Proportionnalité et fonctions

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Augmentations et diminutions en pourcentage : taxes, pourboires, remises

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un manteau à 60 € est soldé à −10 %. Combien paies-tu ?

  1. 54 €
  2. 50 €

L'idée clé

Augmenter : on ajoute. Diminuer : on retire, toujours un pourcentage de la valeur de départ.

Augmenter de t %t\,\% revient à multiplier par 1+t1001 + \dfrac{t}{100} ; diminuer de t %t\,\% à multiplier par 1−t1001 - \dfrac{t}{100}. Taux d'évolution = variation ÷ valeur de départ.

Exemple corrigé

Un prix passe de 40 € à 46 €.

66
Variation.
0,150{,}15 : une hausse de 15 %
6 ÷ 40.

À toi, guidé

À toi : 80 € plus 5 % de taxe. Quel est le total ?

8484
80 × 1,05.

Entraînement ★

  1. Le prix d'un blouson à 160 € augmente de 40 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?
  2. Le prix d'un blouson à 300 € augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?
  1. Un jeu à 320 € est soldé à −35 %-35\,\%. Quel est son prix soldé (en euros) ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une ville passe de 280 à 518 habitants. De quel pourcentage a-t-elle grandi ?
  2. Une ville passe de 260 à 468 habitants. De quel pourcentage a-t-elle grandi ?
  1. Problème final. Un repas coûte 120 €. Une taxe de 10 % s'applique et tu laisses un pourboire de 20 % sur le prix hors taxe.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Le prix d'un blouson à 160 € augmente de 40 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?
  2. Le prix d'un blouson à 300 € augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?
  3. Le prix d'un blouson à 60 € augmente de 60 %. Quel est son nouveau prix (en euros) ?

Fiche résumé

Évolutions

  • Valeur finale = valeur de départ × coefficient.
  • Taux = variation ÷ départ.

Attention : la base est la valeur de départ.

2. Qu'est-ce qu'une fonction : une image pour chaque antécédent

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un distributeur : on appuie sur un bouton et on obtient un en-cas. Le bouton B4 donne parfois des chips, parfois un biscuit. Quel est le problème ?

  1. Un même bouton donne deux résultats différents
  2. Deux boutons peuvent donner le même en-cas

L'idée clé

Une fonction associe à chaque nombre une seule image.

Une fonction associe à chaque valeur de xx une seule image. Plusieurs valeurs peuvent avoir la même image. Sur un graphique, une droite verticale coupe la courbe d'une fonction au plus une fois.

Exemple corrigé

(1;5),(2;5),(3;7)(1 ; 5), (2 ; 5), (3 ; 7) et (1;5),(1;6),(2;7)(1 ; 5), (1 ; 6), (2 ; 7).

Le premier : une fonction.
Chaque valeur une seule fois.
Le second : pas une fonction.
1 a pour images 5 et 6.

À toi, guidé

À toi : la règle « tripler, puis retirer 4 ». Quelle est l'image de 5 ?

1111
15 − 4.

Entraînement ★

  1. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(5;1),(5;2),(9;3)(x ; y) = (5 ; 1), (5 ; 2), (9 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 5 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes
  2. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(4;1),(4;2),(6;3)(x ; y) = (4 ; 1), (4 ; 2), (6 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 4 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes
  1. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(1;5),(5;5),(9;5)(x ; y) = (1 ; 5), (5 ; 5), (9 ; 5). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Oui : chaque valeur a une seule image
    2. Non : l'image 5 se répète
    3. Non : une fonction a besoin d'une formule

Attention !

Entraînement ★★

  1. Règle d'une fonction : multiplier par 6, puis ajouter 6. Quel antécédent a pour image 24 ?
  2. Règle d'une fonction : multiplier par 4, puis ajouter 9. Quel antécédent a pour image 21 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(5;1),(5;2),(9;3)(x ; y) = (5 ; 1), (5 ; 2), (9 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 5 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes
  2. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(4;1),(4;2),(6;3)(x ; y) = (4 ; 1), (4 ; 2), (6 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 4 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes
  3. Un tableau associe des valeurs xx à des valeurs yy : (x;y)=(2;1),(2;2),(8;3)(x ; y) = (2 ; 1), (2 ; 2), (8 ; 3). yy est-il une fonction de xx ?
    1. Non : la valeur 2 a deux images différentes
    2. Oui : chaque valeur a une image
    3. Oui : les images sont toutes différentes

Fiche résumé

Fonctions

  • Une seule image pour chaque valeur.
  • Plusieurs antécédents possibles.

Attention : deux images pour une valeur : ce n'est pas une fonction.

3. Notation f(x) : calculer et lire une image

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

f(x)=x+5f(x) = x + 5 est une règle : elle prend un nombre et ajoute 5. Que signifie f(2)f(2) ?

  1. L'image de 2 : 77
  2. ff multiplié par 2

L'idée clé

On note f(x)f(x) l'image de xx par ff.

f(a)f(a) est l'image de aa par ff. On remplace chaque xx par (a)(a), avec des parenthèses. Si f(a)=bf(a) = b, aa est un antécédent de bb. Sur la courbe, f(a)f(a) est l'ordonnée du point d'abscisse aa.

Exemple corrigé

f(x)=3x2−xf(x) = 3x^2 - x. Calcule f(−2)f(-2).

f(−2)=3(−2)2−(−2)f(-2) = 3(-2)^2 - (-2)
On remplace chaque x par (−2).
=3×4+2= 3 \times 4 + 2
(−2)² = 4, et soustraire −2 ajoute 2.
=14= 14
On calcule.

À toi, guidé

À toi : f(x)=2x2+1f(x) = 2x^2 + 1.

f(−3)=2(−3)2+1f(-3) = 2(-3)^2 + 1
On remplace x par (−3).
f(−3)=19f(-3) = 19
(−3)² = 9, puis 2 × 9 + 1.

Entraînement ★

  1. f(x)=2x2+3f(x) = 2x^2 + 3. Calcule f(−3)f(-3).
  2. f(x)=4x2+8f(x) = 4x^2 + 8. Calcule f(−2)f(-2).
  3. f(x)=4x2+2f(x) = 4x^2 + 2. Calcule f(−5)f(-5).
  4. f(x)=5x2+5f(x) = 5x^2 + 5. Calcule f(−4)f(-4).
  5. f(x)=3x2+3f(x) = 3x^2 + 3. Calcule f(−4)f(-4).

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3. Calcule f(2+3)f(2 + 3).
  2. f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2. Calcule f(4+4)f(4 + 4).
  3. f(x)=x2+7f(x) = x^2 + 7. Calcule f(4+1)f(4 + 1).
  4. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3. Calcule f(3+3)f(3 + 3).
  1. Voici la courbe de y=f(x)y = f(x). Touche le point de la courbe qui montre f(2)f(2).
  2. Voici la courbe de y=f(x)y = f(x). Touche le point de la courbe qui montre f(2)f(2).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3. Calcule f(2+3)f(2 + 3).
  2. f(x)=x2+2f(x) = x^2 + 2. Calcule f(4+4)f(4 + 4).
  3. f(x)=x2+7f(x) = x^2 + 7. Calcule f(4+1)f(4 + 1).

Fiche résumé

Image et antécédent

  • f(a)f(a) est l'image de aa.
  • Remplace xx par (a)(a), avec des parenthèses.

Attention : f(a+b)f(a + b) n'est pas f(a)+f(b)f(a) + f(b).

4. Proportionnalité : y = kx

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

3 kg de pommes coûtent 6 €. Au même prix, combien coûtent 5 kg ?

  1. 10 €
  2. 8 €

L'idée clé

Proportionnalité : y=axy = ax.

Une fonction linéaire s'écrit f(x)=axf(x) = ax, où a=yxa = \dfrac{y}{x} est le coefficient de proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine.

Exemple corrigé

Une imprimante imprime 45 pages en 3 minutes.

a=15a = 15 pages par minute
45 ÷ 3.
f(x)=15xf(x) = 15x
Fonction.
120 pages en 8 minutes
Pour x = 8.

À toi, guidé

À toi : yy est proportionnel à xx, et y=28y = 28 pour x=4x = 4. Trouve aa.

77
28 ÷ 4.

Entraînement ★

  1. yy est proportionnel à xx. Pour x=2x = 2, y=10y = 10. Trouve le coefficient aa dans y=axy = ax.
  2. yy est proportionnel à xx. Pour x=3x = 3, y=15y = 15. Trouve le coefficient aa dans y=axy = ax.
  1. Quelle expression représente une fonction linéaire ?
    1. y=2xy = 2x
    2. y=2x+9y = 2x + 9
    3. y=x+2y = x + 2

Attention !

Entraînement ★★

  1. Un train parcourt 21 km en 3 minutes à vitesse constante. Quelle distance parcourt-il en 12 minutes ?
  2. Un train parcourt 30 km en 6 minutes à vitesse constante. Quelle distance parcourt-il en 10 minutes ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. yy est proportionnel à xx. Pour x=2x = 2, y=10y = 10. Trouve le coefficient aa dans y=axy = ax.
  2. yy est proportionnel à xx. Pour x=3x = 3, y=15y = 15. Trouve le coefficient aa dans y=axy = ax.
  3. yy est proportionnel à xx. Pour x=4x = 4, y=28y = 28. Trouve le coefficient aa dans y=axy = ax.

Fiche résumé

Fonctions linéaires

  • f(x)=axf(x) = ax, a=y÷xa = y \div x.
  • La droite passe par l'origine.

Attention : on multiplie, on n'ajoute pas.

5. Fonctions affines : forme y = mx + b

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un taxi facture 3 € au départ et 2 € par kilomètre. Le prix est-il proportionnel à la distance ?

  1. Non : il y a 3 € à 0 km
  2. Oui : le prix augmente régulièrement

L'idée clé

Une fonction affine s'écrit f(x)=mx+pf(x) = mx + p.

mm est le coefficient directeur (taux d'accroissement), pp l'ordonnée à l'origine, la valeur en x=0x = 0. Si p=0p = 0, la fonction est linéaire. ff est croissante si m>0m > 0, décroissante si m<0m < 0.

Exemple corrigé

Trouve la droite passant par (0;4)(0 ; 4) et (3;10)(3 ; 10).

m=2m = 2
(10 − 4) ÷ 3.
p=4p = 4
Valeur en x = 0.
y=2x+4y = 2x + 4
Équation.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'ordonnée à l'origine de y=7x−5y = 7x - 5 ?

−5-5
p.

Entraînement ★

  1. Une salle de sport demande 55 € d'inscription et 19 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.
  2. Une salle de sport demande 77 € d'inscription et 16 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.
  1. Quelle est l'équation de la droite horizontale passant par (5;1)(5 ; 1) ?
    1. y=1y = 1
    2. x=5x = 5
    3. y=5y = 5

Attention !

Entraînement ★★

  1. Une droite passe par (0;2)(0 ; 2) et (1;8)(1 ; 8). Écris son équation sous la forme y=mx+py = mx + p.
  2. Une droite passe par (0;2)(0 ; 2) et (2;12)(2 ; 12). Écris son équation sous la forme y=mx+py = mx + p.
  1. Problème final. Une bougie mesure 21 cm au départ et brûle de 3 cm par heure. On note yy sa hauteur après xx heures.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Une salle de sport demande 55 € d'inscription et 19 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.
  2. Une salle de sport demande 77 € d'inscription et 16 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.
  3. Une salle de sport demande 25 € d'inscription et 17 € par mois. Écris le coût total yy après xx mois.

Fiche résumé

Fonctions affines

  • f(x)=mx+pf(x) = mx + p.
  • mm : le taux. pp : le départ.

Attention : le taux multiplie xx ; le montant de départ reste seul.

6. Fonctions de référence

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Pour f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}, quelle valeur est interdite ?

  1. 00
  2. 11

L'idée clé

Les fonctions de référence servent à résoudre graphiquement.

Carré : parabole, paire, décroissante sur ]−∞;0]]-\infty ; 0], croissante sur [0;+∞[[0 ; +\infty[. Inverse : hyperbole, définie sur R∗\mathbb{R}^*, décroissante sur chaque intervalle.

Racine carrée : définie et croissante sur [0;+∞[[0 ; +\infty[. Cube : croissante sur R\mathbb{R}. Valeur absolue : ∣x∣|x|, forme de V.

Exemple corrigé

Compare (−3)2(-3)^2 et (−2)2(-2)^2.

−3<−2-3 < -2 donne 9>49 > 4
La fonction carré décroît sur ]−∞ ; 0].

À toi, guidé

À toi : que vaut f(4)f(4) pour f(x)=xf(x) = \sqrt{x} ?

22
√4.

Entraînement ★

  1. Calcule f(−3)f(-3) pour f(x)=x3f(x) = x^3.
  2. Calcule f(−4)f(-4) pour f(x)=x3f(x) = x^3.
  3. Calcule f(−6)f(-6) pour f(x)=x3f(x) = x^3.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Compare 3\sqrt{ 3 } et 9\sqrt{ 9 }.
    1. 3<9\sqrt{ 3 } < \sqrt{ 9 }
    2. 3>9\sqrt{ 3 } > \sqrt{ 9 }
    3. 3=9\sqrt{ 3 } = \sqrt{ 9 }
  2. Compare 2\sqrt{ 2 } et 8\sqrt{ 8 }.
    1. 2<8\sqrt{ 2 } < \sqrt{ 8 }
    2. 2>8\sqrt{ 2 } > \sqrt{ 8 }
    3. 2=8\sqrt{ 2 } = \sqrt{ 8 }
  1. Calcule f(6)f(6) pour f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}.
  1. Sur ]−∞;0]]-\infty ; 0], comment varie x↦x2x \mapsto x^2 ?
    1. Elle est décroissante
    2. Elle est croissante
    3. Elle est constante

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule f(−3)f(-3) pour f(x)=x3f(x) = x^3.
  2. Calcule f(−4)f(-4) pour f(x)=x3f(x) = x^3.
  3. Calcule f(−6)f(-6) pour f(x)=x3f(x) = x^3.

Fiche résumé

Fonctions de référence

  • Carré, inverse, racine, cube, valeur absolue.
  • Connaître variations et courbes.

Attention : l'inverse décroît sur chaque intervalle.

Corrigé: Proportionnalité et fonctions

1. Augmentations et diminutions en pourcentage : taxes, pourboires, remises

A

  1. 224224
  2. 360360

B

  1. 208208

C

  1. 8585
  2. 8080

D

  1. 156156

E

  1. 224224
  2. 360360
  3. 9696

2. Qu'est-ce qu'une fonction : une image pour chaque antécédent

A

  1. Non : la valeur 5 a deux images différentes
  2. Non : la valeur 4 a deux images différentes

B

  1. Oui : chaque valeur a une seule image

C

  1. 33
  2. 33

D

  1. Non : la valeur 5 a deux images différentes
  2. Non : la valeur 4 a deux images différentes
  3. Non : la valeur 2 a deux images différentes

3. Notation f(x) : calculer et lire une image

A

  1. 2121
  2. 2424
  3. 102102
  4. 8585
  5. 5151

B

  1. 2828
  2. 6666
  3. 3232
  4. 3939

C

  1. (2,−1)(2, -1)
  2. (2,3)(2, 3)

D

  1. 2828
  2. 6666
  3. 3232

4. Proportionnalité : y = kx

A

  1. 55
  2. 55

B

  1. y=2xy = 2x

C

  1. 8484
  2. 5050

D

  1. 55
  2. 55
  3. 77

5. Fonctions affines : forme y = mx + b

A

  1. 19x+5519 x + 55
  2. 16x+7716 x + 77

B

  1. y=1y = 1

C

  1. 6x+26 x + 2
  2. 5x+25 x + 2

D

  1. 77

E

  1. 19x+5519 x + 55
  2. 16x+7716 x + 77
  3. 17x+2517 x + 25

6. Fonctions de référence

A

  1. −27-27
  2. −64-64
  3. −216-216

B

  1. 3<9\sqrt{ 3 } < \sqrt{ 9 }
  2. 2<8\sqrt{ 2 } < \sqrt{ 8 }

C

  1. 16\frac{1}{6}

D

  1. Elle est décroissante

E

  1. −27-27
  2. −64-64
  3. −216-216