\vec{u} \cdot (a\vec{v} + b\vec{w}) = a\,\vec{u} \cdot \vec{v} + b\,\vec{u} \cdot \vec{w}$.

Attention : le résultat est un nombre, pas un vecteur.

En repère orthonormé

• $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
• $\lVert\vec{u}\rVert = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• $AB = \lVert\overrightarrow{AB}\rVert$.

Attention : ne pas oublier la racine carrée, ni la troisième coordonnée.

Vecteur normal

• $\vec{n}$ normal à $P$ : orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de $P$.
• Plans perpendiculaires : vecteurs normaux orthogonaux.
• Plans parallèles : vecteurs normaux colinéaires.

Attention : un vecteur normal n'est pas un vecteur directeur du plan.

Représentation paramétrique

• $x = x_A + at$, $y = y_A + bt$, $z = z_A + ct$.
• Constantes : un point. Coefficients de $t$ : un vecteur directeur.

Attention : pour tester un point, le même $t$ doit convenir aux trois équations.

Équation d'un plan

• $\vec{n}(a ; b ; c)$ normal : $ax + by + cz + d = 0$.
• On trouve $d$ avec un point du plan.

Attention : ne pas oublier $d$, sinon le plan passerait par l'origine.