Dérivée d'un produit, d'un inverse, d'un quotient

À propos de cette leçon

Première, spécialité › Dérivation

Avec le corrigé

Pour obtenir un PDF, choisis « Enregistrer au format PDF » dans la fenêtre d'impression.

Dérivée d'un produit, d'un inverse, d'un quotient

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$f(x) = x \times x$ . A-t-on $f'(x) = 1 \times 1$ ?

Non : $f'(x) = 2x$
Oui

L'idée clé

Produit, inverse, quotient : chacun a sa formule.

(uv)' = u'v + uv'

;

\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}

;

\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

.

Exemple corrigé

$f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}$ . Calcule $f'(x)$ .

u' = 2x

,

v' = 1

u = x², v = x + 1.

f'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2}

Formule.

f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}

On simplifie.

À toi, guidé

À toi : $f(x) = x\sqrt{x}$ . Que vaut $f'(4)$ ?

3

f'(x) = √x + x/(2√x) ; f'(4) = 2 + 1.

Entraînement ★

$f(x) = (x + 2)x^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 2)x^{ 2 }$ . Calcule $f'(x)$ .

$f(x) = \dfrac{1}{x + 7}$ . Calcule $f'(x)$ .

Attention !

Entraînement ★★

$f(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = \dfrac{x}{x + 4}$ . Calcule $f'(x)$ .

$f(x) = 7x^3 + 5x^2$ . Calcule $f'(x)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(x) = (x + 2)x^{ 4 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 2)x^{ 2 }$ . Calcule $f'(x)$ .
$f(x) = (x + 3)x^{ 3 }$ . Calcule $f'(x)$ .

Fiche résumé

Opérations

$(uv)' = u'v + uv'$ .
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Attention : jamais $(uv)' = u'v'$ .

Fin de la leçon

Retour au chapitre

Corrigé: Dérivée d'un produit, d'un inverse, d'un quotient

A

$x^{4} + x^{3} \left(4 x + 8\right)$
$x^{2} + x \left(2 x + 4\right)$

B

$- \frac{1}{\left(x + 7\right)^{2}}$

C

$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$
$\frac{4}{\left(x + 4\right)^{2}}$

D

$21 x^{2} + 10 x$

E

$x^{4} + x^{3} \left(4 x + 8\right)$
$x^{2} + x \left(2 x + 4\right)$
$x^{3} + x^{2} \left(3 x + 9\right)$

CC BY-SA 4.0