Triangles : Pythagore et droites remarquables

Imprimer le chapitre

Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

1. Le théorème de Pythagore

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit 3 et 4. Les carrés construits sur ces côtés ont pour aires 9 et 16. Quelle est l'aire du carré construit sur l'hypoténuse ?

  1. 25
  2. 49

L'idée clé

Le théorème de Pythagore.

Dans un triangle rectangle, de côtés de l'angle droit aa et bb, et d'hypoténuse cc (le côté opposé à l'angle droit, le plus long) : a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. Pour un côté de l'angle droit, on soustrait : b2=c2−a2b^2 = c^2 - a^2.

Exemple corrigé

Hypoténuse 10, un côté 6.

b2=100−36=64b^2 = 100 - 36 = 64
On soustrait les carrés.
b=8b = 8
Racine carrée.

À toi, guidé

À toi : côtés 8 et 15. Calcule l'hypoténuse.

1717
√(64 + 225) = √289.

Entraînement ★

  1. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 10 et 24. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
  2. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 20 et 48. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
  1. Un triangle rectangle a pour hypoténuse 15 et un côté 9. Quelle est la longueur de l'autre côté ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 2 et 4. Donne la valeur exacte de l'hypoténuse.
  2. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 3 et 3. Donne la valeur exacte de l'hypoténuse.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 10 et 24. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
  2. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 20 et 48. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?
  3. Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit 15 et 36. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?

Fiche résumé

Pythagore

  • a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, avec cc l'hypoténuse.
  • Pour un autre côté, on soustrait.

Attention : repère d'abord l'hypoténuse.

2. Réciproque du théorème de Pythagore ; applications et distances

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un triangle a pour côtés 6, 8 et 10. Est-il rectangle ?

  1. Oui
  2. On ne peut pas savoir

L'idée clé

La réciproque, la contraposée, et les applications.

Réciproque : si a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, où cc est le plus long côté, alors le triangle est rectangle. Contraposée : si a2+b2≠c2a^2 + b^2 \neq c^2, il n'est pas rectangle.

Une distance dans un repère orthonormé est l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Exemple corrigé

Distance entre (1;2)(1 ; 2) et (7;10)(7 ; 10).

Côtés 6 et 8
Écarts.
Distance 10
√(36 + 64).

À toi, guidé

À toi : distance entre (0;0)(0 ; 0) et (5;12)(5 ; 12).

1313
√(25 + 144).

Entraînement ★

  1. Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est-il rectangle ?
    1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
    2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
    3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
  2. Un triangle de côtés 9, 12 et 15 est-il rectangle ?
    1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
    2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
    3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
  1. Une échelle de 13 m est appuyée contre un mur et monte à 12 m. À quelle distance du mur est son pied ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Un triangle de côtés 7, 8 et 9 est-il rectangle ?
    1. Non : 49+6449 + 64 n'est pas 8181
    2. Oui : comme 3, 4, 5, les côtés sont consécutifs
    3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
  2. Un triangle de côtés 6, 7 et 8 est-il rectangle ?
    1. Non : 36+4936 + 49 n'est pas 6464
    2. Oui : comme 3, 4, 5, les côtés sont consécutifs
    3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
  1. Problème final. Calcule la distance entre A(−1;−5)A(-1 ; -5) et B(5;3)B(5 ; 3) à l'aide d'un triangle rectangle.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Un triangle de côtés 3, 4 et 5 est-il rectangle ?
    1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
    2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
    3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
  2. Un triangle de côtés 9, 12 et 15 est-il rectangle ?
    1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
    2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
    3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle
  3. Un triangle de côtés 15, 20 et 25 est-il rectangle ?
    1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
    2. Non : les côtés ne sont pas des entiers consécutifs
    3. On ne peut pas savoir sans mesurer un angle

Fiche résumé

Réciproque de Pythagore

  • a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 : angle droit.
  • Contraposée : égalité fausse, pas rectangle.

Attention : teste toujours avec le plus long côté comme cc.

3. Droite des milieux

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans le triangle ABCABC, II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC]. Que dire de (IJ)(IJ) et (BC)(BC) ?

  1. Elles sont parallèles
  2. Elles sont perpendiculaires

L'idée clé

Trois théorèmes sur les milieux.

Figure non à l'échelle

Si II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC] : (IJ)∥(BC)(IJ) \parallel (BC) et IJ=BC2IJ = \dfrac{BC}{2}.

Si II est le milieu de [AB][AB] et si la parallèle à (BC)(BC) passant par II coupe [AC][AC] en JJ, alors JJ est le milieu de [AC][AC].

Exemple corrigé

BC=10BC = 10 et II, JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC].

IJ=102IJ = \dfrac{10}{2}
Droite des milieux.
IJ=5IJ = 5
Résultat.

À toi, guidé

À toi : IJ=7IJ = 7. Calcule BCBC.

1414
Double.

Entraînement ★

  1. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], et BC=18BC = 18. Calcule IJIJ.
  2. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], et BC=14BC = 14. Calcule IJIJ.
  3. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], et BC=6BC = 6. Calcule IJIJ.

Attention !

Entraînement ★★

  1. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], et IJ=13IJ = 13. Calcule BCBC.
  2. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], et IJ=12IJ = 12. Calcule BCBC.
  1. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC]. Que peut-on dire de (IJ)(IJ) et (BC)(BC) ?
    1. Elles sont parallèles
    2. Elles sont perpendiculaires
    3. Elles sont confondues
  1. Dans un triangle, les côtés mesurent 4, 18 et 4. Quel est le périmètre du triangle formé par les trois milieux ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], et BC=18BC = 18. Calcule IJIJ.
  2. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], et BC=14BC = 14. Calcule IJIJ.
  3. II et JJ sont les milieux de [AB][AB] et [AC][AC], et BC=6BC = 6. Calcule IJIJ.

Fiche résumé

Droite des milieux

  • (IJ)∥(BC)(IJ) \parallel (BC).
  • IJ=BC2IJ = \dfrac{BC}{2}.

Attention : c'est la moitié, pas le côté entier.

4. Droites remarquables et cercle circonscrit

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Comment appelle-t-on la droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé ?

  1. La médiane
  2. La hauteur

L'idée clé

Quatre familles de droites d'un triangle.

Figure non à l'échelle

Médiatrice : perpendiculaire à un côté en son milieu. Médiane : d'un sommet au milieu du côté opposé. Hauteur : d'un sommet, perpendiculaire au côté opposé. Bissectrice : partage un angle en deux angles égaux.

Un triangle est rectangle si et seulement s'il est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l'un de ses côtés. Son centre est le milieu de l'hypoténuse.

Exemple corrigé

ABCABC est rectangle en AA, avec BC=10BC = 10.

Le rayon vaut BC2\dfrac{BC}{2}
Le centre est le milieu de [BC].
55
Rayon.

À toi, guidé

À toi : un triangle rectangle a une hypoténuse de 8. Quel est le rayon de son cercle circonscrit ?

44
8 ÷ 2.

Entraînement ★

  1. ABCABC est rectangle en AA, avec BC=18BC = 18. Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
  2. ABCABC est rectangle en AA, avec BC=8BC = 8. Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
  3. ABCABC est rectangle en AA, avec BC=12BC = 12. Calcule le rayon de son cercle circonscrit.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle droite est perpendiculaire à un côté en son milieu ?
    1. La médiatrice
    2. La médiane
    3. La bissectrice
  2. Quelle droite est perpendiculaire à un côté en son milieu ?
    1. La médiatrice
    2. La médiane
    3. La bissectrice
  1. Problème final. ABCABC est rectangle en AA, avec AB=15AB = 15 et AC=20AC = 20.
  1. Comment s'appelle la droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé ?
    1. La hauteur
    2. La médiane
    3. La médiatrice
  1. Comment s'appelle la droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé ?
    1. La médiane
    2. La hauteur
    3. La bissectrice

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. ABCABC est rectangle en AA, avec BC=18BC = 18. Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
  2. ABCABC est rectangle en AA, avec BC=8BC = 8. Calcule le rayon de son cercle circonscrit.
  3. ABCABC est rectangle en AA, avec BC=12BC = 12. Calcule le rayon de son cercle circonscrit.

Fiche résumé

Droites remarquables

  • Médiatrice, médiane, hauteur, bissectrice.
  • Triangle rectangle : hypoténuse = diamètre.

Attention : médiane et hauteur sont en général différentes.

Corrigé: Triangles : Pythagore et droites remarquables

1. Le théorème de Pythagore

A

  1. 2626
  2. 5252

B

  1. 1212

C

  1. 252 \sqrt{5}
  2. 323 \sqrt{2}

D

  1. 2626
  2. 5252
  3. 3939

2. Réciproque du théorème de Pythagore ; applications et distances

A

  1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
  2. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand

B

  1. 55

C

  1. Non : 49+6449 + 64 n'est pas 8181
  2. Non : 36+4936 + 49 n'est pas 6464

D

  1. 1010

E

  1. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
  2. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand
  3. Oui : les carrés des deux petits côtés ont pour somme le carré du plus grand

3. Droite des milieux

A

  1. 99
  2. 77
  3. 33

B

  1. 2626
  2. 2424

C

  1. Elles sont parallèles

D

  1. 1313

E

  1. 99
  2. 77
  3. 33

4. Droites remarquables et cercle circonscrit

A

  1. 99
  2. 44
  3. 66

B

  1. La médiatrice
  2. La médiatrice

C

  1. 252\frac{25}{2}

D

  1. La hauteur

E

  1. La médiane

F

  1. 99
  2. 44
  3. 66