Droites remarquables et cercle circonscrit

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Comment appelle-t-on la droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé ?

La médiane
La hauteur

L'idée clé

Quatre familles de droites d'un triangle.

Figure non à l'échelle

Médiatrice : perpendiculaire à un côté en son milieu. Médiane : d'un sommet au milieu du côté opposé. Hauteur : d'un sommet, perpendiculaire au côté opposé. Bissectrice : partage un angle en deux angles égaux.

Un triangle est rectangle si et seulement s'il est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l'un de ses côtés. Son centre est le milieu de l'hypoténuse.

Exemple corrigé

$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $BC = 10$ .

Le rayon vaut

\dfrac{BC}{2}

Le centre est le milieu de [BC].

5

Rayon.

À toi, guidé

À toi : un triangle rectangle a une hypoténuse de 8. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?

4

8 ÷ 2.

Entraînement ★

$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $BC = 18$ . Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $BC = 8$ . Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $BC = 12$ . Calcule le rayon de son cercle circonscrit.

Attention !

Entraînement ★★

Quelle droite est perpendiculaire à un côté en son milieu ?
1. La médiatrice
2. La médiane
3. La bissectrice
Quelle droite est perpendiculaire à un côté en son milieu ?
1. La médiatrice
2. La médiane
3. La bissectrice

Problème final. $ABC$ est rectangle en $A$ , avec $AB = 15$ et $AC = 20$ .

Comment s'appelle la droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé ?
1. La hauteur
2. La médiane
3. La médiatrice

Comment s'appelle la droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé ?
1. La médiane
2. La hauteur
3. La bissectrice

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $BC = 18$ . Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $BC = 8$ . Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
$ABC$ est rectangle en $A$ , avec $BC = 12$ . Calcule le rayon de son cercle circonscrit.

Fiche résumé

Droites remarquables

Médiatrice, médiane, hauteur, bissectrice.
Triangle rectangle : hypoténuse = diamètre.

Attention : médiane et hauteur sont en général différentes.

Fin de la leçon

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