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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

Avec le corrigé

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1. Second degré : forme factorisée, racines et signe

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$f(x) = (x - 2)(x + 3)$ . Pour quelles valeurs $f$ s'annule-t-elle ?

$2$ et $-3$
$-2$ et $3$

L'idée clé

La forme factorisée montre les racines.

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ a pour racines $x_1$ et $x_2$ .

Le trinôme a le signe de $a$ à l'extérieur des racines, et le signe opposé entre les racines.

Exemple corrigé

Étudie le signe de $f(x) = -2(x - 1)(x - 4)$ .

1

4

Racines.

f(x) \leq 0

sur

]-\infty ; 1] \cup [4 ; +\infty[

a = −2 : négatif à l'extérieur.

f(x) \geq 0

sur

[1 ; 4]

Positif entre les racines.

À toi, guidé

À toi : quelle est la plus grande racine de $(x + 1)(x - 5)$ ?

5

x − 5 = 0.

Entraînement ★

Quelle est la plus petite racine de $f(x) = (x - 5)(x + 5)$ ?
Quelle est la plus petite racine de $f(x) = (x - 1)(x + 5)$ ?
Quelle est la plus petite racine de $f(x) = (x - 7)(x + 3)$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Quel est le signe de $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ sur $]1 ; 5[$ ?
1. Négatif
2. Positif
3. Il change de signe
Quel est le signe de $f(x) = (x - 3)(x - 8)$ sur $]3 ; 8[$ ?
1. Négatif
2. Positif
3. Il change de signe

Quel est le signe de $f(x) = (x - 3)(x - 7)$ pour $x > 7$ ?
1. Positif
2. Négatif
3. Nul

Quel est le signe de $f(x) = -(x - 4)(x - 9)$ entre ses racines ?
1. Positif
2. Négatif
3. Il dépend de $x$ sur cet intervalle

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la plus petite racine de $f(x) = (x - 5)(x + 5)$ ?
Quelle est la plus petite racine de $f(x) = (x - 1)(x + 5)$ ?
Quelle est la plus petite racine de $f(x) = (x - 7)(x + 3)$ ?

Fiche résumé

Forme factorisée

Racines : valeurs qui annulent chaque facteur.
Signe de $a$ à l'extérieur des racines.

Attention : ne te trompe pas de signe : $(x + 3)$ donne $-3$ .

2. Somme et produit des racines

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$x^2 - 5x + 6 = 0$ . Quels sont deux nombres de somme 5 et de produit 6 ?

$2$ et $3$
$-2$ et $-3$

L'idée clé

On peut trouver des racines sans discriminant.

x_1

x_2

sont les racines de

ax^2 + bx + c

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

x_1x_2 = \dfrac{c}{a}

Exemple corrigé

$x = 1$ est racine de $x^2 + 4x - 5$ . Trouve l'autre.

x_1 = 1

Racine évidente.

x_2 = -5

Produit : c/a = −5.

À toi, guidé

À toi : quelle est la somme des racines de $x^2 - 7x + 10$ ?

7

−b/a = 7.

Entraînement ★

Quelle est la somme des racines de $x^2 - 11x + 24$ ?
Quelle est la somme des racines de $x^2 - 5x + 6$ ?
Quelle est la somme des racines de $x^2 - 3x + 2$ ?

Attention !

Entraînement ★★

$x = 1$ est racine de $x^2 + 2x - 3$ . Quelle est l'autre racine ?
$x = 1$ est racine de $x^2 + 8x - 9$ . Quelle est l'autre racine ?

Quel est le produit des racines de $x^2 - 10x + 24$ ?

Une racine de $x^2 - 13x + 42$ est $6$ . Quelle est l'autre ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est la somme des racines de $x^2 - 11x + 24$ ?
Quelle est la somme des racines de $x^2 - 5x + 6$ ?
Quelle est la somme des racines de $x^2 - 3x + 2$ ?

Fiche résumé

Somme et produit

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ .
$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Attention : attention au signe moins de la somme.

3. Forme canonique d'un trinôme

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$y = (x - 4)^2 + 1$ . Un carré n'est jamais négatif. Quelle est la plus petite valeur de $y$ , et pour quel $x$ ?

$y = 1$ pour $x = 4$
$y = 1$ pour $x = -4$

L'idée clé

La forme canonique montre le sommet de la parabole.

y = a(x - \alpha)^2 + \beta

a pour sommet

S(\alpha ; \beta)

. Attention au signe :

(x + 3)^2

signifie

\alpha = -3

Exemple corrigé

$y = 2(x + 3)^2 - 5$ .

\alpha = -3

x + 3 = x − (−3).

\beta = -5

La constante.

Sommet

S(-3 ; -5)

, un minimum

a = 2 > 0.

À toi, guidé

À toi : quelle est l'ordonnée du sommet de $y = -(x - 2)^2 + 9$ ?

9

β = 9.

Entraînement ★

Quelle est l'abscisse du sommet de $y = 3(x + 1)^2 + 4$ ?
Quelle est l'abscisse du sommet de $y = 5(x + 9)^2 + 6$ ?

Quelle est la plus petite valeur de $y = (x - 9)^2 - 3$ ?

Attention !

Entraînement ★★

Écris sous forme canonique un trinôme de sommet $(8 ; 1)$ et de coefficient dominant 2.
Écris sous forme canonique un trinôme de sommet $(4 ; 1)$ et de coefficient dominant 4.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quelle est l'abscisse du sommet de $y = 3(x + 1)^2 + 4$ ?
Quelle est l'abscisse du sommet de $y = 5(x + 9)^2 + 6$ ?
Quelle est l'abscisse du sommet de $y = 8(x + 5)^2 + 9$ ?

Fiche résumé

Forme canonique

$y = a(x - \alpha)^2 + \beta$ : sommet $S(\alpha ; \beta)$ .

Attention : attention : $(x + h)$ place le sommet en $-h$ .

4. La formule quadratique et le discriminant

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$x^2 + 2x + 5 = 0$ . La forme canonique donne $(x + 1)^2 = -4$ . Combien y a-t-il de solutions réelles ?

Aucune
Deux

L'idée clé

La forme canonique conduit à une formule générale.

Pour $ax^2 + bx + c = 0$ , on calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Si $\Delta > 0$ : deux racines $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Si $\Delta = 0$ : une racine double $-\dfrac{b}{2a}$ . Si $\Delta < 0$ : pas de racine réelle.

Exemple corrigé

Résous $2x^2 + 3x - 2 = 0$ .

\Delta = 9 + 16 = 25

a = 2, b = 3, c = −2.

x = \dfrac{-3 \pm 5}{4}

Formule.

x = \dfrac{1}{2}

x = -2

Deux racines.

À toi, guidé

À toi : calcule le discriminant de $x^2 + 5x + 6 = 0$ .

1

25 − 24.

Entraînement ★

Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $1x^2 + 12x + 2 = 0$ .
Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $1x^2 + 11x + 9 = 0$ .

Combien de solutions réelles a $x^2 + 7x + 49 = 0$ ?
1. Aucune
2. Deux
3. Une

Attention !

Entraînement ★★

Résous $2x^2 + 5x - 1 = 0$ . Donne toutes les solutions (utilise sqrt).
Résous $2x^2 + 7x - 6 = 0$ . Donne toutes les solutions (utilise sqrt).

Problème final. Un jardin rectangulaire a une longueur de 7 m de plus que sa largeur, et son aire vaut 294 m². On note $w$ sa largeur en mètres.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $1x^2 + 12x + 2 = 0$ .
Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $1x^2 + 11x + 9 = 0$ .
Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de $2x^2 + 8x + 5 = 0$ .

Fiche résumé

Discriminant

$\Delta = b^2 - 4ac$ donne le nombre de racines.
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Attention : $2a$ divise tout le numérateur.

5. Signe d'un trinôme

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

$x^2 + 1$ est-il parfois négatif ?

Non, jamais
Oui, pour $x < 0$

L'idée clé

Le discriminant et le signe de $a$ donnent tout.

Si $\Delta < 0$ : le trinôme a le signe de $a$ partout. Si $\Delta = 0$ : le signe de $a$ , nul à la racine double.

Si $\Delta > 0$ : le signe de $a$ à l'extérieur des racines, le signe contraire entre elles.

Exemple corrigé

Résous $x^2 - 3x + 2 < 0$ .

1

2

Racines évidentes.

S = ]1 ; 2[

a > 0 : négatif entre les racines.

À toi, guidé

À toi : quel est le discriminant de $x^2 + x + 1$ ?

-3

1 − 4.

Entraînement ★

Quel est l'ensemble des solutions de $x^2 + 4x + 8 > 0$ ?
1. $\mathbb{R}$
2. $\varnothing$
3. $]-2 ; 2[$
Quel est l'ensemble des solutions de $x^2 + 10x + 50 > 0$ ?
1. $\mathbb{R}$
2. $\varnothing$
3. $]-5 ; 5[$

Résous $(x - 4)(x - 10) < 0$ . Quelle est la borne de droite de l'intervalle solution ?
Résous $(x - 3)(x - 5) < 0$ . Quelle est la borne de droite de l'intervalle solution ?

Attention !

Entraînement ★★

Calcule le discriminant de $x^2 + 4x + 2$ .
Calcule le discriminant de $x^2 + 2x + 4$ .

$\Delta < 0$ pour $f(x) = 6x^2 + bx + c$ . Quel est le signe de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ ?
1. Toujours positif
2. Toujours négatif
3. Il change une fois

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

Quel est l'ensemble des solutions de $x^2 + 4x + 8 > 0$ ?
1. $\mathbb{R}$
2. $\varnothing$
3. $]-2 ; 2[$
Quel est l'ensemble des solutions de $x^2 + 10x + 50 > 0$ ?
1. $\mathbb{R}$
2. $\varnothing$
3. $]-5 ; 5[$
Quel est l'ensemble des solutions de $x^2 + 10x + 41 > 0$ ?
1. $\mathbb{R}$
2. $\varnothing$
3. $]-5 ; 5[$

Fiche résumé

Signe du trinôme

Signe de $a$ , sauf entre les racines.
$\Delta < 0$ : signe de $a$ partout.

Attention : regarde bien le signe de $a$ .

Corrigé: Second degré

1. Second degré : forme factorisée, racines et signe

$-5$
$-5$
$-3$

Négatif
Négatif

Positif

Positif

$-5$
$-5$
$-3$

2. Somme et produit des racines

$11$
$5$
$3$

$-3$
$-9$

$24$

$11$
$5$
$3$

3. Forme canonique d'un trinôme

$-1$
$-9$

$-3$

$2 \left(x - 8\right)^{2} + 1$
$4 \left(x - 4\right)^{2} + 1$

$-1$
$-9$
$-5$

4. La formule quadratique et le discriminant

$136$
$85$

Aucune

$- \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{33}}{4},\ - \frac{\sqrt{33}}{4} - \frac{5}{4}$
$- \frac{7}{4} + \frac{\sqrt{97}}{4},\ - \frac{\sqrt{97}}{4} - \frac{7}{4}$

$21$

$136$
$85$
$24$

5. Signe d'un trinôme

$\mathbb{R}$
$\mathbb{R}$

$10$
$5$

$8$
$-12$

Toujours positif

$\mathbb{R}$
$\mathbb{R}$
$\mathbb{R}$