Statistiques et probabilités

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Moyenne, médiane et quartiles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On a les notes 8, 10, 15. Quelle est la moyenne ?

  1. 1111
  2. 1010

L'idée clé

Trois indicateurs de position.

Figure non à l'échelle

La moyenne xˉ=∑nixiN\bar{x} = \dfrac{\sum n_ix_i}{N} pondère par les effectifs. La médiane partage la série triée en deux parts égales.

Q1Q_1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; Q3Q_3, de même avec 75 %.

Exemple corrigé

Série triée : 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15.

Médiane =7+82=7,5= \dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5
N = 8, entre 4e et 5e.
Q1=4Q_1 = 4
8 × 0,25 = 2.
Q3=9Q_3 = 9
8 × 0,75 = 6.

À toi, guidé

À toi : moyenne de 10 (effectif 3) et 20 (effectif 1) ?

12,512{,}5
50 ÷ 4.

Entraînement ★

  1. Une série a 4 fois la valeur 4 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  2. Une série a 3 fois la valeur 9 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  3. Une série a 2 fois la valeur 7 et une fois la valeur 11. Calcule sa moyenne.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la médiane de 1,3,51, 3, 5 ?
  2. Quelle est la médiane de 1,2,31, 2, 3 ?
  1. Calcule la moyenne de 77, 88, 99 et 1010.
  1. Quelle est la médiane de 88, 99, 1111 et 1212 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Une série a 4 fois la valeur 4 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  2. Une série a 3 fois la valeur 9 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  3. Une série a 2 fois la valeur 7 et une fois la valeur 11. Calcule sa moyenne.

Fiche résumé

Indicateurs

  • Moyenne pondérée.
  • Médiane, Q1Q_1, Q3Q_3 sur une série triée.

Attention : trie d'abord.

2. Boîtes à moustaches

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans une boîte à moustaches, que marque le trait à l'intérieur de la boîte ?

  1. La médiane
  2. La moyenne

L'idée clé

Cinq nombres résument la série.

Une boîte à moustaches montre le minimum, Q1Q_1, la médiane, Q3Q_3 et le maximum. La boîte va de Q1Q_1 à Q3Q_3.

L'écart interquartile est Q3−Q1Q_3 - Q_1 ; l'étendue est max − min. Environ la moitié des valeurs est dans la boîte.

Exemple corrigé

Série : min 3, Q1=5Q_1 = 5, médiane 8, Q3=12Q_3 = 12, max 20.

20−3=1720 - 3 = 17
Étendue.
12−5=712 - 5 = 7
Écart interquartile.

À toi, guidé

À toi : quelle part environ des valeurs est sous la médiane ?

5050 %
La moitié.

Entraînement ★

  1. Q1=2Q_1 = 2 et Q3=5Q_3 = 5. Calcule l'écart interquartile.
  2. Q1=2Q_1 = 2 et Q3=6Q_3 = 6. Calcule l'écart interquartile.
  3. Q1=5Q_1 = 5 et Q3=11Q_3 = 11. Calcule l'écart interquartile.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Le minimum vaut 5 et le maximum 23. Calcule l'étendue.
  2. Le minimum vaut 8 et le maximum 14. Calcule l'étendue.
  1. Dans un diagramme en boîte, que représente le trait à l'intérieur de la boîte ?
    1. La médiane
    2. La moyenne
    3. Le maximum
  1. Quelle part environ des valeurs se trouve entre Q1Q_1 et Q3Q_3 ?
    1. Environ 50 %
    2. Environ 25 %
    3. Environ 100 %

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Q1=2Q_1 = 2 et Q3=5Q_3 = 5. Calcule l'écart interquartile.
  2. Q1=2Q_1 = 2 et Q3=6Q_3 = 6. Calcule l'écart interquartile.
  3. Q1=5Q_1 = 5 et Q3=11Q_3 = 11. Calcule l'écart interquartile.

Fiche résumé

Boîte à moustaches

  • Min, Q1Q_1, médiane, Q3Q_3, max.
  • Écart interquartile : Q3−Q1Q_3 - Q_1.

Attention : la moustache n'est pas la moyenne.

3. Réunion, intersection et contraire

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On tire une carte : AA « cœur », BB « roi ». Que signifie A∩BA \cap B ?

  1. « Le roi de cœur »
  2. « Un cœur ou un roi »

L'idée clé

Deux événements peuvent se chevaucher.

Figure non à l'échelle

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Si AA et BB sont incompatibles, P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0.

Exemple corrigé

Jeu de 32 cartes : cœur ou roi.

832+432−132\dfrac{8}{32} + \dfrac{4}{32} - \dfrac{1}{32}
Probabilités.
1132\dfrac{11}{32}
On calcule.

À toi, guidé

À toi : P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3, P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

0,70{,}7
0,5 + 0,3 − 0,1.

Entraînement ★

  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=410P(B) = \dfrac{ 4 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  3. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

Attention !

Entraînement ★★

  1. AA et BB sont incompatibles, P(A)=210P(A) = \dfrac{ 2 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. AA et BB sont incompatibles, P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  1. Problème final. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10}, P(B)=210P(B) = \dfrac{ 2 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}.
  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∪B)=710P(A \cup B) = \dfrac{ 7 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  1. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(Aˉ)P(\bar{A}).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=410P(B) = \dfrac{ 4 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  3. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

Fiche résumé

Réunion

  • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
  • Incompatibles : intersection vide.

Attention : n'oublie pas la soustraction.

4. Échantillonnage et fluctuation

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance 100 fois une pièce équilibrée. Obtient-on toujours exactement 50 piles ?

  1. Non, cela varie
  2. Oui

L'idée clé

La fréquence observée varie d'un échantillon à l'autre.

Un échantillon de taille nn est le résultat de nn répétitions. La fréquence observée fluctue autour de la probabilité pp.

Pour nn grand, la proportion d'échantillons dont la fréquence est dans [p−1n;p+1n]\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] est d'environ 95 %.

Exemple corrigé

n=400n = 400, p=0,5p = 0{,}5.

[0,45;0,55][0{,}45 ; 0{,}55]
1/√400 = 0,05.

À toi, guidé

À toi : pour n=100n = 100, que vaut 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} ?

0,10{,}1
1/10.

Entraînement ★

  1. Pour un échantillon de taille n=25n = 25, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  2. Pour un échantillon de taille n=289n = 289, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  3. Pour un échantillon de taille n=16n = 16, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Si on multiplie la taille d'un échantillon par 25, la fluctuation est :
    1. divisée par 5
    2. multipliée par 5
    3. inchangée
  2. Si on multiplie la taille d'un échantillon par 36, la fluctuation est :
    1. divisée par 6
    2. multipliée par 6
    3. inchangée
  1. Sur 70 lancers, on obtient 14 fois « pile ». Quelle est la fréquence observée, en pourcentage ?
  1. On lance 100 fois une pièce équilibrée. Obtiendra-t-on toujours exactement 50 piles ?
    1. Non : la fréquence fluctue autour de 0,5
    2. Oui : la probabilité vaut 0,5
    3. Oui, si la pièce est équilibrée

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour un échantillon de taille n=25n = 25, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  2. Pour un échantillon de taille n=289n = 289, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.
  3. Pour un échantillon de taille n=16n = 16, calcule 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}}.

Fiche résumé

Fluctuation

  • Fréquence proche de pp, mais variable.
  • 1n\dfrac{1}{\sqrt{n}} : amplitude typique.

Attention : plus nn est grand, moins ça fluctue.

Corrigé: Statistiques et probabilités

1. Moyenne, médiane et quartiles

A

  1. 295\frac{29}{5}
  2. 1010
  3. 253\frac{25}{3}

B

  1. 33
  2. 22

C

  1. 172\frac{17}{2}

D

  1. 1010

E

  1. 295\frac{29}{5}
  2. 1010
  3. 253\frac{25}{3}

2. Boîtes à moustaches

A

  1. 33
  2. 44
  3. 66

B

  1. 1818
  2. 66

C

  1. La médiane

D

  1. Environ 50 %

E

  1. 33
  2. 44
  3. 66

3. Réunion, intersection et contraire

A

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 12\frac{1}{2}

B

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 35\frac{3}{5}

C

  1. 35\frac{3}{5}

D

  1. 110\frac{1}{10}

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 12\frac{1}{2}

4. Échantillonnage et fluctuation

A

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 117\frac{1}{17}
  3. 14\frac{1}{4}

B

  1. divisée par 5
  2. divisée par 6

C

  1. 2020

D

  1. Non : la fréquence fluctue autour de 0,5

E

  1. 15\frac{1}{5}
  2. 117\frac{1}{17}
  3. 14\frac{1}{4}