Dérivation

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Le nombre dérivé : définition par une limite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de y=x2y = x^2. La droite bleue passe par ses points d'abscisses aa et a+ha + h. Déplace aa, puis réduis hh.

La parabole y = x² et une sécante passant par ses points d'abscisses a et a + h. Quand h diminue, la sécante tend vers la tangente en a, de coefficient directeur 2a.

Avec a=1a = 1, le coefficient directeur de la droite bleue est 2+h2 + h. Vers quoi tend-il quand hh tend vers 0 ?

  1. 2
  2. 1

L'idée clé

Le taux de variation de ff entre aa et a+ha + h est le coefficient directeur de la sécante. Sa limite est le nombre dérivé.

  1. Étape 1h = 2 : la sécante passant par P et Q a pour coefficient directeur 2.
  2. Étape 2h = 1 : coefficient directeur 1,5.
  3. Étape 3h = 0,5 : coefficient directeur 1,25.
  4. Étape 4h = 0,1 : coefficient directeur 1,05 ; les valeurs tendent vers 1, celui de la tangente en P.

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a + h) - f(a)}{h}, si cette limite existe. C'est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse aa.

Exemple corrigé

f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x. Calcule f′(2)f'(2).

f(2+h)−f(2)=7h+h2f(2 + h) - f(2) = 7h + h^2
f(2 + h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h et f(2) = 10.
f(2+h)−f(2)h=7+h\dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} = 7 + h
On divise par h ≠ 0.
f′(2)=7f'(2) = 7
h tend vers 0.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x2+3xf(x) = x^2 + 3x en a=1a = 1.

f(1+h)−f(1)=5h+h2f(1 + h) - f(1) = 5h + h^2
f(1 + h) = 1 + 2h + h² + 3 + 3h et f(1) = 4.
f′(1)=5f'(1) = 5
On divise par h, puis h tend vers 0.

Entraînement ★

  1. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x. Utilise f′(4)=lim⁡h→0f(4+h)−f(4)hf'(4) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h} pour calculer f′(4)f'(4).
  2. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x. Utilise f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hf'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} pour calculer f′(2)f'(2).
  3. f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x. Utilise f′(5)=lim⁡h→0f(5+h)−f(5)hf'(5) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h} pour calculer f′(5)f'(5).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle expression est égale à f′(2)f'(2) ?
    1. lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}
    2. lim⁡h→0(f(2+h)−f(2))\displaystyle\lim_{h \to 0} \big(f(2 + h) - f(2)\big)
    3. f(2+1)−f(2)1\dfrac{f(2 + 1) - f(2)}{1}
    4. f(2)f(2)
  1. f(x)=4xf(x) = \dfrac{ 4 }{x}. Utilise la définition par une limite pour calculer f′(3)f'(3).
  2. f(x)=6xf(x) = \dfrac{ 6 }{x}. Utilise la définition par une limite pour calculer f′(4)f'(4).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x. Utilise f′(4)=lim⁡h→0f(4+h)−f(4)hf'(4) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(4 + h) - f(4)}{h} pour calculer f′(4)f'(4).
  2. f(x)=x2+4xf(x) = x^2 + 4x. Utilise f′(2)=lim⁡h→0f(2+h)−f(2)hf'(2) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h} pour calculer f′(2)f'(2).
  3. f(x)=x2+5xf(x) = x^2 + 5x. Utilise f′(5)=lim⁡h→0f(5+h)−f(5)hf'(5) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(5 + h) - f(5)}{h} pour calculer f′(5)f'(5).

Fiche résumé

Nombre dérivé

  • Écris et simplifie f(a+h)−f(a)f(a + h) - f(a).
  • Divise par hh, puis fais tendre hh vers 0.

Attention : f′(a)f'(a) est un coefficient directeur, pas la valeur f(a)f(a).

2. La tangente

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite bleue est la tangente à y=x2y = x^2 en x=ax = a. Déplace aa.

La parabole y = x² et sa tangente en x = a, qui touche la courbe en (a ; a²) avec le coefficient directeur 2a.

En a=1a = 1, la tangente a pour coefficient directeur 2 et touche la courbe en (1;1)(1 ; 1). Quelle est son équation ?

  1. y=1+2(x−1)y = 1 + 2(x - 1)
  2. y=2xy = 2x

L'idée clé

La tangente touche la courbe au point (a;f(a))(a ; f(a)) avec le coefficient directeur f′(a)f'(a).

La tangente à la courbe de ff au point d'abscisse aa a pour équation y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x - a).

Exemple corrigé

f(2)=5f(2) = 5 et f′(2)=−3f'(2) = -3. Écris la tangente en x=2x = 2.

y=5+(−3)(x−2)y = 5 + (-3)(x - 2)
Le point (2 ; 5) et le coefficient −3.
y=−3x+11y = -3x + 11
On développe.

À toi, guidé

À toi : f(4)=1f(4) = 1 et f′(4)=2f'(4) = 2.

y=1+2(x−4)y = 1 + 2(x - 4)
Point (4 ; 1), coefficient 2.
y=2x−7y = 2x - 7
On développe : 2x − 8 + 1.

Entraînement ★

  1. Pour f(x)=x2f(x) = x^2, on a f′(x)=2xf'(x) = 2x. Trace la tangente à la courbe en x=1x = 1 : place deux points dessus.
  2. Pour f(x)=x2f(x) = x^2, on a f′(x)=2xf'(x) = 2x. Trace la tangente à la courbe en x=−2x = -2 : place deux points dessus.
  1. f(1)=2f(1) = 2 et f′(1)=3f'(1) = 3. Écris la tangente à la courbe de ff en x=1x = 1 : entre le membre de droite de y=…y = \ldots
  2. f(2)=−5f(2) = -5 et f′(2)=3f'(2) = 3. Écris la tangente à la courbe de ff en x=2x = 2 : entre le membre de droite de y=…y = \ldots

Attention !

Entraînement ★★

  1. Pour f(x)=x3f(x) = x^3, le taux de variation en x=−3x = -3 se simplifie en 27+−9h+h227 + -9h + h^2. Quel est le coefficient directeur de la tangente en x=−3x = -3 ?
  2. Pour f(x)=x3f(x) = x^3, le taux de variation en x=−2x = -2 se simplifie en 12+−6h+h212 + -6h + h^2. Quel est le coefficient directeur de la tangente en x=−2x = -2 ?
  1. Problème final. f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. Trouve la tangente à sa courbe en x=5x = 5, à partir de la définition.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(1)=2f(1) = 2 et f′(1)=3f'(1) = 3. Écris la tangente à la courbe de ff en x=1x = 1 : entre le membre de droite de y=…y = \ldots
  2. f(2)=−5f(2) = -5 et f′(2)=3f'(2) = 3. Écris la tangente à la courbe de ff en x=2x = 2 : entre le membre de droite de y=…y = \ldots
  3. f(1)=−4f(1) = -4 et f′(1)=−3f'(1) = -3. Écris la tangente à la courbe de ff en x=1x = 1 : entre le membre de droite de y=…y = \ldots

Fiche résumé

Tangente

  • Point (a;f(a))(a ; f(a)), coefficient f′(a)f'(a).
  • y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x - a).

Attention : y=f′(a)xy = f'(a)x manque en général le point.

3. Approximation linéaire et valeur absolue

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

f(x)=x2f(x) = x^2. Sans calculatrice, comment approcher f(1,01)f(1{,}01) ?

  1. f(1)+f′(1)×0,01=1,02f(1) + f'(1) \times 0{,}01 = 1{,}02
  2. f(1)=1f(1) = 1

L'idée clé

Près de aa, la courbe se confond avec sa tangente.

f(a+h)≈f(a)+f′(a)hf(a + h) \approx f(a) + f'(a)h pour hh proche de 0.

La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 : son taux de variation vaut 1 à droite et −1-1 à gauche.

Exemple corrigé

Approche 4,1\sqrt{4{,}1}.

4,1≈2+0,14\sqrt{4{,}1} \approx 2 + \dfrac{0{,}1}{4}
f(x) = √x, f(4) = 2, f'(4) = 1/4.
≈2,025\approx 2{,}025
On calcule.

À toi, guidé

À toi : f(2)=3f(2) = 3 et f′(2)=5f'(2) = 5. Quelle est l'approximation de f(2,1)f(2{,}1) ?

3,53{,}5
3 + 5 × 0,1.

Entraînement ★

  1. f(3)=7f(3) = 7 et f′(3)=5f'(3) = 5. Donne l'approximation affine de f(3+h)f(3 + h), en fonction de hh.
  2. f(7)=7f(7) = 7 et f′(7)=4f'(7) = 4. Donne l'approximation affine de f(7+h)f(7 + h), en fonction de hh.
  3. f(8)=6f(8) = 6 et f′(8)=2f'(8) = 2. Donne l'approximation affine de f(8+h)f(8 + h), en fonction de hh.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est le taux de variation de x↦∣x∣x \mapsto |x| entre 0 et h=−9h = -9 ?
    1. −1-1
    2. 11
    3. 00
  2. Quel est le taux de variation de x↦∣x∣x \mapsto |x| entre 0 et h=−2h = -2 ?
    1. −1-1
    2. 11
    3. 00
  1. f(1)=1f(1) = 1 et f′(1)=2f'(1) = 2. Donne l'approximation de f(1,1)f(1{,}1) par la tangente.
  1. La fonction x↦∣x∣x \mapsto |x| est-elle dérivable en 0 ?
    1. Non : les taux à gauche et à droite diffèrent
    2. Oui : elle est continue en 0
    3. Oui : sa dérivée y vaut 0

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(3)=7f(3) = 7 et f′(3)=5f'(3) = 5. Donne l'approximation affine de f(3+h)f(3 + h), en fonction de hh.
  2. f(7)=7f(7) = 7 et f′(7)=4f'(7) = 4. Donne l'approximation affine de f(7+h)f(7 + h), en fonction de hh.
  3. f(8)=6f(8) = 6 et f′(8)=2f'(8) = 2. Donne l'approximation affine de f(8+h)f(8 + h), en fonction de hh.

Fiche résumé

Approximation

  • f(a+h)≈f(a)+f′(a)hf(a + h) \approx f(a) + f'(a)h.
  • ∣x∣|x| n'est pas dérivable en 0.

Attention : hh doit être petit.

4. La fonction dérivée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La courbe violette est celle de y=x3−3xy = x^3 - 3x. La droite bleue est sa tangente en x=ax = a. Fais glisser aa de −2-2 à 22 et regarde le coefficient directeur.

La cubique y = x³ − 3x et sa tangente en x = a. La tangente est horizontale en x = −1 et en x = 1, descend entre les deux et monte à l'extérieur.

Entre x=−1x = -1 et x=1x = 1, la courbe descend. Quel est le signe du coefficient directeur ?

  1. Négatif
  2. Positif

L'idée clé

Calculer f′(a)f'(a) pour chaque aa donne une nouvelle fonction.

La fonction dérivée est f′:x↦f′(x)f' : x \mapsto f'(x). Là où ff croît, f′(x)≥0f'(x) \geq 0 ; là où ff décroît, f′(x)≤0f'(x) \leq 0 ; là où la tangente est horizontale, f′(x)=0f'(x) = 0.

Exemple corrigé

f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x. Calcule f′(x)f'(x).

f(x+h)−f(x)=2xh+h2−4hf(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 - 4h
On développe et on retranche x² − 4x.
f(x+h)−f(x)h=2x+h−4\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h - 4
On divise par h ≠ 0.
f′(x)=2x−4f'(x) = 2x - 4
h tend vers 0. Vérification : f' = 0 en x = 2, au sommet.

À toi, guidé

À toi : f(x)=x2+6xf(x) = x^2 + 6x.

f(x+h)−f(x)h=2x+h+6\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h + 6
Mêmes étapes.
f′(x)=2x+6f'(x) = 2x + 6
h tend vers 0.

Entraînement ★

  1. Voici la courbe de y=f(x)y = f(x). Touche le point de la courbe où f′(x)=0f'(x) = 0.
  2. Voici la courbe de y=f(x)y = f(x). Touche le point de la courbe où f′(x)=0f'(x) = 0.
  1. f(x)=(x−3)2+3f(x) = (x - 3)^2 + 3, une parabole de sommet (3;3)(3 ; 3). Coche toutes les affirmations vraies.
    1. f′(3)=0f'(3) = 0
    2. f′(x)<0f'(x) < 0 pour x<3x < 3
    3. f′(x)>0f'(x) > 0 pour x>3x > 3
    4. f′(3)=3f'(3) = 3
    5. f′(x)>0f'(x) > 0 pour tout xx, car f(x)>0f(x) > 0

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=3x2+8xf(x) = 3x^2 + 8x. Utilise f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} pour calculer f′(x)f'(x).
  2. f(x)=3x2+5xf(x) = 3x^2 + 5x. Utilise f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} pour calculer f′(x)f'(x).
  3. f(x)=5x2+2xf(x) = 5x^2 + 2x. Utilise f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} pour calculer f′(x)f'(x).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=3x2+8xf(x) = 3x^2 + 8x. Utilise f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} pour calculer f′(x)f'(x).
  2. f(x)=3x2+5xf(x) = 3x^2 + 5x. Utilise f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} pour calculer f′(x)f'(x).
  3. f(x)=5x2+2xf(x) = 5x^2 + 2x. Utilise f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} pour calculer f′(x)f'(x).

Fiche résumé

Fonction dérivée

  • f′(x)f'(x) est le coefficient directeur de la tangente en xx.
  • ff croît : f′≥0f' \geq 0. ff décroît : f′≤0f' \leq 0.

Attention : f′=0f' = 0 (tangente horizontale) n'est pas f=0f = 0 (sur l'axe).

5. Dérivée des puissances, d'un produit par une constante et d'une somme

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

À partir de la définition : (x2)′=2x(x^2)' = 2x et (x3)′=3x2(x^3)' = 3x^2. Devine la suite : que vaut (x4)′(x^4)' ?

  1. 4x34x^3
  2. x3x^3

L'idée clé

Ces règles remplacent le calcul de limite.

(xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n - 1} pour nn dans Z\mathbb{Z} ; (1x)′=−1x2\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2} ; (x)′=12x(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} pour x>0x > 0.

(kf)′=kf′(kf)' = kf' ; (f+g)′=f′+g′(f + g)' = f' + g' ; la dérivée d'une constante est nulle.

Exemple corrigé

f(x)=5x3−2x+7f(x) = 5x^3 - \dfrac{2}{x} + 7. Calcule f′(x)f'(x).

f(x)=5x3−2x−1+7f(x) = 5x^3 - 2x^{-1} + 7
On écrit la fraction comme une puissance.
f′(x)=15x2+2x−2f'(x) = 15x^2 + 2x^{-2}
Terme à terme ; la constante 7 donne 0.
f′(x)=15x2+2x2f'(x) = 15x^2 + \dfrac{2}{x^2}
On revient à une fraction.

À toi, guidé

À toi : f(x)=4x5+3x−9f(x) = 4x^5 + 3x - 9.

f′(x)=20x4+3f'(x) = 20x^4 + 3
20x⁴, 3 et 0.

Entraînement ★

  1. f(x)=8x5+3xf(x) = 8x^{ 5 } + 3x. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=4x3+6xf(x) = 4x^{ 3 } + 6x. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=6x5+5xf(x) = 6x^{ 5 } + 5x. Calcule f′(x)f'(x).

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=6x2f(x) = \dfrac{ 6 }{x^{ 2 } }. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=9x3f(x) = \dfrac{ 9 }{x^{ 3 } }. Calcule f′(x)f'(x).
  1. f(x)=3x+8f(x) = 3\sqrt{x} + 8. Calcule f′(x)f'(x) pour x>0x > 0.
  2. f(x)=5x+4f(x) = 5\sqrt{x} + 4. Calcule f′(x)f'(x) pour x>0x > 0.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=8x5+3xf(x) = 8x^{ 5 } + 3x. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=4x3+6xf(x) = 4x^{ 3 } + 6x. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=6x5+5xf(x) = 6x^{ 5 } + 5x. Calcule f′(x)f'(x).

Fiche résumé

Dérivées usuelles

  • (xn)′=nxn−1(x^n)' = nx^{n - 1} ; écris d'abord racines et fractions comme il faut.
  • Les constantes multiplicatives restent ; les sommes se séparent.

Attention : avec un exposant négatif, −2−1=−3-2 - 1 = -3.

6. Dérivée d'un produit, d'un inverse, d'un quotient

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

f(x)=x×xf(x) = x \times x. A-t-on f′(x)=1×1f'(x) = 1 \times 1 ?

  1. Non : f′(x)=2xf'(x) = 2x
  2. Oui

L'idée clé

Produit, inverse, quotient : chacun a sa formule.

(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' ; (1v)′=−v′v2\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2} ; (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}.

Exemple corrigé

f(x)=x2x+1f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1}. Calcule f′(x)f'(x).

u′=2xu' = 2x, v′=1v' = 1
u = x², v = x + 1.
f′(x)=2x(x+1)−x2(x+1)2f'(x) = \dfrac{2x(x + 1) - x^2}{(x + 1)^2}
Formule.
f′(x)=x2+2x(x+1)2f'(x) = \dfrac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2}
On simplifie.

À toi, guidé

À toi : f(x)=xxf(x) = x\sqrt{x}. Que vaut f′(4)f'(4) ?

33
f'(x) = √x + x/(2√x) ; f'(4) = 2 + 1.

Entraînement ★

  1. f(x)=(x+2)x4f(x) = (x + 2)x^{ 4 }. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=(x+2)x2f(x) = (x + 2)x^{ 2 }. Calcule f′(x)f'(x).
  1. f(x)=1x+7f(x) = \dfrac{1}{x + 7}. Calcule f′(x)f'(x).

Attention !

Entraînement ★★

  1. f(x)=xx+1f(x) = \dfrac{x}{x + 1}. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=xx+4f(x) = \dfrac{x}{x + 4}. Calcule f′(x)f'(x).
  1. f(x)=7x3+5x2f(x) = 7x^3 + 5x^2. Calcule f′(x)f'(x).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(x)=(x+2)x4f(x) = (x + 2)x^{ 4 }. Calcule f′(x)f'(x).
  2. f(x)=(x+2)x2f(x) = (x + 2)x^{ 2 }. Calcule f′(x)f'(x).
  3. f(x)=(x+3)x3f(x) = (x + 3)x^{ 3 }. Calcule f′(x)f'(x).

Fiche résumé

Opérations

  • (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'.
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}.

Attention : jamais (uv)′=u′v′(uv)' = u'v'.

Corrigé: Dérivation

1. Le nombre dérivé : définition par une limite

A

  1. 1212
  2. 88
  3. 1515

B

  1. lim⁡h→0f(2+h)−f(2)h\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2 + h) - f(2)}{h}

C

  1. −49- \frac{4}{9}
  2. −38- \frac{3}{8}

D

  1. 1212
  2. 88
  3. 1515

2. La tangente

A

  1. y=2x−1y = 2 x - 1
  2. y=−4x−4y = - 4 x - 4

B

  1. 3x−13 x - 1
  2. 3x−113 x - 11

C

  1. 2727
  2. 1212

D

  1. 6x−256 x - 25

E

  1. 3x−13 x - 1
  2. 3x−113 x - 11
  3. −3x−1- 3 x - 1

3. Approximation linéaire et valeur absolue

A

  1. 5h+75 h + 7
  2. 4h+74 h + 7
  3. 2h+62 h + 6

B

  1. −1-1
  2. −1-1

C

  1. 65\frac{6}{5}

D

  1. Non : les taux à gauche et à droite diffèrent

E

  1. 5h+75 h + 7
  2. 4h+74 h + 7
  3. 2h+62 h + 6

4. La fonction dérivée

A

  1. (−1,1)(-1, 1)
  2. (−2,1)(-2, 1)

B

  1. f′(3)=0f'(3) = 0 · f′(x)<0f'(x) < 0 pour x<3x < 3 · f′(x)>0f'(x) > 0 pour x>3x > 3

C

  1. 6x+86 x + 8
  2. 6x+56 x + 5
  3. 10x+210 x + 2

D

  1. 6x+86 x + 8
  2. 6x+56 x + 5
  3. 10x+210 x + 2

5. Dérivée des puissances, d'un produit par une constante et d'une somme

A

  1. 40x4+340 x^{4} + 3
  2. 12x2+612 x^{2} + 6
  3. 30x4+530 x^{4} + 5

B

  1. −12x3- \frac{12}{x^{3}}
  2. −27x4- \frac{27}{x^{4}}

C

  1. 32x\frac{3}{2 \sqrt{x}}
  2. 52x\frac{5}{2 \sqrt{x}}

D

  1. 40x4+340 x^{4} + 3
  2. 12x2+612 x^{2} + 6
  3. 30x4+530 x^{4} + 5

6. Dérivée d'un produit, d'un inverse, d'un quotient

A

  1. x4+x3(4x+8)x^{4} + x^{3} \left(4 x + 8\right)
  2. x2+x(2x+4)x^{2} + x \left(2 x + 4\right)

B

  1. −1(x+7)2- \frac{1}{\left(x + 7\right)^{2}}

C

  1. 1(x+1)2\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}
  2. 4(x+4)2\frac{4}{\left(x + 4\right)^{2}}

D

  1. 21x2+10x21 x^{2} + 10 x

E

  1. x4+x3(4x+8)x^{4} + x^{3} \left(4 x + 8\right)
  2. x2+x(2x+4)x^{2} + x \left(2 x + 4\right)
  3. x3+x2(3x+9)x^{3} + x^{2} \left(3 x + 9\right)