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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

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1. Règles de calcul sur les puissances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$2^3 \times 2^4$ signifie $(2 \times 2 \times 2)(2 \times 2 \times 2 \times 2)$ . Combien de facteurs 2 cela fait-il ?

$7$
$12$

L'idée clé

Les règles viennent du comptage des facteurs.

Pour une même base :

a^m \times a^n = a^{m + n}

\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

(a^m)^n = a^{mn}

. De plus,

a^n \times b^n = (ab)^n

Exemple corrigé

Simplifie $\dfrac{(5^2)^3 \times 5^4}{5^7}$ .

(5^2)^3 = 5^6

Puissance d'une puissance.

5^6 \times 5^4 = 5^{10}

Produit.

5^{10} \div 5^7 = 5^3

Quotient.

À toi, guidé

À toi : $3^5 \times 3^2 = 3^{?}$ .

7

5 + 2.

Entraînement ★

$6^{ 2 } \times 6^{ 5 } = 6^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$8^{ 5 } \times 8^{ 9 } = 8^{?}$ . Quel est l'exposant ?

$\dfrac{ 3^{ 12 } }{ 3^{ 5 } } = 3^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Attention !

Entraînement ★★

$\left(9^{ 4 }\right)^{ 4 } = 9^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$\left(6^{ 3 }\right)^{ 3 } = 6^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$6^{ 2 } \times 6^{ 5 } = 6^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$8^{ 5 } \times 8^{ 9 } = 8^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$9^{ 3 } \times 9^{ 7 } = 9^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Fiche résumé

Règles des puissances

Produit : on additionne. Quotient : on soustrait.
Puissance d'une puissance : on multiplie.

Attention : en cas de doute, compte les facteurs.

2. Exposants nuls et négatifs

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$10^3 = 1000$ , $10^2 = 100$ , $10^1 = 10$ . À chaque étape, on divise par 10. Que vaut $10^0$ ?

L'idée clé

On continue à diviser pour aller sous l'exposant 1.

Pour

a \neq 0

a^0 = 1

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}

. Les règles de calcul restent vraies.

Exemple corrigé

Calcule $2^{-3}$ et $10^5 \times 10^{-2}$ .

2^{-3} = \dfrac{1}{8}

1 sur 2³.

10^5 \times 10^{-2} = 10^3

5 + (−2).

À toi, guidé

À toi : écris $10^{-2}$ comme une fraction.

\dfrac{1}{100}

1/10².

Entraînement ★

Écris $5^{-1}$ sous forme de fraction.
Écris $4^{-1}$ sous forme de fraction.

Que vaut $51^0$ ?

Attention !

Entraînement ★★

$10^{ 6 } \times 10^{-9} = 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?
$10^{ 8 } \times 10^{-9} = 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Écris $5^{-1}$ sous forme de fraction.
Écris $4^{-1}$ sous forme de fraction.
Écris $2^{-1}$ sous forme de fraction.

Fiche résumé

Exposants nuls et négatifs

$a^0 = 1$ .
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ .

Attention : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.

3. Notation scientifique

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le Soleil est à environ 150 000 000 km de la Terre. Quelle écriture est égale à ce nombre ?

$1{,}5 \times 10^8$
$1{,}5 \times 10^9$

L'idée clé

Notation scientifique : un seul chiffre non nul avant la virgule, multiplié par une puissance de 10.

Un nombre est en notation scientifique s'il s'écrit

a \times 10^n

, avec

1 \leq a < 10

n

entier. Les grands nombres ont un

n

positif ; les nombres entre 0 et 1 un

n

négatif.

Exemple corrigé

Écris $0{,}00042$ en notation scientifique.

4{,}2

On déplace la virgule de 4 rangs.

4{,}2 \times 10^{-4}

Petit nombre : exposant négatif.

À toi, guidé

À toi : $6\,000\,000 = 6 \times 10^{?}$ .

6

Six zéros.

Entraînement ★

Écris $900000000$ sous la forme $9 \times 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?
Écris $8000000$ sous la forme $8 \times 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Combien de fois $8 \times 10^{ 7 }$ est-il plus grand que $8 \times 10^{ 4 }$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quand on écrit $2 \times 10^{-6}$ en écriture décimale, combien de zéros y a-t-il entre la virgule et le chiffre 2 ?
Quand on écrit $6 \times 10^{-8}$ en écriture décimale, combien de zéros y a-t-il entre la virgule et le chiffre 6 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Écris $900000000$ sous la forme $9 \times 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?
Écris $8000000$ sous la forme $8 \times 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?
Écris $800000000$ sous la forme $8 \times 10^{?}$ . Quel est l'exposant ?

Fiche résumé

Notation scientifique

$a \times 10^n$ , avec $1 \leq a < 10$ .
Compte les rangs, pas les chiffres.

Attention : un exposant négatif donne un nombre petit, pas négatif.

4. Racines carrées et racines cubiques

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un carreau carré a une aire de 49 cm². Quelle est la longueur de son côté ?

7 cm
24,5 cm

L'idée clé

La racine carrée défait le carré.

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ , pour $a \geq 0$ : c'est le côté d'un carré d'aire $a$ .

Si $a$ n'est pas un carré parfait, $\sqrt{a}$ est entre deux entiers consécutifs. $x^2 = a$ , avec $a > 0$ , a deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .

Exemple corrigé

Encadre $\sqrt{30}$ .

5 < \sqrt{30} < 6

25 < 30 < 36.

À toi, guidé

À toi : résous $x^2 = 25$ : quelle est la solution positive ?

5

5 × 5 = 25.

Entraînement ★

Un carré a une aire de 225 unités d'aire. Quelle est la longueur de son côté ?
Un carré a une aire de 144 unités d'aire. Quelle est la longueur de son côté ?

Un cube a un volume de 343 unités de volume. Quelle est la longueur de chaque arête ?

Attention !

Entraînement ★★

$\sqrt{ 37 }$ est compris entre deux entiers consécutifs. Quel est le plus petit ?
$\sqrt{ 17 }$ est compris entre deux entiers consécutifs. Quel est le plus petit ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Un carré a une aire de 225 unités d'aire. Quelle est la longueur de son côté ?
Un carré a une aire de 144 unités d'aire. Quelle est la longueur de son côté ?
Un carré a une aire de 49 unités d'aire. Quelle est la longueur de son côté ?

Fiche résumé

Racine carrée

$\sqrt{a}$ : côté d'un carré d'aire $a$ .
$x^2 = a$ : deux solutions si $a > 0$ .

Attention : une racine n'est pas une moitié.

5. PGCD et PPCM

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Des bus partent toutes les 4 minutes et des trains toutes les 6 minutes. Ils partent ensemble maintenant. Quand repartent-ils ensemble ?

Dans 12 minutes
Dans 2 minutes

L'idée clé

Le PGCD partage en groupes égaux ; le PPCM aligne les rythmes.

Le PGCD est le plus grand diviseur commun de deux entiers. Le PPCM est leur plus petit multiple commun. Par exemple, PGCD(12 ; 18) = 6 et PPCM(12 ; 18) = 36.

Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Exemple corrigé

Pour 12 et 20.

PGCD = 4

Diviseurs communs : 1, 2, 4.

PPCM = 60

Multiples de 20 : 20, 40, 60.

À toi, guidé

À toi : quel est le PGCD de 18 et 24 ?

6

Le plus grand diviseur commun.

Entraînement ★

Quel est le PGCD de 12 et 30 ?
Quel est le PGCD de 20 et 28 ?

Des jus sont vendus par paquets de 5 et des pailles par paquets de 7. Quel est le plus petit nombre de chaque qu'on peut acheter pour qu'il y en ait autant ?

Attention !

Entraînement ★★

Quel est le PPCM de 18 et 30 ?
Quel est le PPCM de 9 et 15 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quel est le PGCD de 12 et 30 ?
Quel est le PGCD de 20 et 28 ?
Quel est le PGCD de 14 et 10 ?

Fiche résumé

Diviseurs et multiples

PGCD : le plus grand diviseur commun.
PPCM : le plus petit multiple commun.

Attention : ne les confonds pas.

6. Entiers, multiples, diviseurs et parité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

15 est-il un multiple de 5 ?

Oui : $15 = 5 \times 3$
Non : c'est 5 qui est multiple de 15

L'idée clé

$\mathbb{N}$ contient les entiers naturels, $\mathbb{Z}$ les entiers relatifs.

$a$ est multiple de $b$ , et $b$ diviseur de $a$ , s'il existe un entier $k$ tel que $a = kb$ .

$n$ est pair si $n = 2k$ , impair si $n = 2k + 1$ . Une fraction est irréductible si seul 1 divise à la fois son numérateur et son dénominateur.

Exemple corrigé

Montre que la somme de deux nombres pairs est paire.

2k + 2k' = 2(k + k')

On écrit.

La somme est paire.

C'est un multiple de 2.

À toi, guidé

À toi : simplifie $\dfrac{18}{24}$ : quel est le numérateur de la fraction irréductible ?

3

Diviser par 6.

Entraînement ★

Écris $\dfrac{ 14 }{ 35 }$ sous forme irréductible. Donne le dénominateur.
Écris $\dfrac{ 20 }{ 25 }$ sous forme irréductible. Donne le dénominateur.
Écris $\dfrac{ 32 }{ 40 }$ sous forme irréductible. Donne le dénominateur.

Attention !

Entraînement ★★

Pour tout entier $n$ , que dire de $2n + 7$ ?
1. Il est impair
2. Il est pair
3. Cela dépend de $n$
Pour tout entier $n$ , que dire de $2n + 13$ ?
1. Il est impair
2. Il est pair
3. Cela dépend de $n$

Quel est le $7$ -ième multiple positif de 6 ?

Lequel de ces nombres est un diviseur de $54$ ?
1. $9$
2. $108$
3. $55$

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Écris $\dfrac{ 14 }{ 35 }$ sous forme irréductible. Donne le dénominateur.
Écris $\dfrac{ 20 }{ 25 }$ sous forme irréductible. Donne le dénominateur.
Écris $\dfrac{ 32 }{ 40 }$ sous forme irréductible. Donne le dénominateur.

Fiche résumé

Entiers

$a = kb$ .
Pair : $2k$ . Impair : $2k + 1$ .

Attention : multiple et diviseur vont dans deux sens différents.

Corrigé: Puissances, racines et arithmétique

1. Règles de calcul sur les puissances

$7$
$14$

$16$
$9$

$7$
$14$
$10$

2. Exposants nuls et négatifs

$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{4}$

$-3$
$-1$

$\frac{1}{5}$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$

3. Notation scientifique

$1000$

4. Racines carrées et racines cubiques

$15$
$12$

$15$
$12$
$7$

5. PGCD et PPCM

$35$

$90$
$45$

6. Entiers, multiples, diviseurs et parité

Il est impair
Il est impair

$42$