Pyramides, cônes et translations

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Volume des pyramides et des cônes

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un cône et un cylindre ont la même base et la même hauteur. Combien de cônes d'eau faut-il pour remplir le cylindre ?

Figure non à l'échelle
  1. 3
  2. 2

L'idée clé

Les solides pointus contiennent un tiers.

Pour une pyramide ou un cône : V=13×aire de la base×hauteurV = \dfrac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}. Cône : V=13πr2hV = \dfrac{1}{3}\pi r^2h.

Exemple corrigé

Une pyramide à base carrée, de côté 6 m et de hauteur 10 m.

B=36B = 36
Aire de la base.
V=13×36×10=120V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 10 = 120 m³
Un tiers de Bh.

À toi, guidé

À toi : un cône de rayon 3 et de hauteur 4 (en fonction de π\pi).

12π12\pi
(1/3) × 9π × 4.

Entraînement ★

  1. Calcule le volume d'un cône de rayon 6 cm et de hauteur 6 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle
  2. Calcule le volume d'un cône de rayon 6 cm et de hauteur 12 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle
  1. Une pyramide a une base carrée de côté 4 m et une hauteur de 15 m. Calcule son volume (m³).Figure non à l'échelle

Attention !

Entraînement ★★

  1. Un cône et un cylindre ont le même rayon 5 et la même hauteur. Quelle fraction du volume du cylindre représente le cône ?
  2. Un cône et un cylindre ont le même rayon 6 et la même hauteur. Quelle fraction du volume du cylindre représente le cône ?
  1. Problème final. Un cornet de glace a pour rayon 3 cm et pour hauteur 8 cm ; il est surmonté d'une demi-boule de glace de même rayon. Donne les valeurs exactes, en fonction de π\pi.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule le volume d'un cône de rayon 6 cm et de hauteur 6 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle
  2. Calcule le volume d'un cône de rayon 6 cm et de hauteur 12 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle
  3. Calcule le volume d'un cône de rayon 4 cm et de hauteur 9 cm (valeur exacte, en fonction de π\pi).Figure non à l'échelle

Fiche résumé

Pyramides et cônes

  • V=13BhV = \dfrac{1}{3}Bh.
  • Cône : 13πr2h\dfrac{1}{3}\pi r^2h.

Attention : n'oublie pas le tiers.

2. Translations et transformations isométriques

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un triangle glisse de 3 unités vers la droite et 2 vers le bas, sans tourner. Que deviennent les longueurs de ses côtés ?

  1. Elles restent les mêmes
  2. Elles augmentent de 3

L'idée clé

Une translation déplace chaque point de la même façon.

La translation de vecteur (a;b)(a ; b) envoie (x;y)(x ; y) sur (x+a;y+b)(x + a ; y + b). Elle conserve les longueurs, les angles, les aires, le parallélisme.

Exemple corrigé

Translate A(2;−1)A(2 ; -1) de 4 vers la gauche et 3 vers le haut.

  1. Étape 1On part de A(2 ; −1).
  2. Étape 2a = −4 : on va de 4 vers la gauche.
  3. Étape 3b = 3 : on monte de 3.
  4. Étape 4L'image est A′(2 − 4 ; −1 + 3) = (−2 ; 2).

a=−4a = -4, b=3b = 3
La gauche est négative.
A′=(2−4;−1+3)A' = (2 - 4 ; -1 + 3)
On additionne.
A′=(−2;2)A' = (-2 ; 2)
On calcule.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'ordonnée de l'image de (5;1)(5 ; 1) translaté de 6 vers le bas ?

−5-5
1 − 6.

Entraînement ★

  1. Translate le point A(−4;−4)A(-4 ; -4) de 2 unités vers la droite et 1 unités vers le bas. Touche son image A′A'.
  2. Translate le point A(1;0)A(1 ; 0) de 4 unités vers la droite et 4 unités vers le bas. Touche son image A′A'.
  1. Une translation envoie (−3;0)(-3 ; 0) sur (0;5)(0 ; 5). De combien d'unités déplace-t-elle les points horizontalement (positif = vers la droite) ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. On translate un polygone à 9 côtés. Qu'est-ce qui change ?
    1. Seulement sa position : les longueurs et les angles restent les mêmes
    2. La longueur de ses côtés
    3. Ses angles
  2. On translate un polygone à 6 côtés. Qu'est-ce qui change ?
    1. Seulement sa position : les longueurs et les angles restent les mêmes
    2. La longueur de ses côtés
    3. Ses angles
  1. Translate le triangle ABC de 2 vers la droite et 2 vers le bas. Touche les images A′, B′ et C′.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Une translation envoie (−3;0)(-3 ; 0) sur (0;5)(0 ; 5). De combien d'unités déplace-t-elle les points horizontalement (positif = vers la droite) ?
  2. Une translation envoie (−2;4)(-2 ; 4) sur (−4;4)(-4 ; 4). De combien d'unités déplace-t-elle les points horizontalement (positif = vers la droite) ?
  3. Une translation envoie (−5;−5)(-5 ; -5) sur (−1;−5)(-1 ; -5). De combien d'unités déplace-t-elle les points horizontalement (positif = vers la droite) ?

Fiche résumé

Translations

  • (x;y)→(x+a;y+b)(x ; y) \to (x + a ; y + b).
  • Longueurs et angles sont conservés.

Attention : gauche et bas sont négatifs.

Corrigé: Pyramides, cônes et translations

1. Volume des pyramides et des cônes

A

  1. 72π72 \pi
  2. 144π144 \pi

B

  1. 8080

C

  1. 13\frac{1}{3}
  2. 13\frac{1}{3}

D

  1. 42π42 \pi

E

  1. 72π72 \pi
  2. 144π144 \pi
  3. 48π48 \pi

2. Translations et transformations isométriques

A

  1. (−2,−5)(-2, -5)
  2. (5,−4)(5, -4)

B

  1. 33

C

  1. Seulement sa position : les longueurs et les angles restent les mêmes
  2. Seulement sa position : les longueurs et les angles restent les mêmes

D

  1. (−3,−2), (0,−2), (−2,0)(-3, -2),\ (0, -2),\ (-2, 0)

E

  1. 33
  2. −2-2
  3. 44