Fonctions trigonométriques

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Cercle trigonométrique et radian

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le cercle trigonométrique a pour rayon 1. Quelle est la longueur du demi-cercle ?

  1. π\pi
  2. 180180

L'idée clé

Le radian mesure un angle par une longueur d'arc.

Sur le cercle trigonométrique (rayon 1, sens direct), un angle de xx radians intercepte un arc de longueur xx. 180°=π180° = \pi rad.

On « enroule » la droite des réels sur le cercle : à tout réel xx correspond un point M(x)M(x). xx et x+2πx + 2\pi donnent le même point.

Exemple corrigé

Convertis 60°60° en radians.

60°=60180π60° = \dfrac{60}{180}\pi
180° = π.
π3\dfrac{\pi}{3}
On simplifie.

À toi, guidé

À toi : 90°90° en radians, en fonction de π\pi ?

π2\dfrac{\pi}{2}
Moitié de π.

Entraînement ★

  1. Convertis 90°90° en radians.
  2. Convertis 60°60° en radians.
  3. Convertis 45°45° en radians.

Attention !

Entraînement ★★

  1. Le point M(x)M(x) coïncide avec M(x+2π)M\left(x + 2\pi\right). Combien de tours complets sépare-t-on entre ces deux valeurs ?
  2. Le point M(x)M(x) coïncide avec M(x+8π)M\left(x + 8\pi\right). Combien de tours complets sépare-t-on entre ces deux valeurs ?
  1. Convertis π3\dfrac{\pi}{ 3 } radians en degrés.
  1. Sur un cercle de rayon 7, quelle est la longueur de l'arc intercepté par un angle de 2 radians ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Convertis 90°90° en radians.
  2. Convertis 60°60° en radians.
  3. Convertis 45°45° en radians.

Fiche résumé

Radian

  • 180°=π180° = \pi rad.
  • xx et x+2πx + 2\pi : même point.

Attention : la calculatrice doit être en radians.

2. Cosinus et sinus d'un réel

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Le point M(x)M(x) a pour coordonnées (cos⁡x;sin⁡x)(\cos x ; \sin x). Que vaut cos⁡0\cos 0 ?

  1. 11
  2. 00

L'idée clé

Le cercle définit cosinus et sinus pour tout réel.

M(x)M(x) a pour abscisse cos⁡x\cos x et pour ordonnée sin⁡x\sin x. Donc cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 et ces nombres sont entre −1-1 et 11.

cos⁡π6=32\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡π6=12\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} ; cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} ; cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}, sin⁡π3=32\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Angles associés : cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x et sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x.

Exemple corrigé

Calcule cos⁡2π3\cos\dfrac{2\pi}{3}.

cos⁡(π−π3)\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right)
2π/3 = π − π/3.
−cos⁡π3=−12-\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}
Angle associé.

À toi, guidé

À toi : que vaut sin⁡π2\sin\dfrac{\pi}{2} ?

11
Point (0 ; 1).

Entraînement ★

  1. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  2. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  3. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Attention !

Entraînement ★★

  1. On sait que cos⁡x=35\cos x = \dfrac{3}{5} et sin⁡x>0\sin x > 0. Calcule sin⁡x\sin x.
  1. Problème final. On place le point M(π−π4)M\left(\pi - \dfrac{\pi}{ 4 }\right) sur le cercle trigonométrique.
  1. Que vaut cos⁡π3\cos\dfrac{\pi}{3} ?
    1. 12\dfrac{1}{2}
    2. 32\dfrac{\sqrt{3}}{2}
    3. 0
  1. On sait que sin⁡2x=0,3\sin^2 x = 0{,}3. Que vaut cos⁡2x\cos^2 x ?

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  2. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi
  3. Pour quelle valeur a-t-on cos⁡x=0\cos x = 0 et sin⁡x=1\sin x = 1 ?
    1. π2\dfrac{\pi}{2}
    2. 00
    3. π\pi

Fiche résumé

Cosinus et sinus

  • M(x)=(cos⁡x;sin⁡x)M(x) = (\cos x ; \sin x).
  • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1.

Attention : place toujours le point sur le cercle.

Corrigé: Fonctions trigonométriques

1. Cercle trigonométrique et radian

A

  1. π2\frac{\pi}{2}
  2. π3\frac{\pi}{3}
  3. π4\frac{\pi}{4}

B

  1. 11
  2. 44

C

  1. 6060

D

  1. 1414

E

  1. π2\frac{\pi}{2}
  2. π3\frac{\pi}{3}
  3. π4\frac{\pi}{4}

2. Cosinus et sinus d'un réel

A

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π2\dfrac{\pi}{2}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}

B

  1. 45\frac{4}{5}

C

  1. 00

D

  1. 12\dfrac{1}{2}

E

  1. 710\frac{7}{10}

F

  1. π2\dfrac{\pi}{2}
  2. π2\dfrac{\pi}{2}
  3. π2\dfrac{\pi}{2}