Fonction exponentielle

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1. Fonction exponentielle : définition et propriétés

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On admet qu'il existe une unique fonction dérivable sur R\mathbb{R} telle que f′=ff' = f et f(0)=1f(0) = 1. Laquelle ?

  1. La fonction exponentielle
  2. La fonction carré

L'idée clé

La fonction exponentielle transforme les sommes en produits.

exp⁡′=exp⁡\exp' = \exp et exp⁡(0)=1\exp(0) = 1. On note ex=exp⁡(x)\mathrm{e}^x = \exp(x), avec e≈2,718\mathrm{e} \approx 2{,}718.

ex+y=exey\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x\mathrm{e}^y ; e−x=1ex\mathrm{e}^{-x} = \dfrac{1}{\mathrm{e}^x} ; ex−y=exey\mathrm{e}^{x - y} = \dfrac{\mathrm{e}^x}{\mathrm{e}^y} ; (ex)n=enx(\mathrm{e}^x)^n = \mathrm{e}^{nx}.

Exemple corrigé

Simplifie e3xe2ex\dfrac{\mathrm{e}^{3x}\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}^{x}}.

e3x+2ex\dfrac{\mathrm{e}^{3x + 2}}{\mathrm{e}^x}
Produit au numérateur.
e2x+2\mathrm{e}^{2x + 2}
Quotient.

À toi, guidé

À toi : simplifie ex×e−x\mathrm{e}^{x} \times \mathrm{e}^{-x}.

11
e⁰.

Entraînement ★

  1. Simplifie e2x×e3x\mathrm{e}^{ 2x } \times \mathrm{e}^{ 3x }.
  2. Simplifie e2x×e4x\mathrm{e}^{ 2x } \times \mathrm{e}^{ 4x }.
  3. Simplifie e8x×e3x\mathrm{e}^{ 8x } \times \mathrm{e}^{ 3x }.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Simplifie e8xe3x\dfrac{\mathrm{e}^{ 8x }}{\mathrm{e}^{ 3x }}.
  2. Simplifie e9xe1x\dfrac{\mathrm{e}^{ 9x }}{\mathrm{e}^{ 1x }}.
  1. Simplifie (e4x)5\left(\mathrm{e}^{ 4x }\right)^{ 5 }.
  1. Quel est le signe de ex\mathrm{e}^x ?
    1. Strictement positif pour tout réel xx
    2. Négatif pour x<0x < 0
    3. Nul en 0

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Simplifie e2x×e3x\mathrm{e}^{ 2x } \times \mathrm{e}^{ 3x }.
  2. Simplifie e2x×e4x\mathrm{e}^{ 2x } \times \mathrm{e}^{ 4x }.
  3. Simplifie e8x×e3x\mathrm{e}^{ 8x } \times \mathrm{e}^{ 3x }.

Fiche résumé

Exponentielle

  • exp⁡′=exp⁡\exp' = \exp, exp⁡(0)=1\exp(0) = 1.
  • ex+y=exey\mathrm{e}^{x + y} = \mathrm{e}^x\mathrm{e}^y.

Attention : ex+y\mathrm{e}^{x + y} n'est pas ex+ey\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^y.

2. Exponentielle : variations, courbe et modèles

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

ex\mathrm{e}^{x} peut-il être négatif ?

  1. Non, jamais
  2. Oui, pour x<0x < 0

L'idée clé

La fonction exp est strictement positive et strictement croissante.

ex>0\mathrm{e}^x > 0 pour tout xx, et exp⁡\exp est strictement croissante.

Pour aa réel, t↦eatt \mapsto \mathrm{e}^{at} a pour dérivée t↦aeatt \mapsto a\mathrm{e}^{at}. Pour k>0k > 0 : ekt\mathrm{e}^{kt} est une croissance, e−kt\mathrm{e}^{-kt} une décroissance exponentielle.

Exemple corrigé

Étudie f(t)=100e−0,5tf(t) = 100\mathrm{e}^{-0{,}5t}.

f′(t)=−50e−0,5tf'(t) = -50\mathrm{e}^{-0{,}5t}
Dérivée.
f′(t)<0f'(t) < 0 : ff est décroissante.
Signe : eˣ > 0.

À toi, guidé

À toi : que vaut f(0)f(0) pour f(t)=100e−0,5tf(t) = 100\mathrm{e}^{-0{,}5t} ?

100100
e⁰ = 1.

Entraînement ★

  1. f(t)=6e8tf(t) = 6\mathrm{e}^{ 8t }. Calcule f′(t)f'(t).
  2. f(t)=8e8tf(t) = 8\mathrm{e}^{ 8t }. Calcule f′(t)f'(t).
  3. f(t)=8e4tf(t) = 8\mathrm{e}^{ 4t }. Calcule f′(t)f'(t).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Comment varie f(t)=e−4tf(t) = \mathrm{e}^{-4t} sur R\mathbb{R} ?
    1. Elle est décroissante
    2. Elle est croissante
    3. Elle change de sens en 0
  2. Comment varie f(t)=e−5tf(t) = \mathrm{e}^{-5t} sur R\mathbb{R} ?
    1. Elle est décroissante
    2. Elle est croissante
    3. Elle change de sens en 0
  1. Problème final. Une quantité vaut f(t)=100e−3tf(t) = 100\mathrm{e}^{-3t}.
  1. Quel est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f(t)=e4tf(t) = \mathrm{e}^{ 4t } en t=0t = 0 ?
  1. f(t)=8e−tf(t) = 8\mathrm{e}^{-t}. Calcule f(0)f(0).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. f(t)=6e8tf(t) = 6\mathrm{e}^{ 8t }. Calcule f′(t)f'(t).
  2. f(t)=8e8tf(t) = 8\mathrm{e}^{ 8t }. Calcule f′(t)f'(t).
  3. f(t)=8e4tf(t) = 8\mathrm{e}^{ 4t }. Calcule f′(t)f'(t).

Fiche résumé

Variations de exp

  • Strictement positive et croissante.
  • (eat)′=aeat(\mathrm{e}^{at})' = a\mathrm{e}^{at}.

Attention : n'oublie pas le facteur aa.

Corrigé: Fonction exponentielle

1. Fonction exponentielle : définition et propriétés

A

  1. e5xe^{5 x}
  2. e6xe^{6 x}
  3. e11xe^{11 x}

B

  1. e5xe^{5 x}
  2. e8xe^{8 x}

C

  1. e20xe^{20 x}

D

  1. Strictement positif pour tout réel xx

E

  1. e5xe^{5 x}
  2. e6xe^{6 x}
  3. e11xe^{11 x}

2. Exponentielle : variations, courbe et modèles

A

  1. 48e8t48 e^{8 t}
  2. 64e8t64 e^{8 t}
  3. 32e4t32 e^{4 t}

B

  1. Elle est décroissante
  2. Elle est décroissante

C

  1. −300-300

D

  1. 44

E

  1. 88

F

  1. 48e8t48 e^{8 t}
  2. 64e8t64 e^{8 t}
  3. 32e4t32 e^{4 t}