Volume des boules ; masse volumique

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une boule de rayon $r$ tient exactement dans un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $2r$ . Elle en occupe les $\dfrac{2}{3}$ . Quel est son volume ?

Figure non à l'échelle

$\dfrac{4}{3}\pi r^3$
$4\pi r^2$

L'idée clé

Sphère et boule.

La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ contient les points à la distance $r$ de $O$ ; la boule contient aussi l'intérieur. Volume : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ . Aire de la sphère : $4\pi r^2$ . Un plan coupe une sphère selon un cercle.

Masse volumique = masse ÷ volume.

Exemple corrigé

Une boule d'acier de rayon 3 cm, de masse volumique 7,8 g/cm³.

V = 36\pi \approx 113{,}1

cm³

(4/3)π × 27.

m \approx 7{,}8 \times 113{,}1 \approx 882

g

Masse = masse volumique × volume.

À toi, guidé

À toi : une masse de 200 g pour un volume de 50 cm³. Quelle est la masse volumique ?

4

g/cm³

200 ÷ 50.

Entraînement ★

Calcule le volume d'une boule de rayon 5 cm (valeur exacte, en fonction de $\pi$ ).Figure non à l'échelle
Calcule le volume d'une boule de rayon 9 cm (valeur exacte, en fonction de $\pi$ ).Figure non à l'échelle

Un bloc a une masse de 526 g et un volume de 27 cm³. Calcule sa masse volumique (en g/cm³).

Attention !

Entraînement ★★

Calcule le volume d'une demi-boule de rayon 3 cm (valeur exacte, en fonction de $\pi$ ).
Calcule le volume d'une demi-boule de rayon 5 cm (valeur exacte, en fonction de $\pi$ ).

Problème final. Une boule en métal plein a pour rayon 7 cm. Le métal a une masse volumique de 6 g/cm³.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule le volume d'une boule de rayon 5 cm (valeur exacte, en fonction de $\pi$ ).Figure non à l'échelle
Calcule le volume d'une boule de rayon 9 cm (valeur exacte, en fonction de $\pi$ ).Figure non à l'échelle
Calcule le volume d'une boule de rayon 8 cm (valeur exacte, en fonction de $\pi$ ).Figure non à l'échelle

Fiche résumé

Boule

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .
Masse volumique = masse ÷ volume.

Attention : $r^3$ pour un volume, $r^2$ pour une aire.

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