Variables aléatoires

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Toutes les leçons du chapitre, prêtes pour le papier. Les séries d'exercices sont notées A, B, C… et corrigées à la fin.

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1. Variable aléatoire et loi de probabilité

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

On lance une pièce deux fois ; XX est le nombre de piles. Quelles valeurs prend XX ?

  1. 00, 11, 22
  2. 11, 22

L'idée clé

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue.

La loi de XX donne P(X=xi)P(X = x_i) pour chaque valeur. La somme de ces probabilités vaut 1.

Exemple corrigé

Loi de XX pour deux lancers d'une pièce.

P(X=0)=14P(X = 0) = \dfrac{1}{4}
FF.
P(X=1)=12P(X = 1) = \dfrac{1}{2}
PF ou FP.
P(X=2)=14P(X = 2) = \dfrac{1}{4}
PP.

À toi, guidé

À toi : pour la loi ci-dessus, que vaut P(X≥1)P(X \geq 1) ?

34\dfrac{3}{4}
1/2 + 1/4.

Entraînement ★

  1. XX prend trois valeurs ; deux d'entre elles ont pour probabilités 110\dfrac{ 1 }{10} et 310\dfrac{ 3 }{10}. Quelle est la probabilité de la troisième ?
  2. XX prend trois valeurs ; deux d'entre elles ont pour probabilités 410\dfrac{ 4 }{10} et 410\dfrac{ 4 }{10}. Quelle est la probabilité de la troisième ?
  3. XX prend trois valeurs ; deux d'entre elles ont pour probabilités 310\dfrac{ 3 }{10} et 310\dfrac{ 3 }{10}. Quelle est la probabilité de la troisième ?

Attention !

Entraînement ★★

  1. P(X=0)=210P(X = 0) = \dfrac{ 2 }{10}, P(X=1)=210P(X = 1) = \dfrac{ 2 }{10}, et XX prend aussi la valeur 2. Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).
  2. P(X=0)=310P(X = 0) = \dfrac{ 3 }{10}, P(X=1)=310P(X = 1) = \dfrac{ 3 }{10}, et XX prend aussi la valeur 2. Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).
  1. P(X=1)=210P(X = 1) = \dfrac{ 2 }{10}, P(X=2)=310P(X = 2) = \dfrac{ 3 }{10}, et XX ne prend pas d'autre valeur que 0, 1 et 2. Calcule P(X≥1)P(X \geq 1).
  1. Quelle est la somme des probabilités d'une loi de probabilité ?
    1. 1
    2. 0
    3. Le nombre de valeurs

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX prend trois valeurs ; deux d'entre elles ont pour probabilités 110\dfrac{ 1 }{10} et 310\dfrac{ 3 }{10}. Quelle est la probabilité de la troisième ?
  2. XX prend trois valeurs ; deux d'entre elles ont pour probabilités 410\dfrac{ 4 }{10} et 410\dfrac{ 4 }{10}. Quelle est la probabilité de la troisième ?
  3. XX prend trois valeurs ; deux d'entre elles ont pour probabilités 310\dfrac{ 3 }{10} et 310\dfrac{ 3 }{10}. Quelle est la probabilité de la troisième ?

Fiche résumé

Loi de probabilité

  • Valeurs et probabilités.
  • Somme = 1.

Attention : vérifie toujours la somme.

2. Espérance, variance et écart type

Échauffement

Trois questions rapides sur des leçons déjà vues.

Découvrir

Un jeu rapporte 10 € avec la probabilité 0,10{,}1 et 0 € sinon. Quel gain moyen ?

  1. 11 €
  2. 55 €

L'idée clé

L'espérance est une moyenne pondérée.

E(X)=∑xiP(X=xi)E(X) = \displaystyle\sum x_iP(X = x_i).

V(X)=∑(xi−E(X))2P(X=xi)V(X) = \displaystyle\sum (x_i - E(X))^2P(X = x_i) et σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Exemple corrigé

XX vaut 0 ou 2, avec P=12P = \dfrac{1}{2} chacun.

E(X)=1E(X) = 1
Espérance.
V(X)=1×12+1×12=1V(X) = 1 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times \dfrac{1}{2} = 1
Variance.
σ(X)=1\sigma(X) = 1
Écart type.

À toi, guidé

À toi : XX vaut 1 avec la probabilité 0,20{,}2, sinon 0. Calcule E(X)E(X).

0,20{,}2
1 × 0,2.

Entraînement ★

  1. XX vaut 6 avec la probabilité 14\dfrac{1}{ 4 }, et 0 sinon. Calcule E(X)E(X).
  2. XX vaut 3 avec la probabilité 17\dfrac{1}{ 7 }, et 0 sinon. Calcule E(X)E(X).
  3. XX vaut 5 avec la probabilité 14\dfrac{1}{ 4 }, et 0 sinon. Calcule E(X)E(X).

Attention !

Entraînement ★★

  1. XX vaut −6-6 ou 66, chacun avec la probabilité 12\dfrac{1}{2}. Calcule V(X)V(X).
  2. XX vaut −5-5 ou 55, chacun avec la probabilité 12\dfrac{1}{2}. Calcule V(X)V(X).
  1. Problème final. Un jeu coûte 1 € et rapporte 2 € avec la probabilité 14\dfrac{1}{ 4 }, rien sinon.
  1. E(X)=7E(X) = 7. Calcule E(4X+2)E(4X + 2).
  1. V(X)=3V(X) = 3. Calcule V(3X+2)V(3X + 2).

Bilan

Trois questions pour vérifier que c'est acquis.

  1. XX vaut 6 avec la probabilité 14\dfrac{1}{ 4 }, et 0 sinon. Calcule E(X)E(X).
  2. XX vaut 3 avec la probabilité 17\dfrac{1}{ 7 }, et 0 sinon. Calcule E(X)E(X).
  3. XX vaut 5 avec la probabilité 14\dfrac{1}{ 4 }, et 0 sinon. Calcule E(X)E(X).

Fiche résumé

Espérance et variance

  • E(X)=∑xipiE(X) = \sum x_ip_i.
  • σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}.

Attention : pondère par les probabilités.

Corrigé: Variables aléatoires

1. Variable aléatoire et loi de probabilité

A

  1. 35\frac{3}{5}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 25\frac{2}{5}

B

  1. 45\frac{4}{5}
  2. 710\frac{7}{10}

C

  1. 12\frac{1}{2}

D

  1. 1

E

  1. 35\frac{3}{5}
  2. 15\frac{1}{5}
  3. 25\frac{2}{5}

2. Espérance, variance et écart type

A

  1. 32\frac{3}{2}
  2. 37\frac{3}{7}
  3. 54\frac{5}{4}

B

  1. 3636
  2. 2525

C

  1. 34\frac{3}{4}

D

  1. 3030

E

  1. 2727

F

  1. 32\frac{3}{2}
  2. 37\frac{3}{7}
  3. 54\frac{5}{4}