Cosinus et sinus d'un réel

À propos de cette leçon

Première, spécialité › Fonctions trigonométriques

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Cosinus et sinus d'un réel

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le point M(x)M(x) a pour coordonnées (cos⁡x;sin⁡x)(\cos x ; \sin x). Que vaut cos⁡0\cos 0 ?

  1. 11
  2. 00

L'idée clé

Le cercle définit cosinus et sinus pour tout réel.

M(x)M(x) a pour abscisse cos⁡x\cos x et pour ordonnée sin⁡x\sin x. Donc cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 et ces nombres sont entre −1-1 et 11.

cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} ; cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} ; cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Angles associés : cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x et sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x.

Exemple corrigé

Calcule cos⁡2π3\cos\dfrac{2\pi}{3}.

cos⁡(π−π3)\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right)
2π/3 = π − π/3.
−cos⁡π3=−12-\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}
Angle associé.

À toi, guidé

À toi : que vaut sin⁡π2\sin\dfrac{\pi}{2} ?

11
Point (0 ; 1).

Entraînement ★

  1. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  2. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  3. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Attention !

Entraînement ★★

  1. On sait que cos⁡x=35\cos x = \dfrac{3}{5} et sin⁡x>0\sin x > 0. Calcule sin⁡x\sin x.
  1. Problème final. On place le point M(π−π4)M\left(\pi - \dfrac{\pi}{ 4 }\right) sur le cercle trigonométrique.
  1. Que vaut cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3} ?
    1. 12\dfrac{1}{2}
    2. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
    3. 0
  1. On sait que sin⁡2x=0,3\sin^2 x = 0{,}3. Que vaut cos⁡2x\cos^2 x ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  2. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  3. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Fiche résumé

Cosinus et sinus

  • M(x)=(cos⁡x;sin⁡x)M(x) = (\cos x ; \sin x).
  • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1.

Attention : place toujours le point sur le cercle.

Fin de la leçon

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Corrigé: Cosinus et sinus d'un réel

A

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π2\dfrac{\pi}{2}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}

B

  1. 45\frac{4}{5}

C

  1. 00

D

  1. 12\dfrac{1}{2}

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π2\dfrac{\pi}{2}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}

CC BY-SA 4.0