Statistiques et probabilités

Imprimer le chapitre

Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

1. Moyenne, médiane et quartiles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On a les notes 8, 10, 15. Quelle est la moyenne ?

  1. 1111
  2. 1010

L'idée clé

Trois indicateurs de position.

Figure non à l'échelle

La moyenne xˉ=∑nixiN\bar{x} = \dfrac{\sum n_ix_i}{N} pondère par les effectifs. La médiane partage la série triée en deux parts égales.

Q1Q_1 est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; Q3Q_3, de même avec 75 %.

Exemple corrigé

Série triée : 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15.

Médiane =7+82=7,5= \dfrac{7 + 8}{2} = 7{,}5
N = 8, entre 4e et 5e.
Q1=4Q_1 = 4
8 × 0,25 = 2.
Q3=9Q_3 = 9
8 × 0,75 = 6.

À toi, guidé

À toi : moyenne de 10 (effectif 3) et 20 (effectif 1) ?

12,512{,}5
50 ÷ 4.

Entraînement ★

  1. Une série a 4 fois la valeur 4 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  2. Une série a 3 fois la valeur 9 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  3. Une série a 2 fois la valeur 7 et une fois la valeur 11. Calcule sa moyenne.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la médiane de 1,3,51, 3, 5 ?
  2. Quelle est la médiane de 1,2,31, 2, 3 ?
  1. Calcule la moyenne de 77, 88, 99 et 1010.
  1. Quelle est la médiane de 88, 99, 1111 et 1212 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Une série a 4 fois la valeur 4 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  2. Une série a 3 fois la valeur 9 et une fois la valeur 13. Calcule sa moyenne.
  3. Une série a 2 fois la valeur 7 et une fois la valeur 11. Calcule sa moyenne.

Fiche résumé

Indicateurs

  • Moyenne pondérée.
  • Médiane, Q1Q_1, Q3Q_3 sur une série triée.

Attention : trie d'abord.

2. Probabilité en cas d'équiprobabilité ; événement contraire

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance deux dés. Les sommes vont de 2 à 12 : onze valeurs. Chaque somme a-t-elle la même probabilité, 111\dfrac{1}{11} ?

  1. Non
  2. Oui

Lance deux dés 1 000 fois. Quelle somme revient le plus souvent ?

  1. 7
  2. Toutes les sommes reviennent à peu près autant

L'idée clé

Équiprobabilité et événement contraire.

Si toutes les issues sont équiprobables : P(A)=nombre d’issues de Anombre total d’issuesP(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre total d'issues}}. On a toujours 0≤P(A)≤10 \leq P(A) \leq 1, et P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A).

Exemple corrigé

Au moins un pile en 3 lancers.

P(aucun pile)=18P(\text{aucun pile}) = \dfrac{1}{8}
8 suites équiprobables.
P(au moins un pile)=1−18P(\text{au moins un pile}) = 1 - \dfrac{1}{8}
Événement contraire.
=78= \dfrac{7}{8}
On calcule.

À toi, guidé

À toi : quelle est la probabilité que la somme de deux dés vaille 7 ?

16\dfrac{1}{6}
6 couples sur 36.

Entraînement ★

  1. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 2.
  2. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 12.
  1. La probabilité qu'un vol soit en retard est 0,780{,}78. Calcule la probabilité qu'il ne soit pas en retard.

Attention !

Entraînement ★★

  1. On lance 2 fois un dé équilibré. Calcule la probabilité d'obtenir au moins un six.
  2. On lance 6 fois un dé équilibré. Calcule la probabilité d'obtenir au moins un six.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 2.
  2. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 12.
  3. On lance deux dés équilibrés. Calcule la probabilité que la somme vaille 8.

Fiche résumé

Probabilités

  • Équiprobabilité : favorables ÷ total.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A) ; « au moins un » passe par le contraire.

Attention : vérifie que les issues sont vraiment équiprobables.

3. Réunion, intersection et contraire

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On tire une carte : AA « cœur », BB « roi ». Que signifie A∩BA \cap B ?

  1. « Le roi de cœur »
  2. « Un cœur ou un roi »

L'idée clé

Deux événements peuvent se chevaucher.

Figure non à l'échelle

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). Si AA et BB sont incompatibles, P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0.

Exemple corrigé

Jeu de 32 cartes : cœur ou roi.

832+432−132\dfrac{8}{32} + \dfrac{4}{32} - \dfrac{1}{32}
Probabilités.
1132\dfrac{11}{32}
On calcule.

À toi, guidé

À toi : P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,3P(B) = 0{,}3, P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

0,70{,}7
0,5 + 0,3 − 0,1.

Entraînement ★

  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=410P(B) = \dfrac{ 4 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  3. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

Attention !

Entraînement ★★

  1. AA et BB sont incompatibles, P(A)=210P(A) = \dfrac{ 2 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. AA et BB sont incompatibles, P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  1. Problème final. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10}, P(B)=210P(B) = \dfrac{ 2 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}.
  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∪B)=710P(A \cup B) = \dfrac{ 7 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  1. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(Aˉ)P(\bar{A}).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=410P(B) = \dfrac{ 4 }{10} et P(A∩B)=210P(A \cap B) = \dfrac{ 2 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  2. P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).
  3. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{ 1 }{10}. Calcule P(A∪B)P(A \cup B).

Fiche résumé

Réunion

  • P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).
  • Incompatibles : intersection vide.

Attention : n'oublie pas la soustraction.

Corrigé: Statistiques et probabilités

1. Moyenne, médiane et quartiles

A

  1. 295\frac{29}{5}
  2. 1010
  3. 253\frac{25}{3}

B

  1. 33
  2. 22

C

  1. 172\frac{17}{2}

D

  1. 1010

E

  1. 295\frac{29}{5}
  2. 1010
  3. 253\frac{25}{3}

2. Probabilité en cas d'équiprobabilité ; événement contraire

A

  1. 136\frac{1}{36}
  2. 136\frac{1}{36}

B

  1. 1150\frac{11}{50}

C

  1. 1136\frac{11}{36}
  2. 3103146656\frac{31031}{46656}

D

  1. 136\frac{1}{36}
  2. 136\frac{1}{36}
  3. 536\frac{5}{36}

3. Réunion, intersection et contraire

A

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 12\frac{1}{2}

B

  1. 12\frac{1}{2}
  2. 35\frac{3}{5}

C

  1. 35\frac{3}{5}

D

  1. 110\frac{1}{10}

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. 710\frac{7}{10}
  2. 710\frac{7}{10}
  3. 12\frac{1}{2}