Géométrie repérée

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Vecteur normal et équation de droite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

La droite d'équation 2x+3y−1=02x + 3y - 1 = 0. Lequel de ces vecteurs lui est normal ?

  1. n⃗(2;3)\vec{n}(2 ; 3)
  2. n⃗(3;−2)\vec{n}(3 ; -2)

L'idée clé

Un vecteur normal est orthogonal à la droite.

n⃗(a;b)\vec{n}(a ; b) est normal à la droite ax+by+c=0ax + by + c = 0. Un vecteur directeur est u⃗(−b;a)\vec{u}(-b ; a).

Avec un point AA et n⃗\vec{n} : M∈d  ⟺  AM→⋅n⃗=0M \in d \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0.

Exemple corrigé

Droite passant par A(1;2)A(1 ; 2), de vecteur normal n⃗(3;4)\vec{n}(3 ; 4).

3x+4y+c=03x + 4y + c = 0
Forme.
3+8+c=03 + 8 + c = 0
On utilise A.
3x+4y−11=03x + 4y - 11 = 0
Équation.

À toi, guidé

À toi : quelle valeur de cc pour x+y+c=0x + y + c = 0 passant par (2;3)(2 ; 3) ?

−5-5
2 + 3 + c = 0.

Entraînement ★

  1. La droite dd passe par (5;6)(5 ; 6) et a pour vecteur normal n⃗(3;5)\vec{n}(3 ; 5). Dans 3x+5y+c=03x + 5y + c = 0, que vaut cc ?
  2. La droite dd passe par (4;5)(4 ; 5) et a pour vecteur normal n⃗(2;4)\vec{n}(2 ; 4). Dans 2x+4y+c=02x + 4y + c = 0, que vaut cc ?
  3. La droite dd passe par (3;3)(3 ; 3) et a pour vecteur normal n⃗(5;3)\vec{n}(5 ; 3). Dans 5x+3y+c=05x + 3y + c = 0, que vaut cc ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Lequel est un vecteur directeur de 8x+7y+6=08x + 7y + 6 = 0 ?
    1. (−7;8)(-7 ; 8)
    2. (8;7)(8 ; 7)
    3. (6;6)(6 ; 6)
  2. Lequel est un vecteur directeur de 9x+5y+9=09x + 5y + 9 = 0 ?
    1. (−5;9)(-5 ; 9)
    2. (9;5)(9 ; 5)
    3. (9;9)(9 ; 9)
  1. Quel est un vecteur normal à la droite 6x+4y−1=06x + 4y - 1 = 0 ?
    1. n⃗(6;4)\vec{n}(6 ; 4)
    2. n⃗(−4;6)\vec{n}(-4 ; 6)
    3. n⃗(6;−1)\vec{n}(6 ; -1)
  1. Le point M(3;y)M(3 ; y) est sur la droite 6x−y+5=06x - y + 5 = 0. Que vaut yy ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. La droite dd passe par (5;6)(5 ; 6) et a pour vecteur normal n⃗(3;5)\vec{n}(3 ; 5). Dans 3x+5y+c=03x + 5y + c = 0, que vaut cc ?
  2. La droite dd passe par (4;5)(4 ; 5) et a pour vecteur normal n⃗(2;4)\vec{n}(2 ; 4). Dans 2x+4y+c=02x + 4y + c = 0, que vaut cc ?
  3. La droite dd passe par (3;3)(3 ; 3) et a pour vecteur normal n⃗(5;3)\vec{n}(5 ; 3). Dans 5x+3y+c=05x + 3y + c = 0, que vaut cc ?

Fiche résumé

Vecteur normal

  • ax+by+c=0ax + by + c = 0 : n⃗(a;b)\vec{n}(a ; b).
  • Pour cc : remplace un point.

Attention : normal n'est pas directeur.

2. Projeté orthogonal d'un point sur une droite

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

HH est le projeté orthogonal de AA sur dd. Que vaut AH→⋅u⃗\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u}, pour u⃗\vec{u} directeur de dd ?

  1. 00
  2. AHAH

L'idée clé

Le projeté est le point de dd le plus proche de AA.

Figure non à l'échelle

H∈dH \in d et (AH)⊥d(AH) \perp d. On écrit la droite perpendiculaire passant par AA, puis on cherche l'intersection.

Exemple corrigé

Projette A(5;0)A(5 ; 0) sur la droite d:y=xd : y = x.

y=−x+5y = -x + 5
Perpendiculaire passant par A.
x=52x = \dfrac{5}{2}
Intersection : x = −x + 5.
H(52;52)H\left(\dfrac{5}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)
Projeté.

À toi, guidé

À toi : projette A(3;7)A(3 ; 7) sur l'axe des abscisses. Quelle est l'ordonnée de HH ?

00
Sur l'axe.

Entraînement ★

  1. Quelle est l'abscisse du projeté orthogonal de A(6;0)A(6 ; 0) sur la droite y=xy = x ?
  2. Quelle est l'abscisse du projeté orthogonal de A(2;0)A(2 ; 0) sur la droite y=xy = x ?
  3. Quelle est l'abscisse du projeté orthogonal de A(12;0)A(12 ; 0) sur la droite y=xy = x ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est la distance de A(6;3)A(6 ; 3) à l'axe des abscisses ?
  2. Quelle est la distance de A(4;9)A(4 ; 9) à l'axe des abscisses ?
  1. Quelle est la distance de A(1;7)A(1 ; 7) à l'axe des ordonnées ?
  1. Quelle est l'ordonnée du projeté orthogonal de A(4;2)A(4 ; 2) sur la droite d'équation y=11y = 11 ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quelle est l'abscisse du projeté orthogonal de A(6;0)A(6 ; 0) sur la droite y=xy = x ?
  2. Quelle est l'abscisse du projeté orthogonal de A(2;0)A(2 ; 0) sur la droite y=xy = x ?
  3. Quelle est l'abscisse du projeté orthogonal de A(12;0)A(12 ; 0) sur la droite y=xy = x ?

Fiche résumé

Projeté orthogonal

  • H∈dH \in d et (AH)⊥d(AH) \perp d.
  • Intersection de dd et de la perpendiculaire.

Attention : vérifie que HH est sur dd.

3. Équation d'un cercle

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quel est le rayon du cercle (x−1)2+(y+2)2=9(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 ?

  1. 33
  2. 99

L'idée clé

Un cercle est défini par une distance au centre.

Le cercle de centre Ω(a;b)\Omega(a ; b) et de rayon rr a pour équation (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.

Pour reconnaître un cercle, on utilise la forme canonique.

Exemple corrigé

Reconnais x2−4x+y2+2y−4=0x^2 - 4x + y^2 + 2y - 4 = 0.

(x−2)2−4+(y+1)2−1−4=0(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 4 = 0
Formes canoniques.
(x−2)2+(y+1)2=9(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9
On regroupe.
Centre (2;−1)(2 ; -1), rayon 3
Cercle.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'abscisse du centre de (x−5)2+y2=1(x - 5)^2 + y^2 = 1 ?

55
a = 5.

Entraînement ★

  1. Quel est le rayon du cercle (x−4)2+(y+7)2=25(x - 4)^2 + (y + 7)^2 = 25 ?
  2. Quel est le rayon du cercle (x−8)2+(y+5)2=9(x - 8)^2 + (y + 5)^2 = 9 ?
  3. Quel est le rayon du cercle (x−6)2+(y+5)2=16(x - 6)^2 + (y + 5)^2 = 16 ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quelle est l'ordonnée du centre du cercle (x−4)2+(y+7)2=25(x - 4)^2 + (y + 7)^2 = 25 ?
  2. Quelle est l'ordonnée du centre du cercle (x−8)2+(y+2)2=25(x - 8)^2 + (y + 2)^2 = 25 ?
  1. Problème final. On étudie le cercle de centre Ω(2;5)\Omega(2 ; 5) et de rayon 2.
  1. Le point A(3;0)A(3 ; 0) appartient-il au cercle d'équation x2+y2=9x^2 + y^2 = 9 ?
    1. Oui
    2. Non : il faudrait x2+y2=3x^2 + y^2 = 3
    3. Non : l'ordonnée est nulle
  1. Le cercle de centre OO et de rayon 5 a pour équation x2+y2=kx^2 + y^2 = k. Que vaut kk ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Quel est le rayon du cercle (x−4)2+(y+7)2=25(x - 4)^2 + (y + 7)^2 = 25 ?
  2. Quel est le rayon du cercle (x−8)2+(y+5)2=9(x - 8)^2 + (y + 5)^2 = 9 ?
  3. Quel est le rayon du cercle (x−6)2+(y+5)2=16(x - 6)^2 + (y + 5)^2 = 16 ?

Fiche résumé

Cercle

  • (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.
  • Centre (a;b)(a ; b), rayon rr.

Attention : attention au signe et au carré.

Corrigé: Géométrie repérée

1. Vecteur normal et équation de droite

A

  1. −45-45
  2. −28-28
  3. −24-24

B

  1. (−7;8)(-7 ; 8)
  2. (−5;9)(-5 ; 9)

C

  1. n⃗(6;4)\vec{n}(6 ; 4)

D

  1. 2323

E

  1. −45-45
  2. −28-28
  3. −24-24

2. Projeté orthogonal d'un point sur une droite

A

  1. 33
  2. 11
  3. 66

B

  1. 33
  2. 99

C

  1. 11

D

  1. 1111

E

  1. 33
  2. 11
  3. 66

3. Équation d'un cercle

A

  1. 55
  2. 33
  3. 44

B

  1. −7-7
  2. −2-2

C

  1. 22

D

  1. Oui

E

  1. 2525

F

  1. 55
  2. 33
  3. 44