Probabilités conditionnelles et indépendance

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Probabilité conditionnelle et arbres pondérés

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans une classe, 60 % des élèves sont des filles, et 25 % des filles portent des lunettes. Quelle est la probabilité de choisir une fille à lunettes ?

  1. 0,150{,}15
  2. 0,250{,}25

L'idée clé

PA(B)P_A(B) se lit « probabilité de BB sachant AA ».

PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}, donc P(A∩B)=P(A)×PA(B)P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).

Sur un arbre, on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins : P(B)=P(A)PA(B)+P(Aˉ)PAˉ(B)P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B).

Exemple corrigé

P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, PA(B)=0,5P_A(B) = 0{,}5, PAˉ(B)=0,2P_{\bar{A}}(B) = 0{,}2. Calcule P(B)P(B).

0,3×0,5=0,150{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15
Chemin par A.
0,7×0,2=0,140{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}14
Chemin par Ā.
P(B)=0,29P(B) = 0{,}29
Probabilités totales.

À toi, guidé

À toi : P(A)=0,5P(A) = 0{,}5 et PA(B)=0,4P_A(B) = 0{,}4. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).

0,20{,}2
0,5 × 0,4.

Entraînement ★

  1. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10} et PA(B)=210P_A(B) = \dfrac{ 2 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  2. P(A)=110P(A) = \dfrac{ 1 }{10} et PA(B)=910P_A(B) = \dfrac{ 9 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  3. P(A)=910P(A) = \dfrac{ 9 }{10} et PA(B)=410P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).

Attention !

Entraînement ★★

  1. P(A)=610P(A) = \dfrac{ 6 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}. Calcule PA(B)P_A(B).
  2. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10} et P(A∩B)=110P(A \cap B) = \dfrac{1}{10}. Calcule PA(B)P_A(B).
  1. PA(B)=810P_A(B) = \dfrac{ 8 }{10}. Calcule PA(Bˉ)P_A(\bar{B}).
  1. Sur 14 élèves, 9 font du sport, dont 6 sont internes. On choisit un sportif. Quelle est la probabilité qu'il soit interne ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. P(A)=410P(A) = \dfrac{ 4 }{10} et PA(B)=210P_A(B) = \dfrac{ 2 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  2. P(A)=110P(A) = \dfrac{ 1 }{10} et PA(B)=910P_A(B) = \dfrac{ 9 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  3. P(A)=910P(A) = \dfrac{ 9 }{10} et PA(B)=410P_A(B) = \dfrac{ 4 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).

Fiche résumé

Conditionnelle

  • PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}.
  • Arbre : produit le long d'un chemin, somme des chemins.

Attention : PA(B)P_A(B) n'est pas P(A∩B)P(A \cap B).

2. Indépendance de deux événements

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,4P(B) = 0{,}4 et P(A∩B)=0,2P(A \cap B) = 0{,}2. AA et BB sont-ils indépendants ?

  1. Oui
  2. Non, car A∩BA \cap B n'est pas vide

L'idée clé

Savoir que AA est réalisé ne change rien à la probabilité de BB.

AA et BB sont indépendants si P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B), soit, pour P(A)≠0P(A) \neq 0, PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B).

Répétition de deux épreuves indépendantes : on multiplie les probabilités.

Exemple corrigé

Teste l'indépendance : P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5, P(A∩B)=0,2P(A \cap B) = 0{,}2.

0,3×0,5=0,150{,}3 \times 0{,}5 = 0{,}15
Produit.
AA et BB ne sont pas indépendants.
Différent de 0,2.

À toi, guidé

À toi : AA et BB sont indépendants, P(A)=0,5P(A) = 0{,}5, P(B)=0,6P(B) = 0{,}6. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).

0,30{,}3
0,5 × 0,6.

Entraînement ★

  1. AA et BB sont indépendants, P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  2. AA et BB sont indépendants, P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  3. AA et BB sont indépendants, P(A)=210P(A) = \dfrac{ 2 }{10} et P(B)=710P(B) = \dfrac{ 7 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).

Attention !

Entraînement ★★

  1. P(A)=710P(A) = \dfrac{ 7 }{10}, P(B)=12P(B) = \dfrac{1}{2} et PA(B)=12P_A(B) = \dfrac{1}{2}. Que peut-on dire ?
    1. AA et BB sont indépendants
    2. AA et BB sont incompatibles
    3. On ne peut rien dire
  2. P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10}, P(B)=12P(B) = \dfrac{1}{2} et PA(B)=12P_A(B) = \dfrac{1}{2}. Que peut-on dire ?
    1. AA et BB sont indépendants
    2. AA et BB sont incompatibles
    3. On ne peut rien dire
  1. Problème final. P(A)=610P(A) = \dfrac{ 6 }{10}, PA(B)=110P_A(B) = \dfrac{ 1 }{10} et PAˉ(B)=810P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{ 8 }{10}.
  1. AA et BB sont incompatibles, de probabilités non nulles. Sont-ils indépendants ?
    1. Non : P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0 alors que P(A)P(B)≠0P(A)P(B) \neq 0
    2. Oui : ils n'ont rien en commun
    3. On ne peut pas savoir
  1. AA et BB sont indépendants, P(A)=710P(A) = \dfrac{ 7 }{10} et P(A∩B)=7100P(A \cap B) = \dfrac{ 7 }{100}. Calcule P(B)P(B).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. AA et BB sont indépendants, P(A)=310P(A) = \dfrac{ 3 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  2. AA et BB sont indépendants, P(A)=510P(A) = \dfrac{ 5 }{10} et P(B)=310P(B) = \dfrac{ 3 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).
  3. AA et BB sont indépendants, P(A)=210P(A) = \dfrac{ 2 }{10} et P(B)=710P(B) = \dfrac{ 7 }{10}. Calcule P(A∩B)P(A \cap B).

Fiche résumé

Indépendance

  • P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B).
  • PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B).

Attention : à ne pas confondre avec incompatibles.

Corrigé: Probabilités conditionnelles et indépendance

1. Probabilité conditionnelle et arbres pondérés

A

  1. 225\frac{2}{25}
  2. 9100\frac{9}{100}
  3. 925\frac{9}{25}

B

  1. 16\frac{1}{6}
  2. 14\frac{1}{4}

C

  1. 15\frac{1}{5}

D

  1. 23\frac{2}{3}

E

  1. 225\frac{2}{25}
  2. 9100\frac{9}{100}
  3. 925\frac{9}{25}

2. Indépendance de deux événements

A

  1. 9100\frac{9}{100}
  2. 320\frac{3}{20}
  3. 750\frac{7}{50}

B

  1. AA et BB sont indépendants
  2. AA et BB sont indépendants

C

  1. −21125- \frac{21}{125}

D

  1. Non : P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0 alors que P(A)P(B)≠0P(A)P(B) \neq 0

E

  1. 110\frac{1}{10}

F

  1. 9100\frac{9}{100}
  2. 320\frac{3}{20}
  3. 750\frac{7}{50}