Exponentielle : variations, courbe et modèles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$\mathrm{e}^{x}$ peut-il être négatif ?

Non, jamais
Oui, pour $x < 0$

L'idée clé

La fonction exp est strictement positive et strictement croissante.

$\mathrm{e}^x > 0$ pour tout $x$ , et $\exp$ est strictement croissante.

Pour $a$ réel, $t \mapsto \mathrm{e}^{at}$ a pour dérivée $t \mapsto a\mathrm{e}^{at}$ . Pour $k > 0$ : $\mathrm{e}^{kt}$ est une croissance, $\mathrm{e}^{-kt}$ une décroissance exponentielle.

Exemple corrigé

Étudie $f(t) = 100\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ .

f'(t) = -50\mathrm{e}^{-0{,}5t}

Dérivée.

f'(t) < 0

:

f

est décroissante.

Signe : eˣ > 0.

À toi, guidé

À toi : que vaut $f(0)$ pour $f(t) = 100\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ ?

100

e⁰ = 1.

Entraînement ★

$f(t) = 6\mathrm{e}^{ 8t }$ . Calcule $f'(t)$ .
$f(t) = 8\mathrm{e}^{ 8t }$ . Calcule $f'(t)$ .
$f(t) = 8\mathrm{e}^{ 4t }$ . Calcule $f'(t)$ .

Attention !

Entraînement ★★

Comment varie $f(t) = \mathrm{e}^{-4t}$ sur $\mathbb{R}$ ?
1. Elle est décroissante
2. Elle est croissante
3. Elle change de sens en 0
Comment varie $f(t) = \mathrm{e}^{-5t}$ sur $\mathbb{R}$ ?
1. Elle est décroissante
2. Elle est croissante
3. Elle change de sens en 0

Problème final. Une quantité vaut $f(t) = 100\mathrm{e}^{-3t}$ .

Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f(t) = \mathrm{e}^{ 4t }$ en $t = 0$ ?

$f(t) = 8\mathrm{e}^{-t}$ . Calcule $f(0)$ .

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

$f(t) = 6\mathrm{e}^{ 8t }$ . Calcule $f'(t)$ .
$f(t) = 8\mathrm{e}^{ 8t }$ . Calcule $f'(t)$ .
$f(t) = 8\mathrm{e}^{ 4t }$ . Calcule $f'(t)$ .

Fiche résumé

Variations de exp

Strictement positive et croissante.
$(\mathrm{e}^{at})' = a\mathrm{e}^{at}$ .

Attention : n'oublie pas le facteur $a$ .

À propos de cette leçon