Calcul littéral et équations

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Identités remarquables et expressions fractionnaires

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Développe (x+3)2(x + 3)^2.

  1. x2+6x+9x^2 + 6x + 9
  2. x2+9x^2 + 9

L'idée clé

Trois identités à connaître dans les deux sens.

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ; (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 ; (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2.

Pour additionner des fractions, on les met au même dénominateur : ab+cd=ad+bcbd\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}.

Exemple corrigé

Factorise x2−25x^2 - 25, puis calcule 1x+12\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2}.

(x−5)(x+5)(x - 5)(x + 5)
Différence de deux carrés.
2+x2x\dfrac{2 + x}{2x}
Dénominateur commun 2x.

À toi, guidé

À toi : développe (x−1)(x+1)(x - 1)(x + 1).

x2−1x^2 - 1
x² − 1.

Entraînement ★

  1. Développe (x+9)2(x + 9)^2.
  2. Développe (x+2)2(x + 2)^2.
  1. Factorise x2−4x^2 - 4.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Problème final. On étudie E=(x+2)2−(x−2)2E = (x + 2)^2 - (x - 2)^2.
  2. Problème final. On étudie E=(x+5)2−(x−5)2E = (x + 5)^2 - (x - 5)^2.
  1. Développe (x−4)2(x - 4)^2.
  1. Calcule 12+15\dfrac{1}{ 2 } + \dfrac{1}{ 5 }.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Développe (x+9)2(x + 9)^2.
  2. Développe (x+2)2(x + 2)^2.
  3. Développe (x+8)2(x + 8)^2.

Fiche résumé

Identités

  • (a+b)2(a + b)^2, (a−b)2(a - b)^2, (a+b)(a−b)(a + b)(a - b).
  • Fractions : même dénominateur.

Attention : n'oublie pas le double produit.

2. Résoudre une équation du premier degré

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une fête coûte 40 € plus 12 € par pizza, et le total vaut 100 €. Quelle équation convient ?

  1. 40+12p=10040 + 12p = 100
  2. 40p+12=10040p + 12 = 100

L'idée clé

Des équations équivalentes ont les mêmes solutions.

Pour résoudre une équation du premier degré, on ajoute ou on soustrait le même nombre aux deux membres, on multiplie ou on divise par un même nombre non nul. On s'arrête quand xx est seul.

Exemple corrigé

Résous 5x+3=2x+155x + 3 = 2x + 15.

3x+3=153x + 3 = 15
On soustrait 2x.
3x=123x = 12
On soustrait 3.
x=4x = 4
On divise par 3.

À toi, guidé

À toi : 3(x+2)=213(x + 2) = 21. Trouve xx.

x=5x = 5
On divise par 3 : x + 2 = 7.

Entraînement ★

  1. Résous 3x+3=−183x + 3 = -18. x=  ?x = \;?
  2. Résous 8x+14=−268x + 14 = -26. x=  ?x = \;?
  1. Résous 4x+8=3x+94x + 8 = 3x + 9. x=  ?x = \;?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous 6(x+4)=306(x + 4) = 30. x=  ?x = \;?
  2. Résous 3(x+4)=333(x + 4) = 33. x=  ?x = \;?
  1. Problème final. Une salle de sport demande 35 € d'inscription, plus 37 € par mois. On note nn le nombre de mois.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous 3x+3=−183x + 3 = -18. x=  ?x = \;?
  2. Résous 8x+14=−268x + 14 = -26. x=  ?x = \;?
  3. Résous 4x+4=324x + 4 = 32. x=  ?x = \;?

Fiche résumé

Équations

  • On fait la même chose aux deux membres.
  • On s'arrête quand xx est seul.

Attention : développe tous les termes.

3. Résoudre une inéquation du premier degré

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

−2x>6-2x > 6. Essaie x=−4x = -4 : −2×(−4)=8>6-2 \times (-4) = 8 > 6. Quel ensemble décrit toutes les solutions ?

  1. x<−3x < -3
  2. x>−3x > -3

L'idée clé

On résout une inéquation comme une équation, avec une règle de plus.

Ajouter, soustraire, multiplier ou diviser par un nombre positif conserve le sens. Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens. Un signe strict (<<, >>) exclut la borne ; ≤\leq et ≥\geq l'incluent.

Exemple corrigé

Résous −3x+4≤13-3x + 4 \leq 13.

−3x≤9-3x \leq 9
On soustrait 4.
x≥−3x \geq -3
On divise par −3 : le sens change.
[−3;+∞[[-3 ; +\infty[
Borne incluse.

À toi, guidé

À toi : 2x−1<92x - 1 < 9. Quelle est la valeur limite de xx ?

x<5x < 5
2x < 10.

Entraînement ★

  1. Résous 8x+5<458x + 5 < 45. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  2. Résous 6x+5<596x + 5 < 59. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  1. Tu as 109 € et un billet coûte 9 €. Résous 9t≤1099t \leq 109 : combien de billets peux-tu acheter au plus ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Résous −2x+17≤9-2x + 17 \leq 9. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  2. Résous −2x+1≤19-2x + 1 \leq 19. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous 8x+5<458x + 5 < 45. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  2. Résous 6x+5<596x + 5 < 59. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
  3. Résous 7x+9<−547x + 9 < -54. Donne l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Fiche résumé

Inéquations

  • Comme une équation.
  • Le sens change si on multiplie ou divise par un négatif.

Attention : vérifie avec un nombre de ta solution.

4. La propriété du produit nul

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

a×b=0a \times b = 0. Que peut-on affirmer ?

  1. a=0a = 0 ou b=0b = 0
  2. a=0a = 0 et b=0b = 0

L'idée clé

Une équation produit se résout facteur par facteur.

Si A×B=0A \times B = 0, alors A=0A = 0 ou B=0B = 0. Cette règle ne marche que si l'un des membres vaut 0.

Exemple corrigé

Résous (3x−6)(x+4)=0(3x - 6)(x + 4) = 0.

3x−6=03x - 6 = 0, soit x=2x = 2
Premier facteur.
x+4=0x + 4 = 0, soit x=−4x = -4
Second facteur.

À toi, guidé

À toi : quelle est la solution non nulle de x(x−9)=0x(x - 9) = 0 ?

99
x − 9 = 0.

Entraînement ★

  1. Résous x(x−3)=0x(x - 3) = 0. Donne toutes les solutions.
  2. Résous x(x−2)=0x(x - 2) = 0. Donne toutes les solutions.
  1. Résous (4x−6)(x+8)=0(4x - 6)(x + 8) = 0. Donne toutes les solutions.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Pour résoudre (x−3)(x+7)=4(x - 3)(x + 7) = 4, Ana écrit « x−3=4x - 3 = 4 ou x+7=4x + 7 = 4 ». A-t-elle raison ?
    1. Non : la règle du produit nul ne marche que si le produit vaut 0
    2. Oui : on égale chaque facteur à 4
    3. Seul le premier facteur peut valoir 4
  2. Pour résoudre (x−7)(x+6)=17(x - 7)(x + 6) = 17, Ana écrit « x−7=17x - 7 = 17 ou x+6=17x + 6 = 17 ». A-t-elle raison ?
    1. Non : la règle du produit nul ne marche que si le produit vaut 0
    2. Oui : on égale chaque facteur à 17
    3. Seul le premier facteur peut valoir 17

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Résous (4x−6)(x+8)=0(4x - 6)(x + 8) = 0. Donne toutes les solutions.
  2. Résous (2x−5)(x+9)=0(2x - 5)(x + 9) = 0. Donne toutes les solutions.
  3. Résous (5x−3)(x+8)=0(5x - 3)(x + 8) = 0. Donne toutes les solutions.

Fiche résumé

Produit nul

  • Produit nul : on annule chaque facteur.
  • L'autre membre doit être 0.

Attention : ne divise jamais par xx : tu perdrais x=0x = 0.

Corrigé: Calcul littéral et équations

1. Identités remarquables et expressions fractionnaires

A

  1. x2+18x+81x^{2} + 18 x + 81
  2. x2+4x+4x^{2} + 4 x + 4

B

  1. (x−2)(x+2)\left(x - 2\right) \left(x + 2\right)

C

  1. 8x8 x
  2. 20x20 x

D

  1. x2−8x+16x^{2} - 8 x + 16

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. x2+18x+81x^{2} + 18 x + 81
  2. x2+4x+4x^{2} + 4 x + 4
  3. x2+16x+64x^{2} + 16 x + 64

2. Résoudre une équation du premier degré

A

  1. −7-7
  2. −5-5

B

  1. 11

C

  1. 11
  2. 77

D

  1. 1414

E

  1. −7-7
  2. −5-5
  3. 77

3. Résoudre une inéquation du premier degré

A

  1. ]−∞ ; 5[]-\infty\,;\,5[
  2. ]−∞ ; 9[]-\infty\,;\,9[

B

  1. 1212

C

  1. [4 ; +∞[[4\,;\,+\infty[
  2. [−9 ; +∞[[-9\,;\,+\infty[

D

  1. ]−∞ ; 5[]-\infty\,;\,5[
  2. ]−∞ ; 9[]-\infty\,;\,9[
  3. ]−∞ ; −9[]-\infty\,;\,-9[

4. La propriété du produit nul

A

  1. 0, 30,\ 3
  2. 0, 20,\ 2

B

  1. 32, −8\frac{3}{2},\ -8

C

  1. Non : la règle du produit nul ne marche que si le produit vaut 0
  2. Non : la règle du produit nul ne marche que si le produit vaut 0

D

  1. 32, −8\frac{3}{2},\ -8
  2. 52, −9\frac{5}{2},\ -9
  3. 35, −8\frac{3}{5},\ -8