Suites numériques

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1. Suites : formule explicite et relation de récurrence

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une suite commence par 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \dots Quelle règle donne chaque terme à partir du précédent ?

  1. Ajouter 3
  2. Multiplier par 3

L'idée clé

Une suite associe un nombre unu_n à chaque entier naturel nn.

Une formule explicite donne unu_n directement à partir de nn (par exemple un=3n+2u_n = 3n + 2). Une relation de récurrence donne un premier terme et le passage d'un terme au suivant (par exemple u1=5u_1 = 5, un+1=un+3u_{n + 1} = u_n + 3).

Exemple corrigé

u1=2u_1 = 2 et un+1=3un−1u_{n + 1} = 3u_n - 1. Calcule u4u_4.

u2=3×2−1=5u_2 = 3 \times 2 - 1 = 5
On applique la relation à u₁.
u3=3×5−1=14u_3 = 3 \times 5 - 1 = 14
Puis à u₂.
u4=3×14−1=41u_4 = 3 \times 14 - 1 = 41
Puis à u₃.

À toi, guidé

À toi : un=n2−1u_n = n^2 - 1. Calcule u5u_5.

u5=52−1u_5 = 5^2 - 1
On remplace n par 5.
u5=24u_5 = 24
25 − 1.

Entraînement ★

  1. un=n2+5u_n = n^2 + 5. Complète le tableau.
  2. un=n2+9u_n = n^2 + 9. Complète le tableau.

Attention !

Entraînement ★★

  1. u1=3u_1 = 3 et un+1=2un−7u_{n+1} = 2u_n - 7. Calcule u3u_3.
  2. u1=6u_1 = 6 et un+1=2un−3u_{n+1} = 2u_n - 3. Calcule u3u_3.
  3. u1=4u_1 = 4 et un+1=2un−6u_{n+1} = 2u_n - 6. Calcule u3u_3.
  1. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 1,6,11,16,…1, 6, 11, 16, \dots
  2. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 3,10,17,24,…3, 10, 17, 24, \dots
  3. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 8,14,20,26,…8, 14, 20, 26, \dots

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 1,6,11,16,…1, 6, 11, 16, \dots
  2. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 3,10,17,24,…3, 10, 17, 24, \dots
  3. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 8,14,20,26,…8, 14, 20, 26, \dots

Fiche résumé

Suites

  • Formule explicite : unu_n directement à partir de nn.
  • Récurrence : premier terme et passage de unu_n à un+1u_{n + 1}.

Attention : vérifie ta formule pour le premier rang.

2. Suites arithmétiques

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un taxi facture 3 €, plus 2 € par kilomètre. Kilomètre après kilomètre, le prix est 5,7,9,…5, 7, 9, \dots Combien coûte une course de 10 km ?

  1. 23 €
  2. 25 €

L'idée clé

Une suite arithmétique ajoute à chaque terme le même nombre rr, sa raison.

un=u1+(n−1)ru_n = u_1 + (n - 1)r. De upu_p à uqu_q, il y a q−pq - p pas, donc r=uq−upq−pr = \dfrac{u_q - u_p}{q - p}. Elle est croissante si r>0r > 0, décroissante si r<0r < 0.

Exemple corrigé

Une suite arithmétique a u3=11u_3 = 11 et u8=31u_8 = 31. Calcule rr et u20u_{20}.

r=31−115=4r = \dfrac{31 - 11}{5} = 4
5 pas de u₃ à u₈.
u1=11−2×4=3u_1 = 11 - 2 \times 4 = 3
On recule de 2 pas.
u20=3+19×4=79u_{20} = 3 + 19 \times 4 = 79
19 pas depuis u₁.

À toi, guidé

À toi : u1=7u_1 = 7 et r=5r = 5. Calcule u12u_{12}.

u12=7+11×5u_{12} = 7 + 11 \times 5
11 pas.
u12=62u_{12} = 62
7 + 55.

Entraînement ★

  1. Une suite arithmétique a pour premier terme u1=14u_1 = 14 et pour raison 2. Calcule u43u_{ 43 }.
  2. Une suite arithmétique a pour premier terme u1=17u_1 = 17 et pour raison 3. Calcule u24u_{ 24 }.
  3. Une suite arithmétique a pour premier terme u1=8u_1 = 8 et pour raison 5. Calcule u26u_{ 26 }.
  4. Une suite arithmétique a pour premier terme u1=20u_1 = 20 et pour raison 5. Calcule u28u_{ 28 }.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Dans une suite arithmétique, u4=28u_{ 4 } = 28 et u9=68u_{ 9 } = 68. Calcule la raison.
  2. Dans une suite arithmétique, u3=18u_{ 3 } = 18 et u7=34u_{ 7 } = 34. Calcule la raison.
  3. Dans une suite arithmétique, u3=11u_{ 3 } = 11 et u10=25u_{ 10 } = 25. Calcule la raison.
  1. De quel type est la suite 3,6,12,24,…3, 6, 12, 24, \dots ?
    1. Géométrique, de raison 2
    2. Arithmétique
    3. Ni l'une ni l'autre
  1. Problème final. Dans un théâtre, le rang 1 compte 20 sièges et chaque rang compte 4 sièges de plus que le précédent.

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Une suite arithmétique a pour premier terme u1=14u_1 = 14 et pour raison 2. Calcule u43u_{ 43 }.
  2. Une suite arithmétique a pour premier terme u1=17u_1 = 17 et pour raison 3. Calcule u24u_{ 24 }.
  3. Une suite arithmétique a pour premier terme u1=8u_1 = 8 et pour raison 5. Calcule u26u_{ 26 }.

Fiche résumé

Suites arithmétiques

  • On ajoute rr : un=u1+(n−1)ru_n = u_1 + (n - 1)r.
  • r=uq−upq−pr = \dfrac{u_q - u_p}{q - p}.

Attention : il y a n−1n - 1 pas de u1u_1 à unu_n.

3. Suites géométriques

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une rumeur circule : 3 personnes la connaissent le jour 1, et ce nombre triple chaque jour. Combien la connaissent le jour 4 ?

  1. 81
  2. 12

L'idée clé

Une suite géométrique multiplie chaque terme par le même nombre qq, sa raison.

un=u1×qn−1u_n = u_1 \times q^{n - 1}, et q=un+1unq = \dfrac{u_{n + 1}}{u_n}.

Exemple corrigé

Calcule u7u_7 pour 2,6,18,…2, 6, 18, \dots

q=3q = 3
6 ÷ 2.
u7=2×36u_7 = 2 \times 3^6
6 multiplications de u₁ à u₇.
u7=1458u_7 = 1458
3⁶ = 729.

À toi, guidé

À toi : u1=5u_1 = 5 et q=2q = 2. Calcule u6u_6.

u6=5×25u_6 = 5 \times 2^5
5 multiplications.
u6=160u_6 = 160
5 × 32.

Entraînement ★

  1. Une suite géométrique a pour premier terme u1=3u_1 = 3 et pour raison 3. Calcule u4u_{ 4 }.
  2. Une suite géométrique a pour premier terme u1=1u_1 = 1 et pour raison 2. Calcule u8u_{ 8 }.
  3. Une suite géométrique a pour premier terme u1=2u_1 = 2 et pour raison 3. Calcule u8u_{ 8 }.
  4. Une suite géométrique a pour premier terme u1=4u_1 = 4 et pour raison 2. Calcule u5u_{ 5 }.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Trouve la raison de la suite géométrique 8,32,128,…8, 32, 128, \dots
  2. Trouve la raison de la suite géométrique 7,21,63,…7, 21, 63, \dots
  1. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 2,8,32,…2, 8, 32, \dots
  2. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 9,36,144,…9, 36, 144, \dots
  3. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 8,40,200,…8, 40, 200, \dots

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 2,8,32,…2, 8, 32, \dots
  2. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 9,36,144,…9, 36, 144, \dots
  3. Écris une formule pour unu_n, à partir de n=1n = 1 : 8,40,200,…8, 40, 200, \dots

Fiche résumé

Suites géométriques

  • On multiplie par qq : un=u1qn−1u_n = u_1q^{n - 1}.
  • qq est un terme divisé par le précédent.

Attention : l'exposant est n−1n - 1 pour un premier terme u1u_1.

4. Sens de variation d'une suite et limite intuitive

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Une suite vérifie un+1−un=2u_{n + 1} - u_n = 2 pour tout nn. Comment varie-t-elle ?

  1. Elle est croissante
  2. Elle est décroissante

L'idée clé

On compare deux termes consécutifs.

(un)(u_n) est croissante si un+1≥unu_{n + 1} \geq u_n pour tout nn, décroissante si un+1≤unu_{n + 1} \leq u_n pour tout nn. On étudie le signe de un+1−unu_{n + 1} - u_n.

Une suite peut s'approcher d'un nombre, grandir sans limite ou ne pas avoir de limite (notion intuitive).

Exemple corrigé

Étudie un=n2−nu_n = n^2 - n.

un+1−un=(n+1)2−(n+1)−n2+nu_{n + 1} - u_n = (n + 1)^2 - (n + 1) - n^2 + n
On calcule.
un+1−un=2nu_{n + 1} - u_n = 2n
On simplifie.
(un)(u_n) est croissante.
Positif ou nul.

À toi, guidé

À toi : pour un=5−nu_n = 5 - n, que vaut un+1−unu_{n + 1} - u_n ?

−1-1
(5 − n − 1) − (5 − n).

Entraînement ★

  1. Pour un=8n+3u_n = 8n + 3, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  2. Pour un=2n+5u_n = 2n + 5, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  3. Pour un=7n+3u_n = 7n + 3, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Vers quoi semble tendre un=5nu_n = \dfrac{ 5 }{n} quand nn devient très grand ?
    1. 00
    2. 55
    3. +∞+\infty
  2. Vers quoi semble tendre un=6nu_n = \dfrac{ 6 }{n} quand nn devient très grand ?
    1. 00
    2. 66
    3. +∞+\infty
  1. Quel est le sens de variation de un=−2n+7u_n = -2n + 7 ?
    1. Décroissante
    2. Croissante
    3. Constante
  1. un=5nu_n = 5^n. Quel test montre que cette suite positive est croissante ?
    1. un+1un=5>1\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} = 5 > 1
    2. u0>0u_0 > 0
    3. un+1=5u_{n + 1} = 5

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour un=8n+3u_n = 8n + 3, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  2. Pour un=2n+5u_n = 2n + 5, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  3. Pour un=7n+3u_n = 7n + 3, calcule un+1−unu_{n + 1} - u_n.

Fiche résumé

Sens de variation

  • Signe de un+1−unu_{n + 1} - u_n.
  • Vrai pour tout nn.

Attention : quelques termes ne suffisent pas.

5. Sommes : 1 + 2 + … + n et 1 + q + … + qⁿ

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Que vaut 1+2+3+⋯+1001 + 2 + 3 + \dots + 100 ?

  1. 50505050
  2. 10 00010\,000

L'idée clé

Deux formules à connaître.

1+2+⋯+n=n(n+1)21 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.

Pour q≠1q \neq 1 : 1+q+⋯+qn=1−qn+11−q1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}.

Exemple corrigé

Calcule 1+2+4+⋯+2101 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}.

1−2111−2\dfrac{1 - 2^{11}}{1 - 2}
q = 2, n = 10.
211−1=20472^{11} - 1 = 2047
On calcule.

À toi, guidé

À toi : calcule 1+2+⋯+101 + 2 + \dots + 10.

5555
10 × 11 / 2.

Entraînement ★

  1. Calcule 1+2+⋯+121 + 2 + \dots + 12.
  2. Calcule 1+2+⋯+101 + 2 + \dots + 10.
  3. Calcule 1+2+⋯+241 + 2 + \dots + 24.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Calcule 1+3+⋯+351 + 3 + \dots + 3^{ 5 }.
  2. Calcule 1+3+⋯+321 + 3 + \dots + 3^{ 2 }.
  1. Calcule a+2a+⋯+6aa + 2a + \dots + 6a, pour a=5a = 5.
  1. Combien de termes y a-t-il dans la somme u0+u1+⋯+u8u_0 + u_1 + \dots + u_{ 8 } ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Calcule 1+2+⋯+121 + 2 + \dots + 12.
  2. Calcule 1+2+⋯+101 + 2 + \dots + 10.
  3. Calcule 1+2+⋯+241 + 2 + \dots + 24.

Fiche résumé

Sommes

  • n(n+1)2\dfrac{n(n + 1)}{2}.
  • 1−qn+11−q\dfrac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}.

Attention : l'exposant de la formule est n+1n + 1.

Corrigé: Suites numériques

1. Suites : formule explicite et relation de récurrence

A

  1. 6,9,14,216, 9, 14, 21
  2. 10,13,18,2510, 13, 18, 25

B

  1. −9-9
  2. 1515
  3. −2-2

C

  1. 5n−45 n - 4
  2. 7n−47 n - 4
  3. 6n+26 n + 2

D

  1. 5n−45 n - 4
  2. 7n−47 n - 4
  3. 6n+26 n + 2

2. Suites arithmétiques

A

  1. 9898
  2. 8686
  3. 133133
  4. 155155

B

  1. 88
  2. 44
  3. 22

C

  1. Géométrique, de raison 2

D

  1. 6060

E

  1. 9898
  2. 8686
  3. 133133

3. Suites géométriques

A

  1. 8181
  2. 128128
  3. 43744374
  4. 6464

B

  1. 44
  2. 33

C

  1. 2⋅4n−12 \cdot 4^{n - 1}
  2. 9⋅4n−19 \cdot 4^{n - 1}
  3. 8⋅5n−18 \cdot 5^{n - 1}

D

  1. 2⋅4n−12 \cdot 4^{n - 1}
  2. 9⋅4n−19 \cdot 4^{n - 1}
  3. 8⋅5n−18 \cdot 5^{n - 1}

4. Sens de variation d'une suite et limite intuitive

A

  1. 88
  2. 22
  3. 77

B

  1. 00
  2. 00

C

  1. Décroissante

D

  1. un+1un=5>1\dfrac{u_{n + 1}}{u_n} = 5 > 1

E

  1. 88
  2. 22
  3. 77

5. Sommes : 1 + 2 + … + n et 1 + q + … + qⁿ

A

  1. 7878
  2. 5555
  3. 300300

B

  1. 364364
  2. 1313

C

  1. 105105

D

  1. 99

E

  1. 7878
  2. 5555
  3. 300300