Produit scalaire

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1. Produit scalaire : projection et cosinus

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Quel type d'objet est u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} ?

  1. Un nombre
  2. Un vecteur

L'idée clé

Le produit scalaire mesure l'alignement de deux vecteurs.

Figure non à l'échelle

u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥×∥v⃗∥×cos⁡(u⃗,v⃗)\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}).

Avec la projection HH de CC sur (AB)(AB) : AB→⋅AC→=AB×AH\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH si HH est du côté de BB, −AB×AH-AB \times AH sinon. Et u⃗⊥v⃗  ⟺  u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

Exemple corrigé

∥u⃗∥=3\|\vec{u}\| = 3, ∥v⃗∥=4\|\vec{v}\| = 4 et l'angle vaut π3\dfrac{\pi}{3}.

u⃗⋅v⃗=3×4×cos⁡π3\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times 4 \times \cos\dfrac{\pi}{3}
Formule.
=6= 6
cos(π/3) = 1/2.

À toi, guidé

À toi : si u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux, que vaut u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} ?

00
cos(π/2) = 0.

Entraînement ★

  1. ∥u⃗∥=5\|\vec{u}\| = 5, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = 3 et (u⃗,v⃗)=π3(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  2. ∥u⃗∥=7\|\vec{u}\| = 7, ∥v⃗∥=8\|\vec{v}\| = 8 et (u⃗,v⃗)=π3(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  3. ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v⃗∥=2\|\vec{v}\| = 2 et (u⃗,v⃗)=π3(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Le projeté HH de CC sur (AB)(AB) est du côté opposé à BB par rapport à AA, avec AB=2AB = 2 et AH=5AH = 5. Calcule AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
  2. Le projeté HH de CC sur (AB)(AB) est du côté opposé à BB par rapport à AA, avec AB=5AB = 5 et AH=5AH = 5. Calcule AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}.
  1. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont orthogonaux, avec ∥u⃗∥=8\|\vec{u}\| = 8 et ∥v⃗∥=2\|\vec{v}\| = 2. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  1. u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont même direction et même sens, avec ∥u⃗∥=3\|\vec{u}\| = 3 et ∥v⃗∥=5\|\vec{v}\| = 5. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. ∥u⃗∥=5\|\vec{u}\| = 5, ∥v⃗∥=3\|\vec{v}\| = 3 et (u⃗,v⃗)=π3(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  2. ∥u⃗∥=7\|\vec{u}\| = 7, ∥v⃗∥=8\|\vec{v}\| = 8 et (u⃗,v⃗)=π3(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.
  3. ∥u⃗∥=2\|\vec{u}\| = 2, ∥v⃗∥=2\|\vec{v}\| = 2 et (u⃗,v⃗)=π3(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\pi}{3}. Calcule u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}.

Fiche résumé

Produit scalaire

  • ∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta.
  • Nul si orthogonaux.

Attention : c'est un nombre, il peut être négatif.

2. Produit scalaire en base orthonormée

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Dans une base orthonormée, u⃗(1;2)\vec{u}(1 ; 2) et v⃗(3;4)\vec{v}(3 ; 4). Que vaut u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v} ?

  1. 1111
  2. (3;8)(3 ; 8)

L'idée clé

En base orthonormée, le calcul est direct.

u⃗(x;y)⋅v⃗(x′;y′)=xx′+yy′\vec{u}(x ; y) \cdot \vec{v}(x' ; y') = xx' + yy' et ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}.

u⃗⊥v⃗  ⟺  xx′+yy′=0\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0. Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire.

Exemple corrigé

Pour quel kk a-t-on u⃗(2;k)⊥v⃗(3;−6)\vec{u}(2 ; k) \perp \vec{v}(3 ; -6) ?

6−6k=06 - 6k = 0
Produit scalaire.
k=1k = 1
On résout.

À toi, guidé

À toi : calcule u⃗(2;3)⋅v⃗(4;−1)\vec{u}(2 ; 3) \cdot \vec{v}(4 ; -1).

55
8 − 3.

Entraînement ★

  1. Calcule u⃗(6;4)⋅v⃗(1;7)\vec{u}(6 ; 4) \cdot \vec{v}(1 ; 7).
  2. Calcule u⃗(8;6)⋅v⃗(9;8)\vec{u}(8 ; 6) \cdot \vec{v}(9 ; 8).
  3. Calcule u⃗(7;2)⋅v⃗(6;2)\vec{u}(7 ; 2) \cdot \vec{v}(6 ; 2).

Attention !

Entraînement ★★

  1. Pour quel kk a-t-on u⃗(9;3)⊥v⃗(k;−9)\vec{u}(9 ; 3) \perp \vec{v}(k ; -9) ?
  2. Pour quel kk a-t-on u⃗(9;6)⊥v⃗(k;−9)\vec{u}(9 ; 6) \perp \vec{v}(k ; -9) ?
  1. Calcule u⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{u} pour u⃗(4;6)\vec{u}(4 ; 6).
  1. u⃗(1;0)\vec{u}(1 ; 0) et v⃗(−4;1)\vec{v}(-4 ; 1). L'angle entre ces vecteurs est :
    1. Obtus
    2. Aigu
    3. Droit

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule u⃗(6;4)⋅v⃗(1;7)\vec{u}(6 ; 4) \cdot \vec{v}(1 ; 7).
  2. Calcule u⃗(8;6)⋅v⃗(9;8)\vec{u}(8 ; 6) \cdot \vec{v}(9 ; 8).
  3. Calcule u⃗(7;2)⋅v⃗(6;2)\vec{u}(7 ; 2) \cdot \vec{v}(6 ; 2).

Fiche résumé

Coordonnées

  • xx′+yy′xx' + yy'.
  • Orthogonaux : produit nul.

Attention : c'est un nombre, pas un vecteur.

3. Normes et formule d'Al-Kashi

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que vaut ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 en général ?

  1. ∥u⃗∥2+2u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2
  2. ∥u⃗∥2+∥v⃗∥2\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2

L'idée clé

Le produit scalaire relie longueurs et angles.

Figure non à l'échelle

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2)\vec{u} \cdot \vec{v} = \dfrac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right).

Formule d'Al-Kashi : dans un triangle, BC2=AB2+AC2−2AB×AC×cos⁡A^BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \times AC \times \cos\widehat{A}.

Exemple corrigé

AB=5AB = 5, AC=8AC = 8, A^=π3\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Calcule BCBC.

BC2=25+64−2×5×8×12BC^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2}
Al-Kashi.
BC2=49BC^2 = 49
On calcule.
BC=7BC = 7
Longueur.

À toi, guidé

À toi : si A^=π2\widehat{A} = \dfrac{\pi}{2} et AB=3AB = 3, AC=4AC = 4, que vaut BCBC ?

55
Pythagore.

Entraînement ★

  1. AB=6AB = 6, AC=2AC = 2 et A^=π3\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Calcule BC2BC^2.
  2. AB=8AB = 8, AC=2AC = 2 et A^=π3\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Calcule BC2BC^2.
  3. AB=3AB = 3, AC=5AC = 5 et A^=π3\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Calcule BC2BC^2.

Attention !

Entraînement ★★

  1. ∥u⃗∥=4\|\vec{u}\| = 4, ∥v⃗∥=1\|\vec{v}\| = 1 et u⃗⋅v⃗=4\vec{u} \cdot \vec{v} = 4. Calcule ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2.
  2. ∥u⃗∥=9\|\vec{u}\| = 9, ∥v⃗∥=2\|\vec{v}\| = 2 et u⃗⋅v⃗=8\vec{u} \cdot \vec{v} = 8. Calcule ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec{u} + \vec{v}\|^2.
  1. Problème final. Dans un triangle ABCABC, AB=3AB = 3, AC=4AC = 4 et A^=π3\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}.
  1. Dans un triangle rectangle en AA, AB=9AB = 9 et AC=12AC = 12. Calcule BC2BC^2 avec la formule d'Al-Kashi.
  1. ∥u⃗∥=5\|\vec{u}\| = 5, ∥v⃗∥=6\|\vec{v}\| = 6 et u⃗⋅v⃗=1\vec{u} \cdot \vec{v} = 1. Calcule ∥u⃗−v⃗∥2\|\vec{u} - \vec{v}\|^2.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. AB=6AB = 6, AC=2AC = 2 et A^=π3\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Calcule BC2BC^2.
  2. AB=8AB = 8, AC=2AC = 2 et A^=π3\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Calcule BC2BC^2.
  3. AB=3AB = 3, AC=5AC = 5 et A^=π3\widehat{A} = \dfrac{\pi}{3}. Calcule BC2BC^2.

Fiche résumé

Al-Kashi

  • BC2=AB2+AC2−2AB×ACcos⁡A^BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \times AC\cos\widehat{A}.
  • Généralise Pythagore.

Attention : attention au signe si l'angle est obtus.

4. Transformer MA·MB, ensembles de points

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

MM vérifie MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0. Que peut-on dire de l'angle AMB^\widehat{AMB} ?

  1. Il est droit
  2. Il est plat

L'idée clé

On transforme avec le milieu II de [AB][AB].

Figure non à l'échelle

Si II est le milieu de [AB][AB] : MA→⋅MB→=MI2−AB24\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}.

L'ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 est le cercle de diamètre [AB][AB].

Exemple corrigé

AB=6AB = 6. Trouve l'ensemble des MM tels que MA→⋅MB→=7\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 7.

MI2−9=7MI^2 - 9 = 7
Formule.
MI=4MI = 4
On résout.
Cercle de centre II et de rayon 4.
Ensemble.

À toi, guidé

À toi : AB=4AB = 4 et MI=3MI = 3. Calcule MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.

55
9 − 4.

Entraînement ★

  1. AB=8AB = 8 et MI=6MI = 6, avec II milieu de [AB][AB]. Calcule MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.
  2. AB=6AB = 6 et MI=7MI = 7, avec II milieu de [AB][AB]. Calcule MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.
  3. AB=8AB = 8 et MI=8MI = 8, avec II milieu de [AB][AB]. Calcule MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Quel est le rayon de l'ensemble des MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0, si AB=2AB = 2 ?
  2. Quel est le rayon de l'ensemble des MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0, si AB=16AB = 16 ?
  1. Quel est l'ensemble des points MM tels que MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0 ?
    1. Le cercle de diamètre [AB][AB]
    2. La médiatrice de [AB][AB]
    3. La droite (AB)(AB)
  1. AB=14AB = 14 et MM est le milieu de [AB][AB]. Calcule MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. AB=8AB = 8 et MI=6MI = 6, avec II milieu de [AB][AB]. Calcule MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.
  2. AB=6AB = 6 et MI=7MI = 7, avec II milieu de [AB][AB]. Calcule MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.
  3. AB=8AB = 8 et MI=8MI = 8, avec II milieu de [AB][AB]. Calcule MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}.

Fiche résumé

MA→⋅MB→\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}

  • =MI2−AB24= MI^2 - \dfrac{AB^2}{4}.
  • Nul : cercle de diamètre [AB][AB].

Attention : le rayon est la moitié de ABAB.

Corrigé: Produit scalaire

1. Produit scalaire : projection et cosinus

A

  1. 152\frac{15}{2}
  2. 2828
  3. 22

B

  1. −10-10
  2. −25-25

C

  1. 00

D

  1. 1515

E

  1. 152\frac{15}{2}
  2. 2828
  3. 22

2. Produit scalaire en base orthonormée

A

  1. 3434
  2. 120120
  3. 4646

B

  1. 33
  2. 66

C

  1. 5252

D

  1. Obtus

E

  1. 3434
  2. 120120
  3. 4646

3. Normes et formule d'Al-Kashi

A

  1. 2828
  2. 5252
  3. 1919

B

  1. 2525
  2. 101101

C

  1. 3737

D

  1. 225225

E

  1. 5959

F

  1. 2828
  2. 5252
  3. 1919

4. Transformer MA·MB, ensembles de points

A

  1. 2020
  2. 4040
  3. 4848

B

  1. 11
  2. 88

C

  1. Le cercle de diamètre [AB][AB]

D

  1. −49-49

E

  1. 2020
  2. 4040
  3. 4848