Thalès, trigonométrie et vecteurs

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1. Segments proportionnels : théorème de Thalès

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une droite parallèle à un côté d'un triangle coupe les deux autres côtés. Si elle partage l'un dans le rapport 1:21 : 2, comment partage-t-elle l'autre ?

  1. Aussi dans le rapport 1:21 : 2
  2. Cela dépend de l'angle

Fais glisser DEDE. Divise ADAD par ABAB, puis AEAE par ACAC.

  1. Les deux quotients sont toujours égaux
  2. ADAD est toujours égal à AEAE

L'idée clé

Les droites parallèles partagent les côtés proportionnellement.

Théorème de Thalès : si D∈(AB)D \in (AB), E∈(AC)E \in (AC) et (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC), alors ADAB=AEAC=DEBC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}. La configuration peut être « emboîtée » ou « en papillon ».

Réciproque : si AA, DD, BB et AA, EE, CC sont alignés dans le même ordre et si ADAB=AEAC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}, alors (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC). Contraposée : si les quotients sont différents, les droites ne sont pas parallèles.

Exemple corrigé

AD=4AD = 4, DB=6DB = 6, AE=6AE = 6, (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC). Calcule ECEC.

410=6AC\dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{AC}
AD/AB = AE/AC, avec AB = 10.
AC=15AC = 15
On calcule AC.
EC=9EC = 9
On retranche AE.

À toi, guidé

À toi : BC=18BC = 18. Quelle est la longueur du segment joignant les milieux de [AB][AB] et [AC][AC] ?

99
La moitié.

Entraînement ★

  1. Dans le triangle ABCABC, une droite parallèle à (BC)(BC) coupe [AB][AB] en DD et [AC][AC] en EE, avec AD=5AD = 5, DB=3DB = 3 et AE=9AE = 9. Calcule ECEC.Figure non à l'échelle
  2. Dans le triangle ABCABC, une droite parallèle à (BC)(BC) coupe [AB][AB] en DD et [AC][AC] en EE, avec AD=4AD = 4, DB=3DB = 3 et AE=9AE = 9. Calcule ECEC.Figure non à l'échelle
  1. Dans un triangle, BC=26BC = 26. Le segment joignant les milieux de [AB][AB] et [AC][AC] mesure…

Attention !

Entraînement ★★

  1. (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC), avec DD sur [AB][AB] et EE sur [AC][AC] ; AD=2AD = 2, DB=7DB = 7, AE=3AE = 3. Calcule ACAC.Figure non à l'échelle
  1. Problème final. Dans le triangle ABCABC, (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC) avec DD sur [AB][AB], AD=6AD = 6, DB=1DB = 1 et DE=8DE = 8.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Dans le triangle ABCABC, une droite parallèle à (BC)(BC) coupe [AB][AB] en DD et [AC][AC] en EE, avec AD=5AD = 5, DB=3DB = 3 et AE=9AE = 9. Calcule ECEC.Figure non à l'échelle
  2. Dans le triangle ABCABC, une droite parallèle à (BC)(BC) coupe [AB][AB] en DD et [AC][AC] en EE, avec AD=4AD = 4, DB=3DB = 3 et AE=9AE = 9. Calcule ECEC.Figure non à l'échelle
  3. Dans le triangle ABCABC, une droite parallèle à (BC)(BC) coupe [AB][AB] en DD et [AC][AC] en EE, avec AD=7AD = 7, DB=8DB = 8 et AE=5AE = 5. Calcule ECEC.Figure non à l'échelle

Fiche résumé

Thalès

  • (DE)∥(BC)(DE) \parallel (BC) : ADAB=AEAC=DEBC\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}.
  • La réciproque prouve un parallélisme.

Attention : garde le même ordre dans les rapports.

2. Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Deux triangles rectangles de tailles différentes ont chacun un angle de 35°35°. Le quotient côté opposé / hypoténuse est-il le même ?

  1. Oui
  2. Non, le plus grand triangle a un plus grand quotient

L'idée clé

Des quotients qui ne dépendent que de l'angle.

Pour un angle aigu A^\widehat{A} d'un triangle rectangle : sin⁡A^=opposeˊhypoteˊnuse\sin\widehat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}, cos⁡A^=adjacenthypoteˊnuse\cos\widehat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}, tan⁡A^=opposeˊadjacent\tan\widehat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}.

Exemple corrigé

Côté opposé à A^\widehat{A} : 8 ; côté adjacent : 15 ; hypoténuse : 17.

sin⁡A^=817\sin\widehat{A} = \dfrac{8}{17}
Opposé / hypoténuse.
cos⁡A^=1517\cos\widehat{A} = \dfrac{15}{17}
Adjacent / hypoténuse.
tan⁡A^=815\tan\widehat{A} = \dfrac{8}{15}
Opposé / adjacent.

À toi, guidé

À toi : opposé 7, adjacent 24, hypoténuse 25. Que vaut cos⁡A^\cos\widehat{A} ?

2425\dfrac{24}{25}
Adjacent / hypoténuse.

Entraînement ★

  1. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 12 et 16, et pour hypoténuse 20. L'angle A^\widehat{A} est opposé au côté 12. Calcule sin⁡A^\sin\widehat{A}.
  2. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 6 et 8, et pour hypoténuse 10. L'angle A^\widehat{A} est opposé au côté 6. Calcule sin⁡A^\sin\widehat{A}.
  1. Dans un triangle rectangle d'angle aigu 21°21°, quel quotient vaut cos⁡21°\cos 21° ?
    1. adjacent ÷ hypoténuse
    2. opposé ÷ hypoténuse
    3. opposé ÷ adjacent

Attention !

Entraînement ★★

  1. Même type de triangle : côtés 15 et 36, hypoténuse 39. L'angle B^\widehat{B} est opposé au côté 36. Calcule tan⁡B^\tan\widehat{B}.
  2. Même type de triangle : côtés 20 et 48, hypoténuse 52. L'angle B^\widehat{B} est opposé au côté 48. Calcule tan⁡B^\tan\widehat{B}.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 12 et 16, et pour hypoténuse 20. L'angle A^\widehat{A} est opposé au côté 12. Calcule sin⁡A^\sin\widehat{A}.
  2. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 6 et 8, et pour hypoténuse 10. L'angle A^\widehat{A} est opposé au côté 6. Calcule sin⁡A^\sin\widehat{A}.
  3. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 27 et 36, et pour hypoténuse 45. L'angle A^\widehat{A} est opposé au côté 27. Calcule sin⁡A^\sin\widehat{A}.

Fiche résumé

Trigonométrie

  • sinus, cosinus, tangente pour un angle aigu.
  • Opposé et adjacent dépendent de l'angle choisi.

Attention : repère l'hypoténuse d'abord.

3. Calculer une longueur par la trigonométrie

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une ficelle de cerf-volant de 30 m fait un angle de 40°40° avec le sol. Quel quotient donne la hauteur du cerf-volant ?

  1. sin⁡40°=hauteur30\sin 40° = \dfrac{\text{hauteur}}{30}
  2. cos⁡40°=hauteur30\cos 40° = \dfrac{\text{hauteur}}{30}

L'idée clé

Choisis le quotient qui relie ce que tu connais à ce que tu cherches.

Repère les côtés depuis l'angle donné, choisis sinus, cosinus ou tangente, écris l'égalité, puis résous : si l'inconnue est au numérateur, on multiplie ; si elle est au dénominateur, on divise. Calculatrice en mode degrés.

Exemple corrigé

Cerf-volant : hauteur =30sin⁡40°= 30\sin 40°.

30×0,64330 \times 0{,}643
sin 40° ≈ 0,643.
hauteur ≈19,28\approx 19{,}28 m
On arrondit.

À toi, guidé

À toi : hypoténuse 10, angle de 30°30°. Calcule le côté opposé.

55
10 × sin 30° = 10 × 1/2.

Entraînement ★

  1. Un triangle rectangle a pour hypoténuse 14 et un angle aigu de 43°43°. Calcule le côté opposé à cet angle (au centième).
  2. Un triangle rectangle a pour hypoténuse 19 et un angle aigu de 22°22°. Calcule le côté opposé à cet angle (au centième).
  1. Une rampe monte de 55°55° sur une distance horizontale de 15 m. De quelle hauteur monte-t-elle ? (au centième)

Attention !

Entraînement ★★

  1. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de 40°40° mesure 4. Calcule l'hypoténuse (au centième).
  2. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de 40°40° mesure 9. Calcule l'hypoténuse (au centième).
  1. Problème final. Une échelle de 8 m est appuyée contre un mur et fait un angle de 55°55° avec le sol. Réponds au centième.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un triangle rectangle a pour hypoténuse 14 et un angle aigu de 43°43°. Calcule le côté opposé à cet angle (au centième).
  2. Un triangle rectangle a pour hypoténuse 19 et un angle aigu de 22°22°. Calcule le côté opposé à cet angle (au centième).
  3. Un triangle rectangle a pour hypoténuse 18 et un angle aigu de 58°58°. Calcule le côté opposé à cet angle (au centième).

Fiche résumé

Calculer une longueur

  • Repère → choisis le quotient → résous.
  • Multiplie ou divise selon la place de l'inconnue.

Attention : l'hypoténuse est le plus long côté : vérifie ta réponse.

4. Calculer un angle avec les fonctions réciproques

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans un triangle rectangle, tan⁡A^=1\tan\widehat{A} = 1. Que vaut A^\widehat{A} ?

  1. 45°45°
  2. 1°1°

L'idée clé

La calculatrice retrouve l'angle à partir du quotient.

Si sin⁡A^=r\sin\widehat{A} = r, alors A^\widehat{A} s'obtient avec la touche Arcsin (sin⁻¹) ; de même Arccos et Arctan. Ces touches donnent un angle, pas un inverse. Calculatrice en mode degrés.

Exemple corrigé

Côtés 5 (opposé) et 8 (adjacent).

tan⁡A^=58=0,625\tan\widehat{A} = \dfrac{5}{8} = 0{,}625
Opposé / adjacent.
A^≈32,0°\widehat{A} \approx 32{,}0°
Touche Arctan.

À toi, guidé

À toi : sin⁡A^=12\sin\widehat{A} = \dfrac{1}{2}. Trouve A^\widehat{A} en degrés.

30°30°
Angle remarquable.

Entraînement ★

  1. Un triangle rectangle a un côté 10 opposé à l'angle A^\widehat{A} et un côté adjacent 12. Calcule A^\widehat{A} en degrés (au dixième).
  2. Un triangle rectangle a un côté 8 opposé à l'angle A^\widehat{A} et un côté adjacent 9. Calcule A^\widehat{A} en degrés (au dixième).
  1. Que signifie sin⁡−1(0,7)\sin^{-1}(0{,}7) sur une calculatrice ?
    1. L'angle dont le sinus vaut 0,70{,}7
    2. 1sin⁡0,7\dfrac{1}{\sin 0{,}7}
    3. −sin⁡(0,7)-\sin(0{,}7)

Attention !

Entraînement ★★

  1. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à A^\widehat{A} mesure 5 et l'hypoténuse 15. Calcule A^\widehat{A} en degrés (au dixième).
  2. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à A^\widehat{A} mesure 6 et l'hypoténuse 10. Calcule A^\widehat{A} en degrés (au dixième).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un triangle rectangle a un côté 10 opposé à l'angle A^\widehat{A} et un côté adjacent 12. Calcule A^\widehat{A} en degrés (au dixième).
  2. Un triangle rectangle a un côté 8 opposé à l'angle A^\widehat{A} et un côté adjacent 9. Calcule A^\widehat{A} en degrés (au dixième).
  3. Un triangle rectangle a un côté 12 opposé à l'angle A^\widehat{A} et un côté adjacent 9. Calcule A^\widehat{A} en degrés (au dixième).

Fiche résumé

Calculer un angle

  • Arcsin, Arccos, Arctan du quotient.
  • Mode degrés.

Attention : ce n'est pas un inverse.

5. Vecteurs : égalité, somme, relation de Chasles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une translation amène AA sur BB, et CC sur DD. Que peut-on dire de AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} ?

  1. Ils sont égaux
  2. Ils ont seulement la même longueur

L'idée clé

Un vecteur a une direction, un sens, une longueur.

Figure non à l'échelle

AB→=CD→  ⟺  ABDC\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}. L'opposé de AB→\overrightarrow{AB} est BA→\overrightarrow{BA}.

Exemple corrigé

Simplifie AB→+CA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA}.

CA→+AB→\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}
On change l'ordre.
CB→\overrightarrow{CB}
Chasles.

À toi, guidé

À toi : simplifie AB→+BA→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}. (Donne 0.)

0⃗\vec{0}
Vecteur nul.

Entraînement ★

  1. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}
  2. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}
  3. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}

Attention !

Entraînement ★★

  1. ABCDABCD est un parallélogramme. Quel vecteur est égal à AB→\overrightarrow{AB} ?Figure non à l'échelle
    1. DC→\overrightarrow{DC}
    2. CD→\overrightarrow{CD}
    3. BC→\overrightarrow{BC}
  2. ABCDABCD est un parallélogramme. Quel vecteur est égal à AB→\overrightarrow{AB} ?Figure non à l'échelle
    1. DC→\overrightarrow{DC}
    2. CD→\overrightarrow{CD}
    3. BC→\overrightarrow{BC}
  1. Quel est l'opposé de AB→\overrightarrow{AB} ?
    1. BA→\overrightarrow{BA}
    2. AB→\overrightarrow{AB}
    3. −BA→-\overrightarrow{BA}
  1. AB=CDAB = CD. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et CD→\overrightarrow{CD} sont-ils forcément égaux ?
    1. Non : il faut aussi même direction et même sens
    2. Oui : ils ont la même longueur
    3. Oui : ils ont le même nom

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}
  2. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}
  3. Simplifie MN→+NP→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP}.Figure non à l'échelle
    1. MP→\overrightarrow{MP}
    2. PM→\overrightarrow{PM}
    3. NN→\overrightarrow{NN}

Fiche résumé

Vecteurs

  • Égaux : même direction, sens, longueur.
  • Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.

Attention : même longueur ne suffit pas.

6. Volume des boules ; masse volumique

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une boule de rayon rr tient exactement dans un cylindre de rayon rr et de hauteur 2r2r. Elle en occupe les 23\dfrac{2}{3}. Quel est son volume ?

Figure non à l'échelle
  1. 43πr3\dfrac{4}{3}\pi r^3
  2. 4πr24\pi r^2

L'idée clé

Sphère et boule.

La sphère de centre OO et de rayon rr contient les points à la distance rr de OO ; la boule contient aussi l'intérieur. Volume : V=43πr3V = \dfrac{4}{3}\pi r^3. Aire de la sphère : 4πr24\pi r^2. Un plan coupe une sphère selon un cercle.

Masse volumique = masse ÷ volume.

Exemple corrigé

Une boule d'acier de rayon 3 cm, de masse volumique 7,8 g/cm³.

V=36π≈113,1V = 36\pi \approx 113{,}1 cm³
(4/3)π × 27.
m≈7,8×113,1≈882m \approx 7{,}8 \times 113{,}1 \approx 882 g
Masse = masse volumique × volume.

À toi, guidé

À toi : une masse de 200 g pour un volume de 50 cm³. Quelle est la masse volumique ?

44 g/cm³
200 ÷ 50.

Entraînement ★

  1. Calcule le volume d'une boule de rayon 5 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle
  2. Calcule le volume d'une boule de rayon 9 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle
  1. Un bloc a une masse de 526 g et un volume de 27 cm³. Calcule sa masse volumique (en g/cm³).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Calcule le volume d'une demi-boule de rayon 3 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).
  2. Calcule le volume d'une demi-boule de rayon 5 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).
  1. Problème final. Une boule en métal plein a pour rayon 7 cm. Le métal a une masse volumique de 6 g/cm³.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule le volume d'une boule de rayon 5 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle
  2. Calcule le volume d'une boule de rayon 9 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle
  3. Calcule le volume d'une boule de rayon 8 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle

Fiche résumé

Boule

  • V=43πr3V = \dfrac{4}{3}\pi r^3.
  • Masse volumique = masse ÷ volume.

Attention : r3r^3 pour un volume, r2r^2 pour une aire.

Corrigé: Thalès, trigonométrie et vecteurs

1. Segments proportionnels : théorème de Thalès

A

  1. 275\frac{27}{5}
  2. 274\frac{27}{4}

B

  1. 1313

C

  1. 272\frac{27}{2}

D

  1. 4936\frac{49}{36}

E

  1. 275\frac{27}{5}
  2. 274\frac{27}{4}
  3. 407\frac{40}{7}

2. Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

A

  1. 35\frac{3}{5}
  2. 35\frac{3}{5}

B

  1. adjacent ÷ hypoténuse

C

  1. 125\frac{12}{5}
  2. 125\frac{12}{5}

D

  1. 35\frac{3}{5}
  2. 35\frac{3}{5}
  3. 35\frac{3}{5}

3. Calculer une longueur par la trigonométrie

A

  1. 14sin⁡(43π180)14 \sin{\left(\frac{43 \pi}{180} \right)}
  2. 19sin⁡(11π90)19 \sin{\left(\frac{11 \pi}{90} \right)}

B

  1. 15tan⁡(11π36)15 \tan{\left(\frac{11 \pi}{36} \right)}

C

  1. 4sin⁡(2π9)\frac{4}{\sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}
  2. 9sin⁡(2π9)\frac{9}{\sin{\left(\frac{2 \pi}{9} \right)}}

D

  1. 3535

E

  1. 14sin⁡(43π180)14 \sin{\left(\frac{43 \pi}{180} \right)}
  2. 19sin⁡(11π90)19 \sin{\left(\frac{11 \pi}{90} \right)}
  3. 18sin⁡(29π90)18 \sin{\left(\frac{29 \pi}{90} \right)}

4. Calculer un angle avec les fonctions réciproques

A

  1. 180tan⁡−1(56)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{5}{6} \right)}}{\pi}
  2. 180tan⁡−1(89)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{8}{9} \right)}}{\pi}

B

  1. L'angle dont le sinus vaut 0,70{,}7

C

  1. 180sin⁡−1(13)π\frac{180 \sin^{-1}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{\pi}
  2. 180sin⁡−1(35)π\frac{180 \sin^{-1}{\left(\frac{3}{5} \right)}}{\pi}

D

  1. 180tan⁡−1(56)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{5}{6} \right)}}{\pi}
  2. 180tan⁡−1(89)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{8}{9} \right)}}{\pi}
  3. 180tan⁡−1(43)π\frac{180 \tan^{-1}{\left(\frac{4}{3} \right)}}{\pi}

5. Vecteurs : égalité, somme, relation de Chasles

A

  1. MP→\overrightarrow{MP}
  2. MP→\overrightarrow{MP}
  3. MP→\overrightarrow{MP}

B

  1. DC→\overrightarrow{DC}
  2. DC→\overrightarrow{DC}

C

  1. BA→\overrightarrow{BA}

D

  1. Non : il faut aussi même direction et même sens

E

  1. MP→\overrightarrow{MP}
  2. MP→\overrightarrow{MP}
  3. MP→\overrightarrow{MP}

6. Volume des boules ; masse volumique

A

  1. 500π3\frac{500 \pi}{3}
  2. 972π972 \pi

B

  1. 52627\frac{526}{27}

C

  1. 18π18 \pi
  2. 250π3\frac{250 \pi}{3}

D

  1. 1372π1372 \pi

E

  1. 500π3\frac{500 \pi}{3}
  2. 972π972 \pi
  3. 2048π3\frac{2048 \pi}{3}